（江苏专用）2020版高考数学复习第七章不等式、推理与证明、数学归纳法7.6直接证明与间接证明课件.pptx

7.6 直接证明与间接证明,第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,高考要求了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单问题，高考一般不单独考查，会与其他知识综合在一起命题,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.直接证明 (1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法. (2)一般形式,ZHISHISHULI,本题条件,已知定义,已知公理,已知定理,(3)综合法 定义：从_出发，以已知的_、_、_为依据，逐步_，直到推出要证明的结论为止.这种证明方法常称为综合法. 推证过程,已知条件,定义,公理,定理,下推,(4)分析法 定义：从_出发，追溯导致结论成立的条件，逐步_，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法. 推证过程,问题的结论,上溯,2.间接证明 (1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等. (2)反证法的基本步骤 _假设命题的_不成立，即假定原结论的反面为真. _从_和_出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出_结果. _由_结果，断定_不真，从而肯定原结论成立.,反设,结论,归谬,反设,已知条件,矛盾,存真,矛盾,反设,【概念方法微思考】,1.直接证明中的综合法是演绎推理吗？ 提示 是.用综合法证明时常省略大前提. 2.综合法与分析法的推理过程有何区别？ 提示 综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的. 3.反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？ 提示 不是.反证法是命题中“p与綈p”关系的应用.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析,1,2,3,4,5,6,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.( ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( ) (5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.( ),题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,PQ,P2Q2，又P0，Q0，PQ.,1,2,3,4,5,6,2,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,1,2,3,4,5,6,4.若a，b，c为实数，且aabb2；,解析 a2aba(ab)， a0， a2ab. (*1) 又abb2b(ab)0，abb2， (*2) 由(*1)(*2)得a2abb2.,1,2,3,4,5,6,5.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要作的假设是_.,方程x3axb0没有实根,解析 方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根.,1,2,3,4,5,6,6.如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则A2B2C2是_三角形.,钝角,1,2,3,4,5,6,解析 由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0， 则A1B1C1是锐角三角形， 假设A2B2C2是锐角三角形.,所以假设不成立.,1,2,3,4,5,6,则cos A1sin A21，A10，矛盾. 所以A2B2C2是钝角三角形.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 综合法的应用,自主演练,ab,即ab.,a0，b0且ab,3.若a，b，c是不全相等的正数，求证：,证明 a，b，c(0，)，,由于a，b，c是不全相等的正数， 上述三个不等式中等号不能同时成立，,上式两边同时取常用对数，得,4.已知a，b，c0，abc1.求证：,(abc)(ab)(bc)(ca)3，,证明 a0，3a11，,以上三式相加得,(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性. (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.,题型二 分析法的应用,师生共研,所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0， 故只需证明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，,即证1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2， 即证cos(x1x2)1.,由于当x1，x2R时，3x10,3x20，,当且仅当x1x2时，等号成立.故原结论成立.,(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键. (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.,所以要证的不等式成立.,题型三 反证法的应用,多维探究,命题点1 证明否定性命题 例2 设an是公比为q的等比数列. (1)推导an的前n项和公式；,解 设an的前n项和为Sn， 则当q1时，Sna1a1a1na1； 当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1， qSna1qa1q2a1qn， ，得(1q)Sna1a1qn，,证明 假设an1是等比数列，则对任意的kN*， (ak11)2(ak1)(ak21)， 2ak11akak2akak21， 2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1， a10，2qkqk1qk1. q0，q22q10， q1，这与已知矛盾. 假设不成立，故an1不是等比数列.,(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列.,命题点2 证明存在性命题 例3 已知在四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SBSD ，SA1. (1)求证：SA平面ABCD；,证明 由已知得SA2AD2SD2， SAAD. 同理SAAB. 又ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD， SA平面ABCD.,解 假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD. BCAD，BC平面SAD，AD平面SAD. BC平面SAD. 而BCBFB，BC，BF平面SBC， 平面SBC平面SAD. 这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾， 假设不成立. 不存在这样的点F，使得BF平面SAD.,(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由.,命题点3 证明唯一性命题 例4 已知M是由满足下列条件的函数构成的集合：对任意f(x)M，方程f(x)x0有实数根； 函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.,解 当x0时，f(0)0，所以方程 f (x)x0有实数根0；,(2)集合M中的元素f(x)具有下列性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在x0(m，n)，使得等式 f(n)f(m)(nm) f(x0)成立.试用这一性质证明：方程 f(x)x0有且只有一个实数根.,证明 假设方程f(x)x0存在两个实数根， ()， 则f()0，f()0. 不妨设，根据题意存在c(，)， 满足f()f()()f(c). 因为f()，f()，且，所以f(c)1. 与已知0f(x)1矛盾. 又f(x)x0有实数根， 所以方程f(x)x0有且只有一个实数根.,应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤： 第一步：分清命题“pq”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q； 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真. 所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知事实矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.,跟踪训练2 若 f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(ab)，则称函数 f(x)是a，b上的“四维光军”函数.,其图象的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边， 所以函数在区间1，b上单调递增. 由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，,因为b1，所以b3.,解 假设存在常数a，b (a2)，,解得ab，这与已知矛盾.故不存在.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,ABC,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(ab)(ac)0,(ac)2ac0 (ac)(2ac)0(ac)(ab)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.设x0，P2x2x，Q(sin xcos x)2，则P，Q的大小关系为_.,PQ,而x0，所以P2； 又(sin xcos x)21sin 2x， 而sin 2x1，所以Q2.于是PQ.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知函数yf(x)是R上的奇函数，且为增函数，若ab0，bc0，ca0，则f(a)f(b)f(c)的符号为_.,正,解析 ab0，ab. 又函数yf(x)是R上的奇函数，且为增函数， f(a)f(b)f(b)， 即f(a)f(b)0. 同理f(b)f(c)0，f(c)f(a)0， f(a)f(b)f(c)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.要证a2b21a2b20只要证明_.(填正确的序号) 2ab1a2b20；,解析 a2b21a2b20(a21)(b21)0.,(a21)(b21)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.设a，b是两个实数，给出下列条件： ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1. 其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_.(填序号),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,但a2，故推不出； 若a2，b3，则ab1，故推不出； 对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1， 下面用反证法证明： 假设a1且b1， 则ab2与ab2矛盾， 因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.用反证法证明命题“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_.,a，b都不能被5整除,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,只需比较42与40的大小， 4240，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,cn1cn,解析 由条件得,则cn随n的增大而减小，cn1cn.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知直线l平面，直线m平面，有下列命题： lm；lm；lm. 其中正确命题的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又m，lm，正确；,l，m平行、相交、异面都有可能，故错误；,又m，可能相交或平行，故错误.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2(nN*). (1)求数列an的通项公式；,解 当n1时，a1S12a12，则a11. 又anSn2，所以an1Sn12，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.,证明 假设存在三项按原来顺序成等差数列， 记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，,所以22rq2rp1. (*) 又因为pqr，所以rq，rpN*. 所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，矛盾. 所以假设不成立，原命题得证.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.设an和bn是两个等差数列，记cnmaxb1a1n，b2a2n，bnann(n1,2,3，)，其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs这s个数中最大的数. (1)若ann，bn2n1，求c1，c2，c3的值，并证明cn是等差数列；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 c1b1a1110， c2maxb12a1，b22a2 max121,3221， c3maxb13a1，b23a2，b33a3 max131,332,5332. 当n3时，(bk1nak1)(bknak)(bk1bk)n(ak1ak)2n0， 所以bknak在kN*上单调递减. 所以cnmaxb1a1n，b2a2n，bnannb1a1n1n. 所以对任意n1，cn1n，于是cn1cn1， 所以cn是等差数列.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时， M；或者存在正整数m，使得cm，cm1，cm2，是等差数列.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,证明 设数列an和bn的公差分别为d1，d2， 则bknakb1(k1)d2a1(k1)d1n b1a1n(d2nd1)(k1).,当d10时，,因此，cnb1a1n， 此时，cm，cm1，cm2，是等差数列.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当d10时，对任意n1， cnb1a1n(n1)maxd2,0 b1a1(n1)(maxd2,0a1). 此时，c1，c2，c3，cn，是等差数列. 当d10时，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对任意正数M，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.若二次函数 f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存在一点c，使 f(c)0，则实数p的取值范围是_.,解析 若二次函数 f(x)0在区间1,1内恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；,证明 任取x1，x2(1，)， 不妨设x10. a1，ax2x11且ax10， ax2ax1ax1(ax2x11)0. 又x110，x210，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故函数f(x)在(1，)上为增函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)用反证法证明方程 f(x)0没有负数根.,证明 假设存在x00(x01)满足 f(x0)0，,a1，0ax01，,故方程 f(x)0没有负数根.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.已知函数f(x)2e2x2axa2e1，其中aR，e为自然对数的底数.若函数 f(x)在区间(0,1)内有两个零点，则a的取值范围是_.,(2e1,2e22e1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)2e2x2axa2e1， 则 f(x)4e2x2a，x(0,1)， 40，函数f(x)在(0,1)内单调递增， 故在(0,1)内至多有一个零点，故舍去；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则h(x)ln x1ln 2， 当x(2,2e)时，h(x)0，h(x)为增函数