（谢祥）《渗透数学美育》PPT（授课）9.19.ppt

核心素养理念下渗透数学美育 的价值及其策略研究,成都市金牛区教育科学研究院 谢 祥 2019.09.22,1.数学美育的含义、价值及数学美的特征 2.渗透数学美育的策略（举例）,目 录,美育又称为审美教育（或美感教育），是运用审美形象的感染作用，培养学生认识美，热爱美，创造美的能力的教育。数学美育把数学教学和数学审美结合起来，通过数学中美的事物来培养学生的审美感知力、审美理解力、审美评价力以及审美创造力。,1.1 数学美育的含义,对综合素养的“共性化贡献” 理性美 审美情趣，人格发展 对核心素养的“个性化贡献” 提升美感体验 开发想象力 思维创造力 对课堂教学变革的导向作用 关注核心素养 改革教学方式 渗透德育,1.2 数学美育的价值,1.3 数学美育的审美特征,毕达哥拉斯：和谐美,庞伽莱：简单性 对称性 统一性 奇异性,数学家 徐利治 在复杂事物中揭示出的简单性 在离散的事物中概括出的统一性 在无序的事物中发现的对称性 在平凡的事物中认识到的奇异性,1.3 数学美育的审美特征,例：对称美、统一美与奇异美,1.树之美,2.完全平方公式之美,枝是伸在空中的根 根是藏在土里的枝,数学抽象，直观想象用数学眼光观察世界，感受美,逻辑推理，数学运算用数学思维分析世界，感悟美,数据分析，数学建模用数学语言表述世界，创造美,核心素养与数学审美,2.渗透数学美育的操作策略,数学教学中，要感受数学知识的美，首先必须揭示数学知识内容的本质规律，要把数学知识内容分析透彻，也只有在透彻中，才能真正欣赏到数学知识的本质规律之美. 对数学知识内容的赏美方法包括概念赏美法和命题赏美法（如案例1关于概念,案例2关于定理）,2.1 赏美策略,如何发现美妙的数学方法？“以退为进,化繁为简”是常用的策略.“退”指回到问题的起点，退回到问题的初始状态，利于探求解决问题的方法。在解决复杂问题时，可以思考：此复杂问题是由什么简单问题变化来的？在不改变问题的实质的条件下，（1）在数量上可否“减小”,特殊化（如案例3）？（2）在图形上可否“简化”？形状可否“特殊化”?位置关系可否特殊化（极端化，极限化）（如案例）？揭示复杂问题中蕴含的简单性，感受数学方法的简单美,线段公理与距离概念 （七年级） 问题： 如图3，猜测“从A到C的四条道路，哪条最短？” （1）ABC（2）AC （3）AFC（4）ADEC,案例1,引导学生思考所选的路径是条什么线，从而得出结论：两点之间的所有连线中，线段最短。借助几何直观，得出线段公理，意在培养几何直观的核心素养。两点之间线段最短，这个最短线段的长度叫两点之间的距离，其中“最短”二字非常美妙，说明“线段的长度”，它是两点之间所有连线中，长度最小的量，所以“距离”这个量具有唯一性、确定性，还具有美妙的实用性，如最短路径即是最节省的最经济的路径。,案例1,平行线截线段成比例定理（九年级上）,问题:如图所示，已知l1l2l3， l1与l2的距离为a, l2与l3 的距离为b.任意两条直线与三条平行线相交, 分别交于A、B、C、A1、B1、C1,求证：,l1,l2,l3,A,B,C,A1,B1,C1,案例2,美在哪？美在： 推广1：( ) （数学抽象化，任意条直线） 条直线与三平行线相交，在每条直线上所截的对应 线段之比都等于“相应平行线之间的距离”之比,赏析,推广2： ( ) 条直线与 ( )平行线相交，在每条直线上所截的对应线段之连比都等于“相应平行线之间的距离”之比,在一条直线的各线段（无重叠的线段有,条）之连比,该结论美丽在于它具有美妙的和谐的一致性，即数学“统一美”。,我们知道“平行线具有平行传递性”的几何特征，这个结论可否也看作平行线的传递性，传递了线段间的比，传递代数特征（线段间的比）! 美妙的传递性.,赏析,此计算方法美吗？,案例3,以退为进 化繁为简 妙解复杂的带分数除法 （七年级上 学了负数之后）,案例3,2. 问题深究，感悟数学思想美 问题2（推广）：一般地，求证,证明:,案例3,逆向思考，整数除以带分数呢？创造数学美 易知,用字母表示数，由特殊推广到一般，这是数学抽象的基本方法之一。在此抽象中，可以感悟到由特殊到一般的数学思想方法的美，她揭示了特殊中隐含的一般的数学规律，揭示出复杂事物中的简单性，感悟到数学抽象带给我们的概括美，简单美。逆向思维，带给我们数学思维方法的对称美！,赏析,案例3，在复杂的问题中揭示出简单性，我们会欣赏到数学方法的简单美，数学思路的奇异美。将问题推广到一般的过程中，培养了数学抽象、逻辑推理，数学运算、数据分析等核心素养，同时还能培养学生克服困难，勇于创新性解决一般问题的个性品格。,赏析,动直线截三角形两边所得线段比的美妙结论（九年级）,问题: 如图所示，已知O是ABC的 BC边的中点，过O的直线交直线AB、AC分别于M、N,且 ， .则m+n=_.,案例4,常规解法：过B作直线BD/AC交MN于D， 设AM=t ，则 AB=mt,BM=(1-m)t 易得 同理可得 由于O是ABC的BC边的中点，所以NC=BD 1-m=n-1,m+n=2.,巧思妙解:,巧解1(极限思维): 直线MN绕O点旋转到与BC重合，此时m=n=1 所以m+n=2.,巧解2(极限思维): 直线MN绕O点旋转到与AB平行，此时M在无限 远处,m=0, n=2，所以m+n=2.,本问题奇异点在于，过中点O的直线分别交直线AB、直线AC于M、N两点，由于动直线它可以绕O点旋转，所以M、N两点其实是“不确定”的，对应线段比值 m ，n也将随着M、N的变化而变化，但是在“变化中”存在“不变的”量，即 ，这让我们惊奇和意外，该规律具有数学奇异美。对于速解“选填题”，两个巧思妙解十分有效，它们都是用“极限思维”方法求得结论。从逻辑上看，既然动直线没有约定满足怎样的条件，当然可以在“任意状态”下考虑“特殊状态”，迅速得到结论，巧思妙解的方法简洁美。,赏析,悟美是感悟数学美的简称，所谓感悟指在数学运算、数学推理等数学活动过程中获得数学美的体会，包含渐悟与顿悟。 感悟美的一个重要技巧是求“联”，即发挥想象，在审美对象的 “关联”中感悟美,3.2 悟美策略,感悟美可以借用数学思想作为具体策略。常用的数学思想有：函数与方程的思想，数形结合的思想，转化与化归思想，分类讨论思想等等。 数学思想是对数学知识与方法经过概括后产生的本质认识，它是数学知识与方法的精髓。数学知识与方法是数学思想的载体，数学思想是数学知识与方法的灵魂,3.2 悟美策略,数学思想的美，实质是数学思维的美。在解决问题过程中或解决问题后，通过引导学生去总结与反思，去感悟数学思想方法，去领悟数学的本质美，从而获得的一种反思性的美感。如数形结合悟美法、转化与化归悟美法（如案例5等），由特殊到一般悟美法（如案例等）,3.2 悟美策略,比较内、外圈三角形石板的面积 （八年级）,问题： 如图，园林小路，曲径通幽。小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。请问是内圈三角形石板的总面积大，还是外圈三角形石板的总面积大？,案例5,思考内圈三角形石板的总面积大，还是外圈三角形石板的总面积大？这是个非常有趣的问题，可能外圈的三角形面积大吧？观察图形（如图），不难发现本图的“基本元素（基本图形）”是两个正方形共顶点A，形成内外两三角形ABC与ADE，若能比较ABC与ADE面积的大小，则问题得以解决！这是把复杂问题转化为简单问题，堪称“第一次美妙的转化”！,案例5,-,接着，将ABC绕A点顺时针旋转90度,发现：两个三角形是等底等高，二者面积显然相等。美丽的旋转变换，堪称“第二次美妙的转化”，最终问题得解。在两次转化的过程中，渗透“转化与化归”的数学思想，培养逻辑推理等核心素养，也让学生深刻感悟到“转化与化归”的数学思想方法之美，感悟数学的实用价值之美。,案例5,“求三角形第三边长的范围问题”的推广(七年级),问题1 已知三角形的两边长为3与4，求三角形第三边长的范围.,赏析:借助两节木棍，几何直观，演示第三边的长度，随两木棍之间的夹角变化而变化，得出最值状态（叠合），边长介于已知两边长的和差之间，非常直观形象，把“为什么在和差之间”演示得清清楚楚.,案例6,数学抽象，由特殊数据到一般字母呢？,显然：a-b第三边a+b,案例6,变式1 ：一般地，若已知三角形两边长为a，b（不妨设ab）则第三边长的范围，你能用a，b表示吗？,由特殊数据推广到一般字母，即代数化，它是培养数学抽象，数学归纳的重要途径和重要策略，得到的是适用于一般情况的一般化结论（通适性结论）。接下来类比三角形，考虑四边形已知三边，求第四边的范围，仍然从特殊数据入手研究 。,赏析,那么推广到一般凸四边形呢？ 数学抽象，由特殊数据到一般字母呢？,赏析：我们注意到，两小边之和可能大于最长边， 也可能小于最长边。显然需要分类讨论:,再推广，对于一般的凸 n 边形呢?,（1）当b+ca 时,则a-b-c第四边的长 a+b+c,变式2 ：一般凸四边形，已知其中三边长为a、b、c （不妨设ab c ）求第四边长的范围.,（2）当b+ca 时,则0第四边的长 a+b+c,赏析,变式3：对于一般的凸n边形，如果已知其中的（n-1）边之长为a1, a2, an-2, an-1, （不妨设a1a2 an-2 an-1），求第n边长的范围.,类比一般凸四边形的解决方法，分类讨论,赏析,本案例，由三角形到凸四边形，做了类比研究，意外发现第四边长的范围，并不是象三角形的未知边那样简单的“介于和差之间”，而要分两种情况讨论。再由凸四边形到一般凸n边形的推广研究，完成由特殊到一般的归纳推理，探索并发现一般规律，在问题的关联中体会规律的一致性（即统一美）。在这个研究过程中，几何直观（木棍代替边）的演示，给数学推理助力，保驾护航。,赏析,拓美即拓展美、创造美，是指在感悟数学美的基础上，在更广阔的范围拓展并创新数学之美，是一种对美的欣赏能力的迁移与拓展，它着重强调的是一种能透过现象把握本质的能力，并提高学生应用美的能力.,3.3 拓美策略,其核心技巧之一是求“新”，即创新思维，提出新问题，发现新方法（如案例变式拓美法）； 其核心技巧之二是求“用”，通常可引导学生将解题策略或数学思想方法在不同问题的解决中得以应用(如案例8).,3.3 拓美策略,巧解多个绝对值的和的最小值（七年级）,问题1： x=_时,代数式 取最小值？最小值为多少？,赏析：巧用绝对值和的几何意义，求多个绝对值的和,易知 x=1010，从而求得最小值.,案例7,当x=1010时,代入得：,案例7,变式1： x=_时,代数式 取最小值？ 最小值为多少？,巧解：系数2、3、4看着该点重复次数，所以看成数轴上有9个点，正中间点点应为第5个点，故x=2时，代入取得最小值为：2+4=6.,变式2： x=_时,代数式 取最小值？ 最小值为多少？,案例7,赏析：对于绝对值符号前面有整系数，看作是“到该点的距离”次数，即该点的重复“次数”，使问题转化。非常巧妙！ 再变式，对于 求最小值呢？其实只需将x前面的系数提到绝对值符号前面，就转化为变式.,案例7,变式3 ：对于 求最小值呢？,赏析：其实只需找到所有分母的最小公倍数（即 12 ），并以它作公分母对系数通分，提出 ，即把问题转化为系数是整数的变式.,黄金分割拓展美（九年级）,黄金分割这节课，可以通过感受数学美、感悟数学美和拓展数学美三环节，引导学生经历一场美妙的“黄金分割的比值及其应用”的探索之旅，特别是在“创造数学美”环节，从摄影、艺术、绘画、雕塑、建筑和生活共6个方面，开展“数学多元小课题”活动，既将学生的课题与课堂教学内容融合，与课堂活动相融合，供学生个性化学习与探究，又可作为课堂的延伸与拓展，进一步引导学生去应用数学美、创造数学美.,案例8,（1）学生小课题1：摄影中的应用 探究思考: 如果你爱好摄影，结合今天的知识， 你会如何构图呢？ （2）学生小课题2：艺术中的应用 探究思考:一个舞台边缘长20米， 请你计算出演员应该站在舞台什么位置？(精确到0.1m) （3）学生小课题3：绘画作品中的应用.,探究思考: 我们在研究蒙娜丽莎（缩放图）时,我们发现她的脸部刚好可以放入一个长4.5cm，宽约2.8cm的矩形中，你能用今天学习的知识揭开她美的“面纱”吗？,案例8,（6）学生小课题6：生活中的应用 探究思考:人的正常体温是37，人体感到最舒适的温度是多少？近来科学家研究证实，为什么每天75小时是最理想的睡眠时间？,案例8,（4）学生小课题4：雕塑中的应用 探究思考: 断臂维纳斯以肚脐为分界点，上下比例近似为5：8，你能用今天学习的知识解释其中蕴含的美吗？,（5）学生小课题5：建筑中的应用 探究思考:成都广播电视塔，塔高339米，塔高位居中国西部第一，因此，本项目得名为 “成都339”，塔楼204米处为观光区。你知道这样设计的道理吗？,我们还可以结合数学课程教学内容，在各学期精心设计并开展具有趣味性、可操作的，主题明确，内容丰富，形式多样的数学美育主题实践活动，比如“关于数学美的日记”。开展“小、众、活”成果展示活动，“小”指小型化，“众”指全员化参与，“活”指灵活化。让数学美育的渗透，润物细无声。,在核心素养理念下，数学美育