远期与期货的定价

第三章 远期与期货定价,第一节 远期价格与期货价格,2,3.1远期价格与期货价格 一、远期价值、远期价格与期货价格 远期合约中规定的未来交易价格称为“交割价格”。显然远期协议一旦签订，在协议到期之前交割价格不会改变。 远期价值是指远期合约本身的价值。 例：一个交割价格为10元，交易量为100单位，距到期日还有1年的远期合约，如果标的资产当前的市场价格为15元，市场无风险连续复利率为10%，对多头来说，该远期的价值为： （15-10e-10%1）100=595 对空头来说，其价值就是-595,3,关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种情形。 在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选择的交割价格应使远期价值在签署合约时等于零。 在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化，多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。,远期价格是指使远期合约签订时价值为零的交割价格。 如上例，假设远期价格为F，那么远期价格就是使得 （15-Fe-10%1）100=0的F，通过计算可得F=16.58 即，当交割价格为16.58时，该远期价值才为零。 所以，远期价格又是理论上的交割价格。(在实际中，远期价格与交割价格是对应的，但远期价格不一定与理论上的交割价格一致，不一致时出现套利),5,例：考虑一个3个月期的无股息股票的远期合约，假定当前股票的价格为40美元，3个月期的无风险利率为5%。 如果假定远期价格相对较高，为43美元。套利者能以5%的利率借入40美元，并利用借贷的资金购买一只股票，并同时卖出一份远期合约，3个月后偿还贷款的现金为： 40e0.053/12=40.05美元 结果，获利为43-40.05=2.5美元 反之，如果定价较低为39美元，结果一样，也会出现套利机会，所以为了保证无套利机会，远期的价格必须为40.05美元。,关于远期价格的讨论也要分远期合约签订时和签订后两种情形。 一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等于这个理论上的远期价格，该远期合约价值对于多空双方来说就都不为零 ，实际上隐含了套利空间。 在远期合约签订之后，交割价格已经确定，远期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定等于交割价格。（假设，同一天在签完合约后，标的资产价格发生变化，这时，远期价格也发生变化。） 所以，远期价值就是远期合约本身的价值，而远期价格是理论上使远期价值等于零的那个未来的交割价格。,类似地，在期货合约中，我们定义期货价格（Futures Prices）为使得期货合约价值为零的理论交割价格。 但值得注意的是，对于期货合约来说，一般较少谈及“期货合约价值”这个概念。基于期货的交易机制，投资者持有期货合约，其价值的变动来源于实际期货报价的变化。由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏，因此期货合约价值在每日收盘后都归零。,8,当无风险利率恒定且所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。 这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时，期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，但是可按低于平均利率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头将不会因利率的变动而受到上述影响。在此情况下，期货多头比远期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格。 当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格就会高于期货价格。,9,远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。当有效期只有几个月时，两者的差距通常很小。此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远期价格和期货价格的差异。 远期价格与期货价格的定价思想在本质上是相同的，其差别主要体现在交易机制和交易费用的差异上，在很多情况下常常可以忽略，或进行调整。因此在大多情况下，我们可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并都用F来表示。,10,（一）基本的假设,为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下的： 1没有交易费用和税收。 2市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3远期合约没有违约风险。 4允许现货卖空。 5当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。 6期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头或空头地位。,11,（二）符号,本章将要用到的符号主要有： T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。 t：现在的时间，单位为年。变量T 和t 是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T-t 代表远期和期货合约中以年为单位的距离到期时间的剩余时间。 S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。 ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量）。 K：远期合约中的交割价格。 f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值。,12,（二）符号（续）,F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期货价格，在本书中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。 r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率），在本书中，如无特别说明，利率均为连续复利的年利率。,13,第二节 无收益资产远期合约的定价,14,本章所用的定价方法为无套利定价法。基本思路为：构建两种投资组合，令其终值相等，则其现值一定相等；否则就可进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。,15,例如，为了给无收益资产的远期合约定价，我们构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（Tt）的现金； 组合B：一单位标的资产。,16,在组合A中，Ke-r（Tt）的现金以无风险利率投资，投资期为（Tt）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（Tt）er（Tt）=K 在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。根据无套利原则：终值相等，则其现值一定相等，这两种组合在t时刻的价值必须相等。 即： f+ Ke-r（Tt）=S f=SKe-r（Tt） （3.1） 该公式表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一单位无收益资产远期合约多头等价于一单位标的资产多头和Ke-r（Tt）单位无风险负债的资产组合。,17,由于远期价格就是使远期合约价值为零的交割价格 ，即当 =0时， = 。据此可令式（3.1）中的 =0，则 (3.2),这就是无收益资产的现货-远期平价定理（Spot-Forward Parity Theorem），或称现货期货平价定理（Spot-Futures Parity Theorem）。 见案例P52-3.1和3.2,18,为了证明无收益资产的现货-远期平价定理 ，我们用反证法证明等式不成立时的情形是不均衡的。 若KSer（Tt），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r 借入S现金，期限为Tt。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金，并归还借款本息Se r（Tt），这就实现了 KSer（Tt） 的无风险利润。,19,若KSe r（Tt），即交割价格小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，套利者收到投资本息Ser（Tt），并以K现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（Tt）-K的利润。,20,21,远期价格的期限结构描述的是同一标的资产不同期限远期价格之间的关系。（比如3个月和6个月） 设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格, r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率。对于无收益资产而言，从无收益资产的现货-远期平价公式可知, 两式消除掉S后， （3.3） 见案例P53-3.3,第三节 支付已知现金收益资产远期合约的定价,22,支付已知现金收益的标的资产是指在远期合约到期前会产生完全可预测的现金流的资产，如付息债券和支付红利的股票。（注，黄金白银不产生收益，但要花费一定的成本储存，可以看成是负收益） 令已知现金收益的现值为I，对黄金白银来说I是负值。 仍然采用无套利定价法给支付已知现金收益资产的远期合约定价 。构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke r (T-t) 的现金 。 组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从当前时刻到现金收益派发日 、本金为I 的负债。,23,组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。 在组合B中，由于标的证券的现金收益刚好可以用来偿还负债的本息，因此在T时刻，该组合的价值也等于一单位标的证券。 因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即 (3.4) 从组合的角度考虑，式（3.4）说明一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和(I+Ke r (T-t)单位无风险负债构成。 见案例P54-3.4,24,根据远期价格的定义，我们可从式 中求得： （3.5） 这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。式（3.5）表明，支付已知现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。,25,反证法： 假设 ，即交割价格高于远期理论价格。则套利者可以进行如下操作：以无风险利率借入现金S买入标的资产，并卖出一份交割价为K的远期合约，将在T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出至T时刻。这样，到T时刻，套利者将标的资产用于交割得到现金收入K，还本付息 ，同时得到 的本利收入。最终套利者在T时刻可实现无风险利润 。,26,如果 ，即交割价格低于远期理论价格。则套利者可以进行反向操作：借入标的资产卖掉，得到现金收入S以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为K的远期合约。在T时刻，套利者可得到贷款本息收入 ，同时付出现金K换得一单位标的证券，用于归还标的证券的原所有者，并把该标的证券在T-t期间的现金收益的终值 同时归还原所有者。这样，该套利者在T时刻可实现无风险利润 。 （注：在卖空交易中，借入证券只是借入证券的使用权未借入所有权，所以该证券的收益归原所有者。） 案例P55-3.5,27,第四节 支付已知收益率资产远期合约的定价,28,29,支付已知收益率的标的资产是指在远期合约到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产。 货币是典型的代表，其收益率就是该货币发行国的无风险利率，因此利率远期和外汇远期都可以看成是支付已知收益率资产的远期合约。股指也可近似的看成是支付已知收益率的资产。,为了给支付已知收益率资产的远期定价，我们可以构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 的现金； 组合B： 单位证券（其价格为S）并且所有收入都再投资于该证券，其中q 为该资产按连续复利计算的已知收益率。 组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。 组合B由于获得的红利收入全部都再投资于该证券，拥有的证券数量随着红利的不断发放而增加，所以在时刻T，正好拥有一单位标的证券。,30,因此在t时刻两个组合的价值也应相等，即： （3.6） 根据远期价格的定义，我们可根据式（3.6）算出支付已知收益率资产的远期价格： （3.7） 这就是支付已知收益率资产的现货-远期平价公式。 式（3.7）表明，支付已知收益率资产的远期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时刻的终值。 见案例P56-3.6,31,第五节 远期与期货价格的一般结论,32,注意，这里所谓的完美市场，就是我们在本章第一节中所讨论的基本假设成立的市场。,三个远期价格公式之间有着内在的一致性：,33,即，在计算远期价格时，总是将标的资产价格中远期多头到期时无法获得的确定性收益剔除，对标的资产价格的剩余部分以无风险利率计算终值，就得到理论的远期价格。,（1）,（2）,（3）,从前面的分析中我们发现，假设标的资产无收益，投资者A计划出售一单位标的资产，以下两种方法应该是等价的： 1.在当前t时刻卖出一份远期价格为F的远期合约1，合约到T时刻交割必定能获得F； 2.在当前t时刻立刻出售获得S，并以无风险利率r贷出，这样在T时刻可以获得确定性收入 。 由于t时刻两种投资的价值都为S，T时刻的两种确定性收入应相等： 如果实际价格高于或低于上述理论价格F，市场上就存在套利机会。,34,所以，远期价格是投资者A未来可获得的现金收入，那么合理的远期价格应使得A现在出售现货和未来出售远期所获得的确定性收入相等。无风险利率实际上反映了A现在不出售而在未来出售标的资产所承担的确定性成本(类似换季上市大白菜：原价+成本)。进而式（2）（3）中的I和q反映了A现在不出售而在未来出售标的资产所能获得的确定性收益，因此应从其收到的远期价格中扣除。 我们可以用持有成本（Cost-of-Carry）的概念来概括远期价格与现货价格的关系。持有成本的基本构成如下： 持有成本保存成本无风险利息成本（资产的融资利息）标的资产在合约期限内提供的收益,35,举例来说，不支付红利的股票没有保存成本和收益，所以持有成本就是利息成本 r ；股票指数的资产红利率为q，其持有成本就为 r-q；货币的收益率为rf ，所以其持有成本是 r-rf；对黄金和白银等投资性商品而言，若其存储成本与现货价格的比例为u，则其持有成本就为ru；依此类推。 所以，如果我们用c表示持有成本，远期价格就为: （3.8） 相应地： （3.9）,36,1. 存在交易成本的时候，假定每一笔交易的费率为Y，那么不存在套利机会的远期价格就不再是确定的值，而是一个区间： 2. 借贷存在利差的时候，如果用rb表示借入利率，用rl表示借出利率，对非银行的机构和个人，一般是rbrl 。这时远期和期货的价格区间为：,37,3. 存在卖空限制的时候，因为卖空会给经纪人带来很大风险，所以几乎所有的经纪人都会扣留卖空客户的部分所得作为保证金。假设这一比例为X，那么均衡的远期和期货价格区间应该是： 如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区间应该是： 完全市场可以看成是 的特殊情况。,38,本书的讨论焦点是金融标的资产的衍生产品，金融标的资产属于投资性资产。 所谓投资性资产是指投资者主要出于投资目的而持有的资产，如股票、债券等金融资产和黄金、白银等资产。 由于投资性资产的投资决策不受消费等其他目的的影响，投资者所关注的是金融资产中所蕴涵的风险收益特征而非金融产品本身，因此标的资产及其期货之间存在高度的可替代性，只要相对价格水平不合理，投资者随时可在这两者之间进行转换。所以，在这样的市场上，只要没有其他的制度制约套利行为，期货的定价就成为一个纯粹的风险收益问题，相应地无套利原则和持有成本模型就成为远期定价的基本原理。,39,消费性资产则是指那些投资者主要出于消费目的而持有的资产，如石油、铜、农产品等。对于消费性资产来说，远期定价公式 不再适用，而是转化为 ： 原因在于消费性的标的资产具有消费价值，而远期却无法即时消费，消费性的标的资产与其远期之间并不具有完全的可替代性。因此即使在远期价值相对偏低的时候投资者也不会轻易出售现货，购买远期，从而使得单纯基于风险收益考虑的金融无套利原则不再完全有效。,40,第六节 远期（期货）价格与标的资产现货价格的关系,41,无套利条件下 ， 。 可以从三个角度分析F和S之间的关系 ： 第一，当标的资产在远期（期货）存续期内没有收益、已知现金收