傅里叶变换(周期和非周期信号).ppt

傅里叶（Fourier）变换,周期信号的傅里叶变换傅里叶级数,非周期信号的傅里叶变换,傅里叶变换性质,1、 三角函数式傅里叶级数,周期信号的傅里叶变换傅里叶级数,2、指数形式的傅里叶级数,或,1、 三角函数式傅里叶级数,(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点； (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即,周期信号的傅里叶变换傅里叶级数,可以展开为三角形式的傅里叶级数，为,式中,式中，0=2/T,利用三角函数的边角关系， 还可以将一般三角形式化为标准的三角形式,式中，,1、 三角函数式傅里叶级数,周期信号的傅里叶变换傅里叶级数,或,任何满足狄里赫利条件的周期为T的函数f(t),可以展开成如下两种形式的三角级数：,正、余弦级数形式,谐波形式,0是基谐波角频率,简称基波频率。,例1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。,解 ： 将f(t)整理为标准形式,振幅谱与相位谱如下图所示。,例1的频谱图,2、指数形式的傅里叶级数,周期信号的傅里叶变换傅里叶级数,式中，,证明,傅里叶复系数,2、指数形式的傅里叶级数,周期信号的傅里叶变换傅里叶级数,式中，,证明,Next,傅里叶复系数,Fn还可以表示成模和幅角的形式,式中，,或,三角形式与指数形式系数之间的关系,例1的指数形式频谱图如下图所示。,三角函数形式的频谱图,双边频谱（Double Side Band),单边频谱（Single Side Band),Next,傅里叶级数指数形式 推导,利用欧拉公式,可以将正、余弦形式的傅里叶级数进一步写成,由三角形式的傅里叶系数定义式,当n换为-n时，有a-n= an, b-n=- bn，从而,即,n=1,2,3, ,返回,n=1,2,3, ,=,例：周期矩形脉冲,三角函数形式的傅里叶级数,2.指数形式的傅里叶级数,3.频谱特点,1. 三角函数形式的傅里叶级数 周期矩形脉冲,1. 三角函数形式的傅里叶级数 周期矩形脉冲,2. 指数形式的傅里叶级数 周期矩形脉冲,3.频谱及其特点 周期矩形脉冲,(1)包络线形状：Sa(x)曲线，频谱只取曲线上离散的点； (2)频谱包络线过零点的横坐标是：,每条谱线只出现在 处,3.频谱及其特点 周期矩形脉冲,(1)包络线形状：Sa(x)曲线，频谱只取曲线上离散的点； (2)频谱包络线过零点的横坐标是：,每条谱线只出现在 处,(3)各谐波分量的振幅(绝对值）随着n的增大而逐渐减小：,3.频谱及其特点 周期矩形脉冲,周期信号频谱的特点： 离散性、谐波性、收敛性,有效频带,有效频带：,在实际工作中常将自某一频率以上的高次谐波忽略不计，而只考虑某一低频范围内谐波的作用，这一低频范围，即称为有效频带。,有效频带的带宽 规定为由坐标原点至频谱包络第一个零 点之间的频带。,有效频带：,信号的周期、持续时间与频谱的关系,1. 不变，T增大，则频谱的幅度将减小，同时谱线变密。 但包络过零点坐标并不改变。,T不变，减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度 保持不变，但包络过零点的间隔将增大。,Back,非周期信号的傅立里叶变换,两个重要公式：,傅里叶变换关系对常简记为：,例：求矩形脉冲f(t)的频谱。,非周期信号频谱的特点：, 是连续频谱; 脉宽与频宽成反比。,Back,周期冲激序列频谱,例 求周期冲激序列信号的指数形式傅立叶级数表示式,n=0, 1, 2, .,T(t),周期冲激序列频谱,系数：,周期冲激序列频谱,1. 线性性质,傅里叶变换的几个重要性质,式中，a1 、a2为任意常数。,例：求符号函数sgn(t)的频谱函数F(W)。,2尺度压、扩性质,式中，a为正实常数。,例：,3时延特性,4频移特性,S