2020届高考数学一轮复习讲练测专题2.5二次函数与幂函数（讲）文（含解析）.docx

专题2.5 二次函数与幂函数1.了解幂函数的概念；结合函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识点一 幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)yax2bxc(a0，当时，恒有f(x)0时，第一象限图象是上坡递增；当0时，第一象限图象是下坡递减然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键【变式1】(2018上海卷)已知，.若幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上递减，则_.【答案】1【解析】由题意知可取1，1，3.又yx在(0，)上是减函数，0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是()【答案】A【解析】若0a1，则yloga x在(0，)上是增函数，y(a1)x2x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.【方法技巧】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【变式3】（2019河北唐山一中模拟）设函数f(x)x2xa(a0)，已知f(m)0 D.f(m1)0，所以f(x)的大致图象如图所示.由f(m)0，得1m0，所以f(m1)f(0)0.考点四 二次函数的单调性【典例4】 （2019浙江绍兴一中模拟）已知函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0)B(，3C2,0 D3,0【答案】D【解析】当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0【方法技巧】研究二次函数的单调性问题，二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论。【变式4】（2019河北保定一中模拟）函数f(x)x2bxc满足f(x1)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx)Cf(bx)f(cx) D与x有关，不确定【答案】A【解析】 由题意知，函数f(x)的图象关于直线x1对称，b2，又f(0)3，c3，则bx2x，cx3x.易知f(x)在(，1)上单调递减，在1，)上单调递增若x0，则3x2x1，f(3x)f(2x)；若x0，则3x2x1，f(3x)f(2x)f(3x)f(2x)，即f(bx)f(cx)故选A.考点五 二次函数的最值问题【典例5】（2019河北唐山一中模拟） 若函数f(x)ax22ax1在1,2上有最大值4，则a的值为_【答案】【解析】f(x)a(x1)21a.当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去；当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)3a14，解得a1，不符合题意，舍去综上可知，a的值为.【方法技巧】研究二次函数的最值问题对于含参数的二次函数最值问题，无论对称轴还是区间含有参数，都把对称轴看作静止不动的参照物，即“动兮定兮对称轴，看作静止参照物”。【变式5】（2019长春市实验中学模拟）已知yf(x)是偶函数，当x0时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为()A. B.C. D1【答案】D【解析】设x0，则x0.有f(x)(x1)2(x1)2，又f(x)f(x)，当x0时，f(x)(x1)2，该函数在上的最大值为1，最小值为0，依题意，nf(x)m恒成立，则n0，m1，即mn1，故mn的最小值为1.考点六 二次函数中的恒成立问题【典例6】（2019北京101中学模拟） 已知函数f(x)x2x1，在区间1,1上，不等式f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】(，1)【解析】f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)【方法技巧】由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.【变式6】（2019东北育才中学模拟）已知在(，1上递减的函数f(x)x22tx1，且对任意的x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数t的取值范围是()A.， B.1， C.2，3 D.1，2【答案】B【解析】由于f(x)x22tx1的图象的对称轴