自动控制原理__(10).ppt

5.4 乃奎斯特稳定判据,（1）乃氏判据是根据开环频率特性判断闭环系统稳定性的一种几何判据。 （2）乃氏判据不需要求解闭环系统的特征根，当系统某些环节（延迟）无法用分析法写出时，可以通过实验法获得系统开环频率特性来判断闭环稳定性。 （3）乃氏判据能给出系统的稳定裕量（幅值裕量、相位裕量）来描述系统的相对稳定性，能指出提高和改善系统动态性能的途径，因而这种方法在工程上获得广泛的应用。 （4）依据：映射（幅角）原理和系统稳定的条件。,5.4.1 引言乃氏判据的特点：,本节主要内容：乃氏判据、稳定裕量及计算。,先看下面对应关系,因此，可称GH中(-1,j0)点为使系统闭环稳定的开环临界点。,5.4.2 幅角原理映射原理,(1) 辅助函数F(s),设,引入辅助函数复变函数,F (s)的特点： 其零点是闭环极点，其极点是开环极点，因此F(s)的零、极点个数（用Z表示）相同。 系统稳定条件是闭环所有极点即 F (s)的所有零点全部位于s左半平面。,5,(2) 幅角原理（映射原理）,对于s内任一封闭曲线s ，在F(s)内都能映射出另一封闭曲线F；当s包围F(s)的Z个零点和P个极点，且s不通过F(s)的任何零、极点时，则当s顺时针方向沿 s转一圈时，F 逆时针包围其坐标原点N圈，且N=P-Z。,如下图说明：, s,s,F,F(s),6,(3) 乃氏路径及映射,选取s右半平面边界线为s，称为乃氏路径。如图有：,=-j0-0+j-j 即：乃氏路径=虚轴+半径为的半圆,而半径为的半圆可表示为：,因nm，所以此时有：,或1+K,可见：s内的乃氏路径即s曲线在F(s)内的映射即F曲线只决定于虚轴，即=-j0-0+j的部分。而此时的F即F(j)曲线。,特别说明：在奈氏路径中，= -0- 和= 0+是关于实轴对称的，所以一般只需画出=0+的虚轴及其在F(s)平面的映射部分即可，为使奈氏判据使用起来简单，下面的讨论均指=0+的虚轴及其映射部分。,(4) F(s)与GH 的映射关系,所以： 当=0+变化时，F(s)内F逆时针包围其坐标原点的圈数N=乃氏曲线G(j)H(j)逆时针包围GH 内（-1，j0）点的圈数。即有下面对应关系：,8,由此，幅角原理可以叙述为： 如果某系统在s右半平面中含其闭环传递的Z个极点和开环传函的P个极点时，则s右半平面的包络线在GH中的映射就是系统的开环奈氏曲线G(j)H(j)，而且当=0+变化时，奈氏曲线G(j)H(j)逆时针方向包围（-1, j0）点的圈数为：,其中： N F (s)内F逆时针包围其坐标原点的圈数，即GH 内乃氏曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数。 P s内F (s)的极点数即s右半平面开环极点数。 Z s内F (s)的零点数，即 s右半平面闭环极点数。,显然Z=0时系统稳定。此时闭环系统稳定的充要条件可表述为：N = P/2。,0型系统 特点：系统开环传函不含0极点，开环系统稳定。 奈氏判据：当=0变化时，开环奈氏曲线逆时针包围（-1, j0）点的圈数N = P/2时，闭环系统稳定；否则不稳定，此时不稳定闭环特征根的个数为Z = P-2N。,设P为系统开环传函右半平面极点数，N为乃氏曲线逆时针包围临界点（-1，j0）的圈数。则乃氏稳定判据为：,5.4.3 乃氏稳定判据,非0型系统 特点：系统开环传函含有0极点，开环系统处于临界稳定。 说明：开环传函含有零极点因子，相当于s 经过了F(s)的零极点，这不符合幅角原理的要求，因此不能直接应用奈氏判据，需要做一些数学处理。,如图所示，可用半径为无穷小的1/4圆弧“代替”s=0的极点。这1/4圆弧可表示为：,开环传函含有0极点因子的数学处理：,此时，开环传递函数可表示为：,可见，当s 沿半径为无穷小的圆弧从j0变化到j0+时，奈氏曲线则在无穷远处由0变化到-90，即顺时针方向变化的角度为90。 因此，若开环系统含有个积分环节，在应用奈氏判据时，应先绘出=0+的奈氏曲线，再从=0+开始逆时针补画一个半径为，相角为90的大圆弧增补线（至=0处），作为奈氏曲线的起始部分，然后再根据0型系统奈氏判据的方法判断系统的稳定性。,乃氏稳定判据使用说明：,(1) 乃氏曲线 0型系统乃氏曲线在= 0点是封闭的（加上实轴的一部分），无需作辅助线；对于非0型系统，乃氏曲线= 0点不封闭，需做辅助线，方法是从=0+开始逆时针作半径为，角度为90的圆弧至=0。,(2) 开环右半平面极点数P可根据已知的开环传函确定。 (3) 乃氏曲线逆时针包围(-1，j0)点时，N为正；反之N 为负。 (4) 乃氏曲线穿过（-1，j0）点时，闭环临界稳定，此时N是不定的。,乃氏稳定判据中N的简易判断方法 穿越法,因为开环奈氏曲线逆时针包围(-1, j0)点一圈，则其必然由上向下穿越(-1, j0)左边负实轴一次，因此可利用=0变化时开环奈氏曲线上、下穿越(-1, j0)点左边负实轴的次数来计算N，从而判断系统闭环稳定性。 将开环奈氏曲线从上而下，即逆时针穿越(-1, j0)左边负实轴称为正穿越一次，用N+表示，反之称为负穿越一次，用N- 表示。如果奈氏曲线起始或终止于(-1, j0)点以左的负实轴上，则称为半次穿越，同样有+0.5次穿越和-0.5次穿越。,则开环奈氏曲线在=0变化时，逆时针方向包围(-1, j0)点的圈数为：,N = N+ - N-,【例题分析】见P138-140例5-75-10。 练习：P159习题5-7。,作业：P159-160习题5-6，5-8。,5.5 控制系统的相对稳定性,即：稳定裕量及指标,1. 开环频率特性图上系统临界稳定点（线）,(-1，j0)为乃氏图上使系统闭环稳定的开环临界点。 对应Bode图上为两条临界稳定线：,2. 定义两个重要的频率：,截止频率 c：开环乃氏图上对应于幅值为临界值1的点的频率或 幅频Bode图与临界线0db线（轴）的交点频率。表达式为：A(c)=1或L(c)=0dB。,穿越频率 x：开环乃氏图上对应于相位为临界值-180的点的频率或相频Bode图与-180临界线的交点频率。 表达式为： ( x)= -180 。,3. 稳定裕量,定义：在频率特性图中，稳定裕量是指系统的稳定运行点到临界稳定点（临界稳定线）之间的“距离”。在实际工程系统中常用相位裕量和增益裕量h表示。,相位裕量又称相角裕量(Phase Margin) ：,幅值裕量又称增益裕量(Phase Margin)h：,0 Kg1,乃氏图上的相位裕度与幅值裕度,0 Kg1,N点,Bode图上的相位裕度与幅值裕度,结论：,根据稳定裕量指标可判断系统稳定性 0，h1或20lgh 0dB时系统稳定 0 ，h=1或20lgh= 0dB 时系统临界稳定； 0，h1或20lgh 0dB 时系统不稳定； 对最小相位系统，因为与h（20lgh）有唯一的对应关系，因此，可只用相位裕量来判断系统的稳定性。,一般工程要求：=30 60； 20lgh=610dB。,两种特殊情况 的处理：,（a）曲线与单位圆有三个交点，其相角裕度的值各不相同； （b）曲线与负实轴有三个交点，其幅值裕度的值也各不相同。 对以上两种特殊情况，一般以最坏情况考虑。,根据定义首先计算两个截止频率c和g：,c的计算： 方法1：根据开环传函由各转折频率分段，写出近似表达式，令A(c)=1c； 方法2：先绘幅频Bode图L() 三角形关系c。,x 的计算： 方法1：令(x)=-180x； 方法2：G(j) H(j)=P() +jQ() 令Q()=0x。,分别计算和h：,的计算：,两种稳定裕量 的计算：,h的计算：,4. Bode图与系统性能的关系：,高频段：反应系统抗高频噪声的能力。 高频段越陡，抗干扰能力越强。,计算结果： c2.2s-1，0.4；x2.2s-1，h1(0dB),作业：P160习题5-12，5-17。,5.8 闭环频率特性与时域性能指标,5.8.1 闭环频率特性主要性能指标,图5.59 一单位负反馈系统,闭环系统的幅频特性与相频特性为：,闭环系统对数幅频特性为：,M0=1时系统为无静差系统，否则为有静差系统。M(0)越接近1，则有差系统的稳态误差越小。,意义：Mr表征系统相对稳定性；r表征系统的动态响应速度。 Mr相对稳定性；r快速性 。,r是对应于谐振峰值处的频率 。,带宽频率（带宽）,定义：闭环幅频特性的幅值减小到0.707M0时的频率。,意义：反应系统对噪声的滤波特性。b越大，频带越宽，表明系统能通过的信号频率很宽，反应速度快；b越小，表明系统只能通过低频信号，反应速度慢，但抑制输入信号高频噪声的能力越强。,闭环幅频特性、相频特性为：,5.8.2 二阶系统频域指标与时域指标,平稳性指标：谐振峰值Mr与超调量 的关系,而：,快速性指标：带宽频率b、谐振频率r与ts、tp的关系,通过前面的公式可以证明，当给定时，Mr和固定，此时：,b、r与ts、tp都呈反比关系，这