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第四章 态和力学量的表象,一、狄拉克符号,1.态矢空间,任何物理体系的任一微观状态可以用一个抽象矢量表示，称为态矢。各种态矢总和构成态矢空间。,态矢空间包含一个右矢空间和一个左矢空间，其中的态矢分别记为 、 。,2.态叠加原理,态空间中任一矢量可以表示成其它矢量的线性叠加。,3.算符作用到态矢上,和 都没有意义。,4.左矢和右矢互为共轭,因为,又,所以,5.内积,是一个数。,6.两个定理,（1）厄米算符的本征值为实数。,假设,则,因此,（2）属于厄米算符的不同本征值的本征函数正交。,假设,则,因此,7.基矢组,为态矢空间中一组正交归一完备基矢组，则,若,则,内积 的含义是 和 在相应基矢上分量乘积之和，即,（单位算符）,因为,所以,投影算符：,它是 中的第k项，即 的第k个分量。,二、量子力学的矩阵表示,1.波函数的矩阵表示,力学量 （或力学量完全集）满足的本征方程为,则,把展开系数用列矩阵表示出来,称为F表象中态矢 的表示，或F表象中的波函数。,的共轭矩阵为,的归一化,2.力学量算符的矩阵表示,力学量 在 态下的平均值为,因为,所以,因此,即在自身表象中，力学量算符矩阵是一对角矩阵，且对角元素就是其本征值，即,另一力学量算符 在F表象中的矩阵表示如何？,若,且,有,则算符方程的矩阵表示为,所以,又,因此,即 在F表象中的矩阵元。,在F表象中，对任意态矢 ，有,3.本征方程的矩阵表示,方程组有解的必要条件为,由此求出本征值 ，再代入本征方程求出波函数。,三、表象变换,F表象：,基矢组,基矢组,表象：,1.波函数在不同表象之间的变换,设,把波函数从 表象变到 表象。,有,又,所以,即从 表象变到 表象时变换矩阵的矩阵元。,其共轭矩阵元,所以,（幺正矩阵）,波函数在不同表象之间的变换关系为,2.算符在不同表象之间的变换,设,F表象：,表象：,所以,因为,又因为,所以,这就是不同表象中算符之间
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