复杂债券定价

固定收益证券分析,2,现金流,贴现率,定价,风险管理,寻求套利,金融创新,第四讲-2：复杂债券定价,要点： （1）嵌入期权的债券定价 （2）MBS和ABS定价,3,讨论的问题,嵌入期权债券的定价/估值 MBS与一般债券在定价上的不同？,4,5,4.5 嵌入期权债券的定价,例子：“02电网15”，（上证代码：111018）即02年发行的国家电力公司债，可参见附录1 票面利率为4.86%，按年付息，2017年6月19日到期 假如在2008年6月19日后，允许公司以面值赎回债券 问题： 能否用前面的方法进行定价呢？,6,问题： 未来的现金流可能会产生变动 因为有期权在作用 比如，可赎回债券，赎回以后的现金流就变为0。,是什么因素导致未来现金流发生变动呢？,7,利率模型,Interest rate model 以概率对利率可能随时间而变化的情况进行分析的模型 比如，一般假设利率水平变化符合布朗运动（随机对数正态模型） 模型：二叉树模型、三叉树模型等,8,一个利率二叉树模型,模型的基本假设 （1）下一期的利率波动只有两种可能的情况：上行（上升）或下行（下降） （2）利率水平的分布为随机对数正态分布 （3）利率的波动率保持不变 根据当前的利率水平和利率波动率可以画出利率变化的二叉树,9,两期的利率树,10,利率树中的期，为时间单位，比如1年，半年等 出现两种变化的概率相等 根据布朗运动假设，两种可能的变化值与波动率之间符合一定的关系： 其中：rH, rL 分别为两种可能利率水平中较大的一个和较小的一个，s 为波动率。,11,债券未来现金流的变动,利率树,债券未来现金流的变动,债券估价,(2) 如何构造利率树？,(1) 如何根据利率树对债券估价？,12,如何根据利率树估价？,先考虑一个不含期权的债券 2年期，息票率为4债券，利息按年支付 现金流如下： 第1年末 第2年末 4 104 未来现金流不随利率变化而变化,13,利率树和未来现金流树,3.00%,4.4225%,3.6208%,？,4,4,100 4,100 4,利率树,未来现金流树,14,利率树和现金流树合并,? P0 3.00%,4 4.4225%,4 3.6208%,100 4,100 4,?P1.H,?P1.L,15,根据利率树贴现,16,17,可赎回债券定价,再考虑可赎回债券 2年期，息票率为4债券，利息按年支付 在第1年末发行人可以100元赎回 这时候根据利率树如何定价呢？,18,根据可赎回条件，发行人会以100赎回,19,20,简单总结： 先算出第1年末的现金流 根据可赎回条件，重新设定现金流 再按照利率树进行贴现，求得现值,21,Exercise:,如果上面例子改为可回售债券 2年期，息票率为4债券，利息按年支付 在第1年末投资者可以100元回售 这时候如何根据利率树定价呢？,22,利率树,债券未来现金流的变动,债券估价,(2) 如何构造利率树？,(1) 如何根据利率树对债券估价？,23,如何构造利率树,基本原则： 先确定波动率s （利率变化的标准差） 每一期的两种可能变化，只需要确定一个值 rL 根据新发行国债的价格对rL进行无套利定价,24,Example:,假设新发行国债的到期收益率如下，利息按年支付： 期限 到期收益率 市场价格 1年 3.0 100 2年 3.5 100 3年 4.2 100 4年 4.7 100,25,题外话：回顾Bootstrapping,运用Bootstrapping技术可求得即期利率： 期限 票面利率 市场价格 即期利率 1年 3.0 100 3.00 2年 3.5 100 3.5088 3年 4.2 100 4.2373 4年 4.7 100 4.7689,26,问题： 假设波动率s = 10% 如何根据新发行国债构建1期利率树？,3.00%,r1,H = r1,Le2 s,? r1,L,27,1期利率树，只需要2年期债券 到期收益率3.5%，市场价100 采用试错法，求r1L 目标：构造出来的利率树，使得2年期债券定价刚好等于100 先假设r1L =4%，如果P0 100, 则说明r1L 偏小，需要增加r1L；反过来，如果P0 100, 则说明r1L 偏大，需要减少r1L；,28,当 r1,L = 4.0%,99.6108 3.00%,98.6789 3.50 4.8856%,99.5192 3.50 4.00%,100.00 3.50,100.00 3.50,29,减少r1,L ，变为3.50%,100.1247 3.00%,99.2569 3.50 4.2749%,100.00 3.50 3.50%,100.00 3.50,100.00 3.50,30,最后，得到无套利定价的利率树,100.0000 3.00%,99.1166 3.50 4.4225%,99.8834 3.50 3.6208%,100.00 3.50,100.00 3.50,31,Exercise:,如何构造两期的利率树,100.0000 3.00%,4.4225%,3.6208%,？r2,LL,32,答案：,100.0000 3.00%,97.9090 4.20 4.4225%,99.6911 4.20 3.6208%,97.4610 4.20 6.9146%,98.6171 4.20 5.6612%,99.5843 4.20 4.6350%,100.00 4.20,100.00 4.20,100.00 4.20,33,为什么说利率树体现无套利定价原则？ (1) 本身的构造使得新发行国债的定价等于市场价格 (2) 利用利率树对无期权的债券的定价等于利用即期收益率曲线的定价。 对(2)的解释： 前面例子中： 2年期，息票率为4，利息按年支付的债券，按利率树模型定价为：100.9521 按即期收益率曲线定价：,34,两个问题,前面例子中，不含期权的息票率4.0%，2年期债券价格为100.9521 但同样的债券，可赎回时其理论价格为100.7748，而可回售时，理论价格为101.148 问题1： 嵌入期权与不含期权的债券的价格差别在哪里？ 问题2： 市场中，可赎回债券的价格仅为100.5，而可回售债券的价格也比理论价格低，为100.9，为什么？,35,嵌入期权的债券价值分解,嵌入期权的债券价值的组成 不含期权的债券价值 期权本身的价值 期权本身的价值 与期权的条件有关 赋予发行人时，期权是负价值（变成成本） 赋予债券持有人时，期权才有价值,36,可赎回债券： 赋予发行人看涨期权 债券持有人卖出一个看涨期权 可赎回债券的价值 不含期权债券价值 看涨期权价值 期权成本 不含期权债券价值 可赎回债券价值,37,可回售债券 赋予债券持有人看跌期权 发行人卖出一个看跌期权 可回售债券的价值 不含期权债券价值 看跌期权价值 期权价值 可回售债券价值不含期权债券价值,38,回到第二个问题,为什么可赎回债券的实际市场价格低于理论价格？回想利差的概念 名义利差 Z利差（信用风险、流动性风险引起） 方法： 如何用利差概念来刻画嵌入期权的债券理论价值与市场价格之间的差异呢？,39,期权调整利差,Option-Adjusted Spread 将债券价值与市场价格之间的差异转化为收益率之间的差异 相对于某条基准收益率曲线 利用利率树计算时，把整条利率树全部加上OAS，使得等于市场价格,40,Z Spread (static spread) OAS,? P0 3.00%+rOAS,99.5954 4 4.4225% +rOAS,100 4 3.6208% +rOAS,100 4,100 4,41,例子：,3年期，嵌入期权的公司债 如果不考虑期权，采用基于国债的期限结构直接贴现，计算得到的价格为101 如果考虑期权，采用基于国债的利率树，计算得到的价格为103 而市场价格为100.5，这里面就包含OAS,42,OAS的经济含义,利差： 信用风险 流动性风险 期权风险 OAS：已经扣除了期权风险 信用风险 流动性风险,43,Example:,OAS反映的风险补偿与基准利率曲线有关 如果采用新发行国债价格来构造利率树，则OAS反映的是： 非国债的信用风险 非国债的流动性风险 如果采用公司本身的新发行债券价格来构造利率树，则OAS反映的什么风险补偿？ 如果采用公司所属行业的新发行债券价格呢？,44,4.6 一般利率模型,二叉树利率模型 连续利率模型,1、 二叉树利率模型,Ho-Lee模型 Soloman Brothers模型 Black-Derman-Toy模型 Black-Karasinski模型,45,(1) Ho-Lee模型,出处： Ho and Lee，term structure movements and pricing interest rate contingent claims, Journal of Finance, 1986 一个经典利率模型 先看一下它的二叉树形式,46,任何时刻的利率水平等于其上一时刻的利率水平加上或者减去一随机冲击 比如，r0 代表当前的利率，那么下一期的利率存在两种可能：,1/2,1/2,47,两期利率树：,48,49,模型中参数的含义： 对时刻1的利率求期望可得： 对时刻2的利率求期望可得： b1、b2的含义：随着时间的漂移率drift,50,模型参数 的含义 对时刻1的利率求方差可得： 的含义： 波动率,实际上，从二叉树可以看出： Ho-Lee模型假设利率水平为一正态分布 参数的确定： 采用前面所讲的利用现有债券价格通过无套利定价推导可得 先假设一个波动率，可采用历史法求得，也可以预估，或者通过期权的隐含波动率求得,51,参数的确定： 有了波动率之后，就可以根据1期的国债价格求得b1 然后再根据2期的国债价格求得b2 依次类推,52,举例：Ho-Lee模型参数的确定,假设当前的半年期、1年期和1.5年期的即期利率分别为3.99，4.16和4.33 假定6个月期利率的波动率为0.3182 请构造周期为6个月的6个月期利率树（2期）,53,54,先做第一期： 根据1年期即期利率为4.16，可求得1年期零息券当前价格为0.9601,根据上面的公式，可解得b1，根据b1画出1期利率树：,55,而后再根据1.5年期即期利率解得b2，画出2期利率树,56,问题：能否构造一个周期为6个月的1年期利率树？,57,根据前面的周期为6个月的6个月期利率树可计算得到1.5年期零息券价格：,58,59,因此，6个月后的1年期利率如果分别假设为yu和yd，则,得到6个月为周期的1年期利率树：,60,Ho-Lee模型的缺陷,缺陷1 利率可能存在负值 缺陷2 利率的波动率跟利率水平没有关系,61,(2) Salomon Brother Model,针对Ho-Lee模型的缺陷，Salomon Brother公司进行了改进 假设利率的对数满足Ho-Lee模型的运动方程 可避免利率为负值的问题 利率波动率也与利率水平本身有关系,62,两期利率树：,63,两期利率树：,64,65,看一下r1的期望和方差 所以：波动率与利率水平有关，我们把模型中的 称为比例波动率,Salomon Brother模型的参数确定过程与Ho-Lee模型类似 先确定比例波动率 然后，根据当前的即期利率确定漂移率 最后，画出利率树,66,同样，可以给出各个期限的利率树，比如6个月为周期的6个月期利率树，6个月为周期的1年期利率树 但学者发现，不同期限的利率，其波动率水平也不一样，这称为波动率的期限结构,67,根据Soloman Brother模型计算得到的比例波动率期限结构,68,69,Salomon Brother 模型的问题： 其模型估计得到的波动率期限结构与实际市场的波动率期限结构存在不同 实际市场的下降的更陡峭,70,(3) Black-Derman-Toy模型,假设波动率随着时间变化 再假设上行和下行的漂移率可以不同 目的：以让波动率期限结构与实际市场的波动率期限结构一致,71,两期利率树：,72,由于波动率随时间变化，导致树状图出现无法结合起来 解决方法： 让第2期的上行和下行漂移率不同，以让中间的节点能够合在一起,73,让下面的公式成立： 得到下面的利率树：,74,参数确定过程 先确定各个波动率期限结构 然后，再逐个确定漂移率,75,前面模型的问题 未来的利率水平会出现很大的情况 但实际市场，却是利率水平在一定的波动范围内 利率的均值回复性（mean-reversion） 利率会受到中央倾向的吸引 利率高于中央倾向值时，趋势会变为负值，利率低于中央倾向值时，趋势为正值,76,(4) Black-Karasinksi模型,引入漂移率的均值回复过程 其中： 为均值回复速度，u为目标利率水平 满足利率期限结构与波动率的期限结构 有很大的弹性,77,两期利率树,2、 连续利率模型,一般连续利率模型 Vasicek模型 Cox-Ingersoll-Ross模型 Hull-White模型,79,(1) 一般连续利率模型,假设利率的变化符合布朗运动，即利率符合对数正态分布 其中： 表示漂移率 表示波动率 这里假设的漂移率和波动率都是常数 这里的利率为瞬时无风险利率，即期限接近于零的无风险利率,80,Soloman Brothers模型,如果把漂移率按照即期利率求出，那么就变成Soloman Brother模型 其中： 为根据利率期限模型求出的漂移率,81,(2) Vasicek模型,引入均值回复项 其中：k为常数，表示均值回复速度 为利率均值水平,82,(3) Hull-White模型,扩展了Vasicek模型，把均值的水平改为时变的,83,(4) CIR模型,在Vasicek模型基础上，把常数波动变为与利率水平有关的波动项 此时，为异方差方程,84,连续模型的参数估计,连续模型离散化 由于现实中不存在连续形式的利率 得到离散化模型后，进行参数估计 估计方法： MLE，极大似然估计 GMM，广义矩估计 卡尔曼滤波,85,Vasicek模型的参数估计,离散化得到： 其中：,86,CIR模型的参数估计,离散化后得到： 其中：,87,单因子模型的总结,假设债券价格是由瞬时无风险利率单一因素决定的 因此，我们把上面的连续模型称为单因子模型 Duffie（1996）提出了如下一个方程式来概括单因素模型 ：,88,89,多因子模型,债券价格不只是由瞬时无风险利率单一因素决定 它还受到其他经济等变量因素的影响 根据影响因素以及它们之间是否相关，可总结成下表,90,91,Brennan-Schwartz多因子模型,债券价格是由短期利率和长期利率共同决定 短期利率趋向于长期利率 两个利率都服从随机布朗运动 假设r为短期利率，R为长期利率,92,两类模型的比较,1、无套利定价方法 根据当前的利率期限结构，来估计模型的参数 比如，前面讲的离散模型中的Ho-Lee模型、Soloman Brother模型等 其参数的估计是根据当前的国债价格的无套利定价原则从近到远逐步求得,93,2、均衡模型 不认为当前的国债价格定价就是合理的，所以就没有要求当前的参数一定保证市场不存在套利计划 或者说，其参数的获得与无套利定价过程没有关系,94,4.7 MBS和ABS定价,MBS和ABS的现金流特点 Monte Carlo模拟方法,95,回顾前面的定价方法： 贴现率，即期利率曲线 Z-Spread, OAS 现金流估计 计算现金流现值,96,MBS和ABS证券的现金流特点,提前偿付 类似于可赎回债券中的嵌入赎回期权，但不完全相同 利率路径依赖性 Interest rate path-dependent 这个月的提前偿还率不仅与这个月的利率水平有关，而且与自按揭贷款之日开始利率如何到达这个水平有关,97,比如，曾经出现过再融资机会，即由于利率下调，已经通过再融资全部还清贷款，那么这个月的利率即使再低，也没有提前偿还了 而且，每个月的现金流都与历史的现金流有关（因为提前偿还） 再比如，由转手证券分离出来的CMO，每个CMO的现金流还依赖于其他CMO的现金流,98,Monte Carlo模拟方法,模拟的是未来发生的不确定事情 模拟的目标 具有利率路径依赖的债券估值 模拟的手段 计算机和不确定性变量的随机模型 未来所有可能发生的情况下的均值,99,二叉树模型 有限模拟，因为每一期的发生情况只有两种可能 总的路径数目：2n，n为期数 Monte Carlo模拟 总的路径数目：由模拟程序控制 控制手段：均值收敛,100,MBS定价的Monte Carlo流程,模拟未来利率, i = i+1,模拟提前还款率,确定未来现金流,路径条数 i =0,计算现金流现值,是否均值收敛？,结束,Yes,No,101,步骤1：模拟未来利率 可以事先设定波动率，产生未来利率 比如，简单的布朗运动模型 复杂的，比如均值回复模型，Vasick模型，Ho-Lee模型，B.D.T模型等 未来利率的校正：利用市场债券价格校正,102,步骤2：模拟提前还款率 对于具有提前还款期权的债券很重要 设定提前还款函数，其参数包括原贷