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第四章 自适应信号处理,郑宝玉,2,内 容,最优滤波理论与Wiener滤波器 梯度下降算法 横向LMS自适应滤波器 横向RLS自适应滤波器 Kalman滤波器 自适应格型滤波器 自适应格-梯型滤波器 无限脉冲响应自适应滤波器 盲自适应滤波器 自适应滤波器的应用,Kalman滤波器,状态空间方程,Kalman滤波器（续）,假设：,线性状态模型、高斯噪声,Kalman滤波器（续）,已知：,Kalman滤波器（续）,三个基本概念,Kalman滤波器（续）,新息,称 为 的新息过程向量,Kalman滤波器（续）,估计,状态向量估计误差：,相关矩阵：,校正项,Kalman滤波器（续）,例： 是一个时不变的标量随机变量， 为观测数据，其中 为白噪声。现用Kalman滤波器自适应估计 ，即考虑设计Kalman滤波器的问题。,设计过程：(1)构造状态空间方程；(2)设计 的更新公式,Kalman滤波器（续）,LMS、RLS、Kalman算法比较,（1）计算复杂度： LMSRLSKalman 相差不大,（2）RLS算法是“无激励”状态空间模型,下的Kalman滤波算法,（3）收敛速率： LMS： 越大，学习步长越大，收敛越快 RLS： 越大， 遗忘作用越弱，收敛越慢 时变学习速率、时变遗忘因子 Kalman：无收敛问题，无收敛参数,表1 Kalman滤波算法与RLS滤波算法变量对照表,13,内 容,最优滤波理论与Wiener滤波器 梯度下降算法 横向LMS自适应滤波器 横向RLS自适应滤波器 Kalman滤波器 自适应格型滤波器 自适应格-梯型滤波器 无限脉冲响应自适应滤波器 盲自适应滤波器 自适应滤波器的应用,自适应格型滤波器,格型自适应滤波原理,对称的格型结构 n时刻的前向和后向预测误差(残差)服从如下递推关系:,其初值为：,前向和后向预测误差滤波器传递函数递推公式为,其中,自适应格型滤波器,格型自适应滤波原理,对称的格型结构 容易推出前、后向滤波器传递函数的一般关系式：,由式(4a)知:,为了使前向滤波器物理可实现，前向滤波器传递函数Am(z)必须是最小相位多项式，即,的零点必须全部在单位圆内，亦即,从而,这就是格型滤波器时各级反射系数必须满足的条件。,自适应格型滤波器,格型自适应滤波原理,对称的格型结构（续） 由式(4b), 即由下式,可见, 格型滤波器的设计归结为前向滤波器的设计。,可知，后向滤波器的权系数与前向滤波器的权系数之间存在以下关系：,自适应格型滤波器,格型自适应滤波原理,格型滤波器设计准则 现在讨论前向滤波器A(z)的设计准则。(3)可等价写作,相应的时域表达式为,自适应格型滤波器,格型自适应滤波原理,格型滤波器设计准则 定义前、后向滤波器的残差能量,容易证明,上式表明,在格型滤波器设计中有如下三种等价表述： i) 使前向预测滤波器Am(z)残差能量均方误差Fm最小 ii) 使后向预测滤波器Bm(z)残差能量均方误差Gm最小 iii)使前后向预测滤波器残差能量均方误差(Fm +Gm)/2最小,自适应格型滤波器,格型自适应滤波原理,格型滤波器设计准则 上述结论构成格型滤波器的设计基础，而且由此有 1) 完全可以仅根据前向残差能量Fm设计格型滤波器， 2) 后向预测误差（残差）正交,这表明，不同级滤波器的后向残差正交,这一特性意味着格型滤波器的前后级是解耦的，故可 独立设计每一级滤波器。 3)阶数越大，前向残差Fm越小。,自适应格型滤波器,格型自适应滤波原理,格型滤波器设计准则 总结上述，格型滤波器的设计过程可表述如下： 令m=1,2,，并依次设计前向滤波器，当前向残差能量 不再减小时，最小的阶数即为格型滤波器的最优阶数。,自适应格型滤波器,格型自适应滤波原理,格型自适应算法 令w(n)为滤波器在n时刻的权系数，并满足,现考虑采用一般能量形式的加权最小二乘法。为此，定义瞬态前后向残差能量,和n时刻及以前时刻前后向残差的加权总能量误差函数,自适应格型滤波器,格型自适应滤波原理,格型自适应算法(续) 利用,可得n时刻发射系数,且有,这保证了前向滤波器是最小相位的,即物理可实现的。,自适应格型滤波器,格型自适应滤波原理,格型自适应算法（续） 取 并引入,即得,且 服从如下递推关系式：,自适应格型滤波器,格型自适应滤波原理,格型自适应算法（步骤） 步骤1 计算预测误差功率和前后向预测误差的初始值:,步骤2 计算前、后向残差,步骤3 求中间系数,步骤4 计算反射系数：,步骤5 计算预测误差功率：,步骤6 令 ,重做步骤2-5, 直到预测误差功率很小为止.,25,内 容,最优滤波理论与Wiener滤波器 梯度下降算法 横向LMS自适应滤波器 横向RLS自适应滤波器 Kalman滤波器 自适应格型滤波器 自适应格-梯型滤波器 无限脉冲响应自适应滤波器 盲自适应滤波器 自适应滤波器的应用,自适应格-梯型滤波器,预备知识 算法原理,基本方程 更新方程 - 阶更新方程 - 时间更新方程 输出估计,算法步骤,自适应格-梯型滤波器,预备知识,分块矩阵求逆引理 设有分块矩阵：,则有,或,其中,自适应格-梯型滤波器,预备知识,数据向量与预测系数向量 考虑数据向量,则存在两种不同的分块方式,分别对应于前向预测和后向预测。 定义前向预测系数向量和后向预测系数向量，即,自适应格-梯型滤波器,算法原理,基本方程 1)数据向量 a)对于前向预测：,b)对于后向预测：,自适应格-梯型滤波器,算法原理,基本方程 2)预测误差 (l=0,1,n) a)对于前向预测：,b)对于后向预测：,c)对于联合估计：,自适应格-梯型滤波器,算法原理,基本方程 3)代价函数（预测误差加权平方和） a)对于于前向预测：,b)对于后向预测：,c)对于联合估计：,自适应格-梯型滤波器,算法原理,基本方程 4)最小代价函数 对于前向预测：,对于后向预测：,自适应格-梯型滤波器,算法原理,基本方程 5)W-H方程与Wiener解 a)对于前向预测：,b)对于后向预测：,c)对于联合估计：,自适应格-梯型滤波器,算法原理,基本方程 6)联合方程（联合最小代价函数和W-H方程） 对于前向预测：,对于后向预测：,自适应格-梯型滤波器,算法原理,基本方程 7) 自相关矩阵 对于前向预测：,对于后向预测：,自适应格-梯型滤波器,算法原理,基本方程 8)互相关向量 a)对于前向预测：,b)对于后向预测：,c)对于联合估计：,自适应格-梯型滤波器,算法原理,基本方程 9) 期望响应加权平方和,对于后向预测：,对于前向预测：,自适应格-梯型滤波器,算法原理,基本方程,10) Kalman增益向量,自适应格-梯型滤波器,算法原理,阶更新方程 11)相关矩阵逆矩阵 对于前向预测：,对于后向预测：,自适应格-梯型滤波器,算法原理,阶更新方程 12)预测系数向量,后向预测：,联合估计：,前向预测:,自适应格-梯型滤波器,算法原理,阶更新方程 13)最小代价函数 对于前向预测：,对于后向预测：,自适应格-梯型滤波器,算法原理,阶更新方程 14) 误差函数 a)对于前向预测：,b)对于后向预测：,c)对于联合估计：,其中,其中,其中,自适应格-梯型滤波器,算法原理,时间更新方程 15)预测系数向量 对于前向预测：,对于后向预测：,自适应格-梯型滤波器,算法原理,时间更新方程 km(n)的更新方程 考虑,其中,由此导出,定义,则有,其中,自适应格-梯型滤波器,算法原理,时间更新方程 的更新方程,其中,因为,由此可导出,自适应格-梯型滤波器,算法原理,的阶更新方程,Kalman增益向量可以写为,由上式及(16-17)得,Kalman增益向量还可写为,再注意到,由(22)-(24)得,自适应格-梯型滤波器,算法原理,输出估计 由(2c)和(14c),可见，系统