2020版高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质练习（含解析）新人教A版.docx

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课时过关能力提升基础巩固1已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于()A.11B.10C.9D.8解析:只有第5项的二项式系数最大,n2+1=5.n=8.答案:D2(a+b)n二项展开式中与第(r-1)项系数相等的项是()A.第(n-r)项B.第(n-r+1)项C.第(n-r+2)项D.第(n-r+3)项解析:因为第(r-1)项的系数为Cnr-2=Cnn-r+2,所以第(n-r+3)项与第(r-1)项的系数相等.答案:D3若x+1xn展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为()A.10B.20C.30D.120解析:由2n=64,得n=6,则Tk+1=C6kx6-k1xk=C6kx6-2k(0k6,kN).由6-2k=0,得k=3,则T4=C63=20.答案:B4若(x+3y)n的展开式的系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和,则n的值为()A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b)10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n=210,解得n=5.答案:A5若3x-13x2n的二项式系数之和为128,则展开式中含1x3的项是()A.7x3B.-7x3C.21x3D.-21x3解析:由3x-13x2n的二项式系数之和为128可得2n=128,n=7.其通项Tk+1=C7k(3x)7-k-13x2k=(-1)kC7k37-kx7-5k3,令7-5k3=-3,解得k=6,此时T7=21x3.答案:C6已知Cn0+2Cn1+22Cn2+2nCnn=729,则Cn1+Cn3+Cn5的值等于()A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.则Cn1+Cn3+Cn5=C61+C63+C65=32.答案:B7如图是一个类似杨辉三角的递推式,则第n行的首尾两个数均为.解析:由于每行第1个数1,3,5,7,9成等差数列,由等差数列的知识可知,an=2n-1.答案:2n-18设(2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a10(x-1)10,则a0+a1+a2+a3+a10=.解析:令x=2,则(22-3)10=a0+a1+a2+a10,所以a0+a1+a10=1.答案:19如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列an,则数列的第10项为.解析:由题图可知a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,从第三项开始每一项为前两项之和,a10=a9+a8=2a8+a7=3a7+2a6=5a6+3a5=8a5+5a4=13a4+8a3=21a3+13a2=42+13=55.答案:5510设(2-3x)100=a0+a1x+a2x2+a100x100,求下列各式的值.(1)a0;(2)a1+a2+a3+a4+a100;(3)a1+a3+a5+a99;(4)(a0+a2+a100)2-(a1+a3+a99)2;(5)|a0|+|a1|+|a100|.解:(1)令x=0,则展开式为a0=2100.(2)令x=1,可得a0+a1+a2+a100=(2-3)100,(*)所以a1+a2+a100=(2-3)100-2100.(3)令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+3)100,与(2)中(*)式相减得a1+a3+a99=(2-3)100-(2+3)1002.(4)原式=(a0+a2+a100)+(a1+a3+a99)(a0+a2+a100)-(a1+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2-3)(2+3)100=1100=1.(5)因为Tr+1=(-1)rC100r2100-r(3)rxr,所以a2k-10(kN*).所以|a0|+|a1|+|a2|+|a100|=a0-a1+a2-a3+a100=(2+3)100.11若(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+a10y10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解: (1)各项系数之和即为a0+a1+a2+a10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a0+a1+a2+a10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a0+a2+a4+a10,偶数项系数的和为a1+a3+a5+a9.由(1)知a0+a1+a2+a10=1,令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+a10=510,+,得2(a0+a2+a10)=1+510,则奇数项系数的和为1+5102;-,得2(a1+a3+a9)=1-510,则偶数项系数的和为1-5102.能力提升1已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29解析:由条件知Cn3=Cn7,n=10.(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.答案:D2(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1 024,则n的值为()A.8B.9C.10D.11解析:由题意知(1+1)n(3-1)=1024,即2n+1=1024,故n=9.答案:B3设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n,则a0+a2+a4+a2n等于()A.2nB.3n-12C.2n+1D.3n+12解析:令x=1,得3n=a0+a1+a2+a2n-1+a2n,令x=-1,得1=a0-a1+a2-a2n-1+a2n,+,得3n+1=2(a0+a2+a2n),所以a0+a2+a2n=3n+12.故选D.答案:D4(x+1)9按x的升幂排列二项式系数最大的项是()A.第4项和第5项B.第5项C.第5项和第6项D.第6项解析:展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大.答案:C5在(a-b)10的二项展开式中,系数最小的项是.解析:在(a-b)10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T6=C105a5(-b)5=-252a5b5.答案:-252a5b56(x2+x-1)7(2x+1)4的展开式中奇次项系数的和为.解析:设(x2+x-1)7(2x+1)4=a0+a1x+a2x2+a18x18,令x=1,得a0+a1+a18=34=81.令x=-1,得a0+a2+a18-(a1+a3+a17)=-1.+,得2(a0+a2+a18)=80,a0+a2+a18=40,则展开式中奇次项系数之和为40.答案:407如图数表满足:(1)第n行首尾两数均为n;(2)图中的递推关系类似杨辉三角,则第n(n2)行的第2个数是.解析:由题图可知,第n(n2)行的第2个数是第(n-1)行第1个数跟第2个数的和,即a2=2,a3=a2+2=2+2=4,a4=a3+3=4+3=7,则an=2+2+3+4+5+n-1=1+(n-1)(1+n-1)2=n2-n+22.答案:n2-n+228若(2x+3)4=a0+a1x+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为.解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+3)4,(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+3)4(-2+3)4=1.答案:19已知(3x2+3x2)n的展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.解:令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n=4n.展开式二项式系数和为Cn0+Cn1+Cnn=2n,由题意有4n-2n=992.即(2n)2-2n-992=0,(2n-32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T3=C52(3x2)3(3x2)2=90x6,T4=C53(3x2)2(3x2)3=270x223.(2)设展开式中第k+1项的系数最大.由Tk+1=C5k(3x2)5-k(3x2)k=C5k3kx10+4k3,得C5k3kC5k-13k-1,C5k3kC5k+13k+13k16-k,15-k3k+172k92.因为kZ,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=C5434x263=405x263.10杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般有这样的结论:第m