2020版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式练习（含解析）新人教A版.docx

二一般形式的柯西不等式基础巩固1设a,b,c0,且a+b+c=1,则a+b+c的最大值是()A.1B.3 C.3 D.9解析：由柯西不等式,得(a)2+(b)2+(c)2(12+12+12)(a+b+c)2.a+b+c=1,(a+b+c)231=3,当且仅当a=b=c=13时,等号成立.a+b+c的最大值为3.答案：B2设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则a+b+cx+y+z=()A.14B.13C.12D.34解析：由柯西不等式,得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2=400,当且仅当ax=by=cz=12时,等号成立,因此有a+b+cx+y+z=12.答案：C3已知a12+a22+an2=1,x12+x22+xn2=1,则a1x1+a2x2+anxn的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析：(a1x1+a2x2+anxn)2(a12+a22+an2)(x12+x22+xn2)=11=1,当且仅当ai=xi=nn(i=1,2,n)时,等号成立.故a1x1+a2x2+anxn的最大值是1.答案：A4已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,则a的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析：由柯西不等式,得(2b2+3c2+6d2)12+13+16(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2(b+c+d)2,当且仅当2b12=3c13=6d16时,等号成立.又b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,故5-a2(3-a)2,解得1a2,即a的最大值是2.答案：B5n个正数的和与这n个正数的倒数的和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.1n解析：设n个正数为x1,x2,xn,由柯西不等式,得(x1+x2+xn)1x1+1x2+1xnx11x1+x21x2+xn1xn2=(1+1+1共n个)2=n2,当且仅当x1=x2=xn时,等号成立.答案：C6若x,y,zR+,且1x+2y+3z=1,则x+y2+z3的最小值是.答案：97设a,b,c为正数,则(a+b+c)4a+9b+36c的最小值是.解析：(a+b+c)4a+9b+36c=(a)2+(b)2+(c)22a2+3b2+6c2a2a+b3b+c6c2=(2+3+6)2=121,当且仅当a2=b3=c6时,等号成立.答案：1218设x,y,zR,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.解析：2x+2y+z+8=02(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(uv)2|u|2|v|2;即2(x-1)+2(y+2)+(z-3)2(22+22+12)(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2.所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2(-9)29=9,当且仅当x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值9.答案：99已知a,b,cR,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为.解析：由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c212,当a=2b=3c=2时,等号成立,所以a2+4b2+9c2的最小值为12.答案：1210设x1,x2,x3,xn都是正实数,且x1+x2+x3+xn=S.求证:x12S-x1+x22S-x2+xn2S-xnSn-1.分析：本题需要构造出S-x1+S-x2+S-xn.证法一：根据柯西不等式,得不等式左边=x12S-x1+x22S-x2+xn2S-xn=(S-x1)+(S-x2)+(S-xn)1(n-1)Sx12S-x1+x22S-x2+xn2S-xn=1(n-1)S(S-x1)2+(S-x2)2+(S-xn)2x1S-x12+x2S-x22+xnS-xn21(n-1)SS-x1x1S-x1+S-x2x2S-x2+S-xnxnS-xn2=1(n-1)S(x1+x2+xn)2=1(n-1)SS2=Sn-1=不等式右边.故原不等式成立.证法二：a0,a+1a2,a2-1a,当且仅当a=1时,等号成立.xi2S-xi=xin-1(n-1)xiS-xixin-12-S-xi(n-1)xi=2xin-1-S-xi(n-1)2,i=1,2,n.n个式子相加,有x12S-x1+x22S-x2+xn2S-xn2x1n-1+2x2n-1+2xnn-1-S-x1(n-1)2+S-x2(n-1)2+S-xn(n-1)2=2Sn-1-nS-S(n-1)2=Sn-1.故原不等式成立.能力提升1若实数x+y+z=1,则2x2+y2+3z2的最小值为()A.1B.6C.11D.611解析：(2x2+y2+3z2)12+1+132x12+y1+3z132=(x+y+z)2=1,2x2+y2+3z2112+1+13=611,当且仅当x=311,y=611,z=211时,等号成立.2x2+y2+3z2的最小值为611.答案：D2已知a+b+c=1,且a,b,c0,则2a+b+2b+c+2c+a的最小值为()A.1B.3C.6D.9解析：a+b+c=1,2a+b+2b+c+2c+a=2(a+b+c)1a+b+1b+c+1c+a=(a+b)+(b+c)+(c+a)1a+b+1b+c+1c+a(1+1+1)2=9,当且仅当a=b=c=13时,等号成立.答案：D3若a12+a22+an2=5,则a1a2+a2a3+an-1an+ana1的最小值为()A.-25B.-5C.5D.25解析：由柯西不等式,得(a12+a22+an2)(a22+a32+an2+a12)(a1a2+a2a3+an-1an+ana1)2,|a1a2+a2a3+an-1an+ana1|5.-5a1a2+a2a3+an-1an+ana15.故所求最小值为-5,应选B.答案：B4已知2x+3y+z=8,则x2+y2+z2取得最小值时,x,y,z形成的点(x,y,z)=.解析：由柯西不等式,得(22+32+12)(x2+y2+z2)(2x+3y+z)2,即x2+y2+z28214=327,当且仅当x2=y3=z时,等号成立.又2x+3y+z=8,解得x=87,y=127,z=47,故所求点为87,127,47.答案：87,127,475已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,则x2+4y2+z2的最小值为.解析：由柯西不等式,得(x2+4y2+z2)(1+1+1)(x+2y+z)2.x+2y+z=1,3(x2+4y2+z2)1,即x2+4y2+z213,当且仅当x=2y=z=13,即x=13,y=16,z=13时,等号成立.故x2+4y2+z2的最小值为13.答案：136已知二次三项式f(x)=ax2+bx+c的所有系数均为正数,且a+b+c=1,求证:对于任何正数x1,x2,当x1x2=1时,必有f(x1)f(x2)1.证明：f(x1)f(x2)=(ax12+bx1+c)(ax22+bx2+c)a(x1x2)2+bx1x2+c2=f2(x1x2