动直线截三角形两边所得线段比的美妙结论

“培养核心素养 渗透数学美育”审美训练案例动直线截三角形两边所得线段比的美妙结论 四川省成都市金牛区教育科学研究院 谢 祥1. 知识背景本案例涉及相似三角形的性质定理、判定定理，平行线截线段成比例定理，共高三角形面积之比等于对应底边之比，配方法求二次式的最值等知识，所以本案例适合初三学生学习了相关定理之后使用。2. 审美方法2.1问题初探，感受数学方法美问题1: 如图所示，已知O是的BC边的中点，过O的直线交直线AB、AC分别于M、N,且，则 师生活动常规解法：过B作直线BD/AC交MN于D， 设 ，则 易得同理可得 由于O是的BC边的中点，所以 所以巧思妙解:巧解1 极限思维， 直线MN绕O点旋转到与BC重合，此时 所以巧解2 极限思维，直线MN绕O点旋转到与AB平行，此时M在无限远处， 而 所以，所以赏析：本问题奇异点在于，过中点O的直线分别交直线AB、直线AC于M、N两点，由于动直线它可以绕O点旋转，所以M、N两点其实是“不确定”的，对应线段比也将随着M、N的变化而变化，但是在“变化中”存在“不变的”量，即，这让我们惊奇和意外，该规律具有数学奇异美。对于速解“选填题”，两个巧思妙解十分有效，它们都是用“极限思维”方法求得结论。从逻辑上看，既然动直线没有约定满足怎样的条件，当然可以在“任意状态”下考虑“特殊状态”，迅速得到结论，巧思妙解的方法简洁美。2.2.问题深究，感悟数学思想美如果其它条件不变，只将O是中点，变化为一般情况（）可以提出如下新问题问题2: 如图所示，已知O是的BC边的一点,且（），过O的直线交直线AB、AC分别于M、N,且，探索 师生活动解：过B作直线BD/AC交MN于D， 设 ，则 易得 即同理可得 即，由OBDOCN易知 所以 整理得 即 赏析：对于（），当时，则o为中点。由“中点”推广问题到“任意点”，由特殊到一般，可以培养“数学抽象”、“逻辑推理”等核心素养。探索，关键是构造相似三角形，使三个比值建立联系，类比问题1的常规解法，该常规解法适合于任意状态的，其实是解答此类问题的通法，结论反映的是三个比值之间的关系，任意给定一个值代入上面结论，则相应确定间的函数关系（如，点o为一个三等分点，），所以该结论具有简洁美和统一美。 23应用拓展，创造数学美对于一个确定的K值，间就具有确定的函数关系，其中一个变量就能用另一个变量表出，对称思维，对于一个确定的n值, 间也具有确定的函数关系。那么从函数角度可以提出新问题。问题3: 如图所示，已知O是的BC边的中点，过O的直线交直线AB、AC分别于M、N,且， 求的最大值 师生活动解：由问题1知，所以所以，时，的最大值为1.注意到时，M与B重合，即MN与BC重合。再将O点由特殊点（中点）变到BC边上任意点，提出新问题问题4: 如图所示，已知O是的BC边的一点,且（），过O的直线交直线AB、AC分别于M、N,且，求的最大值师生活动解：应用前面问题（2）研究得到的一般结论 当时，取得最大值赏析：问题3借助于的关系即和为定值2，将一个变量用另一个变量表出，渗透函数思想，问题解答也非常简洁。我们观察发现，所以的几何意义就是两个三角形的面积之比。由于三角形ABC的面积是定值，所以要使取最大值，则分母上的三角形AMN应该取最小值，当且仅当两三角形重合，即取最小值1. 这从几何意义的角度，给前面代数解法（配方法）所得到的答案以合理解释。问题4的结论，我们注意到，当时，则取得最大值1. 所以问题3是问题4的特殊情况而已，问题4的结论具有一般性，如果再追问：若已知三角形ABC的面积为，在问题4的条件下，求三角形AMN面积的最小值。只需利用的几何意义就迎刃而解。前面的问题，是将定点在BC边上运动，如果定点在中线上运动，又会有怎样的美妙结论呢？问题5：如图所示， G是中线AD上一点，且已知，过点G的直线交的AB、AC边分别与P、Q两点，设，探索三个比值之间满足怎样的关系。师生活动解：利用共高三角形，底边之比等于两三角形面积之比易得， .(1) (2)注意到这些三角形面积都可以与AD产生联系。同样的： 所以 (3) (4)由（1）（3）得：(5)由（2）（4）得：.(6)(5) +(6)得：所以得 整理得 ，这就是三个比值之间的联系赏析：特别的，当G为三角形的重心时，即，代入中，对应的两个比值满足倒数和为定值3，想象一下，直线绕重心旋转，其对应的比值在不停变化，但变化中却存在 不变的量（即倒数和为3不变）.这规律和谐美，统一美，奇异美。对于一般情况下，这三个比值满足的关系式，表达式简单美，表达式结构整齐和谐美。3. 创意表达尝试提出新的问题，比如“研究系数积最大值”，比如“G是角平分线线AD上一点”。练习1. 如图所示， G是三角形ABC的重心，即，过点G的直线交的AB、AC边分别与P、Q两点，设，（1）若，求与的面积之比（成都2018高三二诊文科）