2020版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入检测A（含解析）新人教A版.docx

第三章数系的扩充与复数的引入检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.3解析:由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.答案:A2.i是虚数单位,复数7-i3+i等于()A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i解析:7-i3+i=(7-i)(3-i)(3+i)(3-i)=21-7i-3i+i29-i2=20-10i10=2-i.答案:B3.设i是虚数单位,则复数i3-2i=()A.-iB.-3iC.iD.3i答案:C4.若z=1+i(i是虚数单位),则2z+z2等于()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i解析:z=1+i,2z+z2=21+i+(1+i)2=(1-i)+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i.故选D.答案:D5.已知a,bR,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:(a-b)+(a+b)i为纯虚数的充要条件是实数a,b满足a-b=0,a+b0,即a=b,且a-b,也就是a=b0.结合题意知充分性不成立,必要性成立,故选C.答案:C6.若复数z=a2-1+(a+1)i(aR)是纯虚数,则复数12z-3a的虚部等于()A.425B.-425C.-325D.325解析:因为复数z=a2-1+(a+1)i(aR)是纯虚数,所以a2-1=0,a+10,解得a=1.这时z=2i,于是复数12z-3a=14i-3=-325-425i,故其虚部等于-425.答案:B7.已知复数z=1-2i,则1z等于()A.55+255iB.55-255iC.15+25iD.15-25i解析:1z=11+2i=1-2i(1+2i)(1-2i)=1-2i1+22=15-25i.答案:D8.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是OA,OB,则复数z1z2对应的点位于 ()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由题图知复数z1=-2-i,z2=1+2i,则z1z2=-2-i1+2i=(-2-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=-45+35i,其对应的点位于第二象限.答案:B9.已知i为虚数单位,a为实数,若复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a12”是“点M在第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以复数z在复平面内对应的点M的坐标为(a+2,1-2a).所以点M在第四象限的充要条件是a+20,且1-2a12,故选C.答案:C10.设z1,z2是复数,下列命题是假命题的是()A.若|z1-z2|=0,则z1=z2B.若|z1|=|z2|,则Z1z1=Z2z2C.若Z1=z2,则z1=Z2D.若z1-z20,则z1z2解析:令z1=a1+b1i(a1,b1R),z2=a2+b2i(a2,b2R),则z1=a1-b1i,z2=a2-b2i.|z1-z2|=|a1-a2+(b1-b2)i|=(a1-a2)2+(b1-b2)2=0,解得a1=a2,b1=b2,所以z1=z2,z1=z2,故A正确;若|z1|=|z2|,则a12+b12=a22+b22,即a12+b12=a22+b22,所以z1z1=a12+b12=a22+b22=z2z2,故B正确;z1=a1+b1i=z2=a2-b2i,可得a1=a2,b1=-b2,所以z1=a1-b1i=a2+b2i=z2,故C正确.故选D.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知a,bR,若a-1+2ai=4+bi,则b=.解析:由题意,得a-1=4,2a=b,解得a=5,b=10.答案:1012.若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为.解析:因为z1-z2=(4+29i)-(6+9i)=-2+20i,所以(z1-z2)i=-20-2i,其实部为-20.答案:-2013.若复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复数z=_.解析:设z=a+bi(a,bR),则(a+bi)(1+i)=1-i,即a-b+(a+b)i=1-i,则a-b=1,a+b=-1,解得a=0,b=-1,所以z=-i.所以z=i.答案:i14.若复数z满足zz+z+z=3,则复数z在复平面内对应点的轨迹所围成图形的面积等于.解析:设z=x+yi(x,yR),则(x-yi)(x+yi)+(x+yi)+(x-yi)=3,即x2+y2+2x-3=0,因此(x+1)2+y2=4,故复数z在复平面内对应点的轨迹是一个圆,其面积等于22=4.答案:415.对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2R),定义运算“”为z1z2=x1x2+y1y2.设非零复数1,2在复平面内对应的点分别为P1,P2,点O为坐标原点,若12=0,则在P1OP2中,P1OP2的大小为.解析:设非零复数1=a1+b1i,2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2R,且a12+b120,a22+b220),则得点P1(a1,b1),P2(a2,b2).由题意知P1,P2不为原点,且由12=0,得a1a2+b1b2=0.由两条直线垂直的充要条件,知直线OP1,OP2垂直.所以OP1OP2,即P1OP2=90.答案:90三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知复数z=(2+i)m2-6m1-i-2(1-i).求当实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数?分析:先把复数z化简整理为a+bi(a,bR)的形式,再根据复数的分类及其几何意义求解即可.解:因为mR,所以复数z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)当2m2-3m-2=0,m2-3m+2=0,即m=2时,z为零.(2)当m2-3m+20,即m2,且m1时,z为虚数.(3)当2m2-3m-2=0,m2-3m+20,即m=-12时,z为纯虚数.(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数.17.(8分)已知复数z满足|z|=1+3i-z,求(1+i)2(3+4i)22z的值.解:设z=a+bi(a,bR),|z|=1+3i-z,a2+b2-1-3i+a+bi=0,即a2+b2+a-1=0,b-3=0,解得a=-4,b=3.z=-4+3i,(1+i)2(3+4i)22z=2i(-7+24i)2(-4+3i)=24+7i4-3i=3+4i.18.(9分)设z1,z2互为共轭复数,且(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,求z1,z2.解:设z1=x+yi(x,yR),则z2=x-yi.将z1,z2代入(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,得(x+yi)+(x-yi)2+5(x+yi)(x-yi)i=8+15i,即4x2+5(x2+y2)i=8+15i.利用复数相等的充要条件,有4x2=8,5(x2+y2)=15,解得x=2,y=1或x=2,y=-1或x=-2,y=1或x=-2,y=-1.故所求复数z1,z2为z1=2+i,z2=2-i或z1=2-i,z2=2+i或z1=-2+i,z2=-2-i或z1=-2-i,z2=-2+i.19.(10分)复数z满足|z+3-3i|=3,求|z|的最大值和最小值.解:|z+3-3i|=3,表示以-3+3i对应的点P为圆心,以3为半径的圆.如图所示,则|OP|=|-3+3i|=12=23.显然|z|max=|OA|=|OP|+3=33,|z|min=|OB|=|OP|-3=3.20.(10分)已知复数z1=cos +isin ,z2=cos -isin ,且z1+1z2=12+32i,求复数z1,z2的值.分析:解答本题的关键是利用复数相等的充要条件,将复数问题实数化,即从z1+1z2=12+32i出发,建立关于,的正弦、余弦的方程组,再结合三角函数的知识求解.解:由z1+1z2=12+32i,得cos+isin+1cos-isin=12+32i,cos+isin+cos+isin=12+32i,即(cos+cos)+i(sin+sin)=12+32i.cos+cos=12,si