（江苏专用）2020版高考数学一轮复习第四章三角函数4.3三角函数的图象和性质课件.pptx

4.3 三角函数的图象和性质,高考数学 (江苏省专用),A组 自主命题江苏卷题组,五年高考,1.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+) 的图象关于直线x= 对称,则的值是 .,答案 -,解析 本题考查正弦函数的图象和性质. 函数y=sin(2x+)的图象关于直线x= 对称,x= 时,函数取得最大值或最小值,sin =1. +=k+ (kZ),=k- (kZ), 又- ,=- .,方法提炼 函数y=Asin(x+)+B(A0,0)的性质: (1)ymax=A+B,ymin=-A+B. (2)最小正周期T= ; (3)由x+= +k(kZ)求对称轴; (4)由- +2kx+ +2k(kZ)求单调增区间;由 +2kx+ +2k(kZ)求单调 减区间.,2.(2016江苏,9,5分)定义在区间0,3上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是 .,答案 7,解析 解法一:在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间0,3上的图象(如图). 由图象可知,共有7个交点. 解法二:由sin 2x=cos xcos x=0或sin x= ,因为x0,3,所以x= , , , , , , ,故 两函数图象的交点个数是7.,3.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x0,. (1)若ab,求x的值; (2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.,解析 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,- ),ab, 所以- cos x=3sin x. 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾, 故cos x0. 于是tan x=- . 又x0,所以x= . (2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,- )=3cos x- sin x=2 cos . 因为x0,所以x+ , 从而-1cos . 于是,当x+ = , 即x=0时, f(x)取到最大值3; 当x+ =,即x= 时, f(x)取到最小值-2 .,考点一 三角函数的图象及其变换,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,1.(2018天津文改编,6,5分)将函数y=sin 的图象向右平移 个单位长度,则下列说法正 确的是 . 所得图象对应的函数在区间 上单调递增 所得图象对应的函数在区间 上单调递减 所得图象对应的函数在区间 上单调递增 所得图象对应的函数在区间 上单调递减,答案 ,解析 本题主要考查三角函数图象的变换及三角函数的性质. 将y=sin 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin =sin 2x,当2k- 2x2k+ (kZ),即k- xk+ (kZ)时,y=sin 2x单调 递增,令k=0,得x ,所以y=sin 2x在 上单调递增.,易错警示 在进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行怎样的变换都是对自变量本身而 言的.另外,要注意变换前后两个函数的函数名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为 同名函数.,2.(2017课标全国理改编,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin ,则下面结论正确的是 (填序号). 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长 度,得到曲线C2; 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长 度,得到曲线C2; 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度, 得到曲线C2; 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度, 得到曲线C2.,答案 ,解析 本题考查三角函数的诱导公式及图象变换. 首先利用诱导公式化异名为同名. y=sin =cos =cos =cos , 由y=cos x的图象得到y=cos 2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不 变;由y=cos 2x的图象得到y=cos 的图象,需将y=cos 2x的图象上的各点向左平移 个 单位长度.故填.,方法总结 (1)三角函数图象变换: 伸缩变换:将y=sin x图象上的各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,可得到y=sin 的图象;将y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,可得到y=Asin x的图象. 平移变换:函数图象的平移变换遵循“左加右减”的法则,但是要注意平移量是指自变量x 的变化量. (2)解决三角函数图象变换的题时,若两函数异名,则通常利用sin x=cos 和cos x=sin 将异名三角函数转化为同名三角函数,然后分析变换过程.,3.(2016四川理改编,3,5分)为了得到函数y=sin 的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所 有的点向 平移 个单位长度.,答案 右;,解析 将y=sin 2x的图象向右平行移动 个单位长度得到y=sin =sin 的图象.,解后反思 将y=sin 化为y=sin 是解题的关键.,4.(2016课标全国改编,6,5分)将函数y=2sin 的图象向右平移 个周期后,所得图象对 应的函数为 .,答案 y=2sin,解析 该函数的周期为,将其图象向右平移 个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin 2 + =2sin .,5.(2016课标全国,14,5分)函数y=sin x- cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移 个单位长度得到.,答案,解析 函数y=sin x- cos x=2sin 的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移 个单 位长度得到.,评析 本题考查了三角函数的图象平移及两角差的正弦公式的逆用,属于中档题.,考点二 三角函数的性质及其应用,1.(2019北京理,9,5分)函数f(x)=sin22x的最小正周期是 .,答案,解析 本题考查二倍角的余弦公式以及三角函数的最小正周期;考查学生的运算求解能力.考 查的核心素养为数学运算. 因为f(x)=sin22x,所以f(x)= (1-cos 4x),所以函数f(x)的最小正周期T= = .,2.(2019天津理改编,7,5分)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)是奇函数,将y=f(x)的图象 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小 正周期为2,且g = ,则f = .,答案,解析 本题主要考查三角函数的图象和性质,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力. f(x)=Asin(x+)为奇函数,=k,kZ,又|,=0,f(x)=Asin x,则g(x)=Asin .由g (x)的最小正周期T=2,得 = =1,=2.又g =Asin = A= ,A=2,f(x)=2sin 2x,f =2sin = .,方法总结 1.若函数f(x)=Asin(x+)(A0,0)为奇函数,则=k(kZ);若f(x)为偶函数,则=k + (kZ);,2.若函数f(x)=Acos(x+)(A0,0)为奇函数,则=k+ (kZ);若f(x)为偶函数,则=k(kZ).,3.(2019课标全国理改编,9,5分)下列函数中,以 为周期且在区间 单调递增的是 . f(x)=|cos 2x|;f(x)=|sin 2x|; f(x)=cos|x|;f(x)=sin|x|.,答案 ,解析 本题考查三角函数的图象与性质;通过三角函数的周期性和单调性考查运算求解能力 以及数形结合思想;考查的核心素养为逻辑推理、数学运算. 对于,作出f(x)=|cos 2x|的部分图象,如图1所示,则f(x)在 上单调递增,且最小正周期T= ,故正确. 对于,作出f(x)=|sin 2x|的部分图象,如图2所示,则f(x)在 上单调递减,且最小正周期T= , 故不正确. 对于,f(x)=cos|x|=cos x,最小正周期T=2,故不正确. 对于,作出f(x)=sin|x|的部分图象,如图3所示.显然f(x)不是周期函数,故不正确. 图1,图2 图3,方法点拨 1.y=f(x)的图象的翻折变换: (1)y=f(x) y=f(|x|); (2)y=f(x) y=|f(x)|.,2.求三角函数的最小正周期: (1)形如y=Asin(x+),y=Acos(x+),则最小正周期T= . (2)形如y=|Asin(x+)|,y=|Acos(x+)|,则最小正周期T= .,4.(2019课标全国理改编,11,5分)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论: f(x)是偶函数 f(x)在区间 单调递增 f(x)在-,有4个零点 f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 .,答案 ,解析 本题考查函数的奇偶性、三角函数的图象与性质;考查学生的推理论证能力和运算求 解能力;考查的核心素养是逻辑推理. f(x)的定义域为(-,+), f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),故f(x)是偶函数,正确; 当x 时, f(x)=sin x+sin x=2sin x单调递减,不正确; 当x0,时,sin x0, f(x)=2sin x有两个零点,当x-,0)时, f(x)=-2sin x仅有一个零点,故不 正确; 当x0时, f(x)=sin x+|sin x|,其最大值为2,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在R上的最大值为2,正 确. 综上,正确,不正确.,名师点拨 本题背景熟悉,方法常规,但对学生的知识储备要求较高.每个结论考查的侧重点各 不相同,很难通过一个性质排除所有错误结论.,5.(2019课标全国理改编,12,5分)设函数f(x)=sin (0),已知f(x)在0,2有且仅有5个 零点.下述四个结论: f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点 f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点 f(x)在 单调递增 的取值范围是 其中所有正确结论的编号是 .,答案 ,解析 本题主要考查三角函数的图象、性质及其应用,函数的零点、极值点、单调性等知识, 通过对函数f(x)=sin 图象的研究,考查学生将复杂图象化归为简单图象,将陌生问题转 化为熟悉问题的能力,考查了直观想象的核心素养. 令t=x+ (0),x0,2, t 且y=sin t, f(x)在0,2上有且仅有5个零点, y=sin t在 上有且仅有5个零点, 2+ 5,6), ,故正确. y=sin t在 上极值点的个数即为f(x)在0,2上极值点的个数. 由y=sin t在 上的图象可知f(x)在0,2有且仅有3个极大值点,有2个或3个极小值点, 故正确,错误.,当x 时,t , 又 , + , , , y=sin t在t 上单调递增. y=f(x)在 上单调递增,故正确.,解题关键 令t=x+ (0),利用整体思想将原函数转化为y=sin t来研究. 当0时,y=sin 的图象可由y=sin x的图象经过平移、伸缩变换得到,y=sin 的 增、减区间可通过讨论y=sin x的增、减区间得到.,6.(2019课标全国文,15,5分)函数f(x)=sin -3cos x的最小值为 .,答案 -4,解析 本题主要考查三角函数的诱导公式、二倍角公式,二次函数最值问题;考查考生的转化 与化归能力,运算能力和换元方法的应用;考查的核心素养以数学运算为主. f(x)=sin -3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1, 令cos x=t,则t-1,1. f(t)=-2t2-3t+1=-2 + , 易知当t=1时,f(t)min=-212-31+1=-4. 故f(x)的最小值为-4.,方法总结 求解有关三角函数的最值问题的常用方法: (1)形如函数y=Asin(x+)(0,A0)的形式,利用函数的单调性求解; (2)涉及sin xcos x,sin xcos x的形式,常采用换元法转化为一元二次函数形式求解; (3)形如f(x)= 的形式常用数形结合思想进行求解.,7.(2018课标全国文改编,8,5分)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则下列说法正确的是 . f(x)的最小正周期为,最大值为3 f(x)的最小正周期为,最大值为4 f(x)的最小正周期为2,最大值为3 f(x)的最小正周期为2,最大值为4,答案 ,解析 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质. f(x)=2cos2x-sin2x+2=2(1-sin2x)-sin2x+2=4-3sin2x=4-3 = + ,f(x)的最小正周期T =,当cos 2x=1时, f(x)取最大值,为4.,解题关键 解题关键是通过三角恒等变换化简函数解析式.,8.(2018课标全国理改编,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数,则a的最大值是 .,答案,解析 本题主要考查三角函数的图象和性质. f(x)=cos x-sin x= cos , 由题意得a0,故-a+ , 因为f(x)= cos 在-a,a是减函数, 所以 解得0a , 所以a的最大值是 .,易错警示 本题易忽略a0,导致a的范围扩大而失分.,9.(2018北京理,11,5分)设函数f(x)=cos (0).若f(x)f 对任意的实数x都成立,则的 最小值为 .,答案,解析 本题主要考查三角函数的性质及其应用. f(x)f 对任意的实数x都成立, f =1, - =2k,kZ,整理得=8k+ ,kZ. 又0,当k=0时,取得最小值 .,名师点睛 由题意知函数f(x)在x= 处取得最大值,从而得出答案.,10.(2018课标全国文改编,6,5分)函数f(x)= 的最小正周期为 .,答案 ,解析 本题考查三角函数的周期. 解法一: f(x)的定义域为 . f(x)= =sin xcos x= sin 2x, f(x)的最小正周期T= =. 解法二: f(x+)= = =f(x),是f(x)的周期. f = ,而tan = = =- ,f =- f(x), 不是f(x)的周期, 也不是f(x)的周期.,方法总结 函数周期的求法: (1)定义法:若f(x+T)=f(x),T0,则T是f(x)的一个周期. (2)若T是函数y=f(x)的周期,则kT(kZ且k0)也是y=f(x)的周期. (3)若定义域内都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)= (f(x)0)或f(x+a)=- (a是常数且a0, f(x)0), 则f(x)是以2|a|为周期的周期函数. (4)若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)的图象关于点(a,0),(b, 0)对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)关于点(a,0)和直线x=b对称,则4|a-b|是f(x)的一个周期.,11.(2017课标全国文改编,3,5分)函数f(x)=sin 的最小正周期为 .,答案 ,解析 本题考查三角函数的性质. 由题意得=2,所以函数f(x)=sin 的最小正周期T= =.,12.(2017山东文改编,7,5分)函数y= sin 2x+cos 2x的最小正周期为 .,答案 ,解析 本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质. y= sin 2x+cos 2x=2sin , 从而最小正周期T= =.,13.(2016课标全国理改编,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后 图象的对称轴为 .,答案 x= + (kZ),解析 将函数y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到函数y=2sin =2sin 的图象,由2x+ =k+ (kZ),可得x= + (kZ).则平移后图象的对称轴为x= + (kZ).,易错警示 本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函数y=2sin 的图象.,14.(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,xR. (1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值; (2)求函数y= + 的值域.,解析 本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力.考查的数学 素养是逻辑推理及数学运算,考查了化归与转化思想. (1)因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+), 即sin xcos +cos xsin =-sin xcos +cos xsin , 故2sin xcos =0, 所以cos =0. 又0,2),因此= 或 . (2)y= + =sin2 +sin2 = + =1-,=1- cos . 因此,函数的值域是 .,思路分析 (1)根据偶函数的定义,知f(-x+)=f(x+)恒成立,利用三角恒等变换,得出cos =0,从 而求出的值. (2)将函数解析式化简为y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+B的形式,利用三角函数的性质求值 域.,考点三 y=Asin(x+)的图象和性质 1.(2019课标全国文改编,8,5分)若x1= ,x2= 是函数f(x)=sin x(0)两个相邻的极值点,则 = .,答案 2,解析 本题主要考查了三角函数的图象和性质;渗透了数学运算的核心素养;体现了创新意识. 由x1= ,x2= 是f(x)=sin x两个相邻的极值点,可得 = - = ,则T= ,得=2.,2.(2019上海,15,5分)已知R,函数f(x)=(x-6)2sin(x),存在常数aR,使得f(x+a)为偶函数,则 的值可能为 .,答案,解析 f(x+a)=(x+a-6)2sin(x+a),因为f(x+a)为偶函数,所以y1=(x+a-6)2与y2=sin(x+a)都为偶 函数,由于y1=x2+2(a-6)x+(a-6)2,所以可得a-6=0,即a=6,此时y2=sin(x+6)为偶函数,则6= +k (kZ),则= + (kZ),当k=1时,= .所以的值可能为 .,3.(2017天津理改编,7,5分)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|.若f =2, f =0, 且f(x)的最小正周期大于2,则= ,= .,答案 ;,解析 本题考查三角函数的图象和性质. f =2, f =0, f(x)的最小正周期大于2, = - = ,得T=3,则= = , 又f =2sin =2, sin =1. +=2k+ ,kZ, =2k+ ,kZ. |,= .,易错警示 根据f(x)的最小正周期T2,可知 T= - = ,得T=3.若不注意已知条件,则容 易出现 T= ,得T=,从而造成错误.,思路分析 由三角函数的图象(图略)可知 = - = ,得T=3,= ,然后将 代入y=f (x)中,结合|解出的值即可.,4.(2016课标全国改编,3,5分)函数y=Asin(x+)的部分图象如图所示,则函数的表达式为 .,答案 y=2sin,解析 由题图可知A=2, = - = , 则T=,所以=2, 则y=2sin(2x+), 因为题图经过点 , 所以2sin =2, 所以 +=2k+ ,kZ, 即=2k- ,kZ,当k=0时,=- , 所以y=2sin .,评析 本题考查由三角函数的图象确定函数的解析式,其中A由函数最值确定,由周期确定, 相邻的最高点与最低点之间的水平距离为半个周期,通过点的坐标来求.,5.(2016课标全国改编,12,5分)已知函数f(x)=sin(x+) ,x=- 为f(x)的零点,x= 为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在 单调,则的最大值为 .,答案 9,解析 由f(x)在 上单调,得 - ,12,依题意,有 (m、nZ), 又| ,m+n=0或m+n=-1. 当m+n=0时,=4n+1,= ,取n=2,得=9, f(x)=sin 符合题意. 当m+n=-1时,=- ,=4n+3,取n=2,得=11, f(x)=sin ,此时,当x 时,11x- , f(x)不单调,不合题意.,解后反思 本题要求的最大值,正面入手难度较大,故对取特殊值进行检验.,评析 本题考查三角函数的图象与性质,对运算能力、逻辑思维能力都有较高的要求.,6.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sin +sin ,其中03.已知f =0. (1)求; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左 平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在 上的最小值.,解析 本题考查了y=Asin(x+)的图象和性质及最值. (1)因为f(x)=sin +sin , 所以f(x)= sin x- cos x-cos x = sin x- cos x= = sin . 由题设知f =0,所以 - =k,kZ. 故=6k+2,kZ,又03,所以=2. (2)由(1)得f(x)= sin , 所以g(x)= sin = sin . 因为x ,所以x- ,当x- =- ,即x=- 时,g(x)取得最小值- .,7.(2016山东,17,12分)设f(x)=2 sin(-x)sin x-(sin x-cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平 移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g 的值.,解析 (1)f(x)=2 sin(-x)sin x-(sin x-cos x)2 =2 sin2x-(1-2sin xcos x) = (1-cos 2x)+sin 2x-1 =sin 2x- cos 2x+ -1 =2sin + -1. 由2k- 2x- 2k+ (kZ), 得k- xk+ (kZ). 所以f(x)的单调递增区间是 (kZ). (2)由(1)知f(x)=2sin + -1. 把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin + -1的,图象, 再把得到的图象向左平移 个单位, 得到y=2sin x+ -1的图象, 即g(x)=2sin x+ -1. 所以g =2sin + -1= .,考点一 三角函数的图象及其变换 (2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin 的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则 的最小正值是 .,C组 教师专用题组,答案,解析 根据题意设g(x)=f(x-)=sin , 由g(x)的图象关于y轴对称,得g(0)=1, 即sin =1, -2+ =k+ (kZ),=- - (kZ). 当k=-1时,取最小正值,为 .,考点二 三角函数的性质及其应用,1.(2016天津改编,8,5分)已知函数f(x)=sin2 + sin x- (0),xR.若f(x)在区间(,2)内没有 零点,则的取值范围是 .,答案 ,解析 f(x)= + sin x- = (sin x-cos x)= sin ,x(,2),0,x- ,f(x)在区间(,2)内没有零点,有以下两种情况: (2k,2k+),kZ, 则有 kZ, 得 ,kZ, 当k=0时, ; (2k+,2k+2),kZ, 则有 kZ,得 ,kZ, 当k=-1时, , 又0, . 综上, .,疑难突破 将函数化简为f(x)= sin ,将x- 看作一个整体,借助函数y=sin x的图象 得出f(x)在(,2)内没有零点时需满足的条件,建立不等式组求解.,2.(2015湖南改编,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移 个单位后得到函数g(x) 的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min= ,则= .,答案,解析 g(x)=sin2(x-)=sin(2x-2). |f(x)|1,|g(x)|1, |f(x1)-g(x2)|2, 当且仅当f(x1)=1,g(x2)=-1或f(x1)=-1,g(x2)=1时,满足|f(x1)-g(x2)|=2. 不妨设A(x1,-1)是函数f(x)图象的一个最低点,B(x2,1)是函数g(x)图象的一个最高点,于是x1=k1+ (k1Z),x2=k2+ +(k2Z), |x1-x2| = . , |x1-x2| -. 又|x1-x2|min= , -= ,即= .,评析 本题考查三角函数的图象与性质,对逻辑思维能力与数形结合能力要求较高,要求考生 能准确地画图并理解题意.属中等难度题.,3.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是 ,单调递减区间是 .,答案 ; (kZ),解析 f(x)=sin2x+sin xcos x+1= + sin 2x+1= (sin 2x-cos 2x)+ = sin + .易 知最小正周期T= =.当 +2k2x- +2k(kZ),即 +kx +k(kZ)时, f(x) 单调递减,所以f(x)的单调递减区间为 (kZ).,4.(2014辽宁改编,9,5分)将函数y=3sin 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的 函数在区间 上单调递增.,答案 (kZ),解析 函数y=3sin 的图象向右平移 个单位长度所得图象对应的函数为y=3sin =3sin .由2k- 2x- 2k+ ,kZ,得该函数的递增区间为 k+ ,k+ (kZ).,评析 本题主要考查三角函数图象变换及正弦函数性质,难度不大.,5.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cos x与y=sin(2x+)(0),它们的图象有一个横坐标为 的 交点,则的值是 .,答案,解析 显然交点为 ,故有sin = , +=2k+ ,kZ或 +=2k+ ,kZ, =2k- 或=2k+ ,kZ,又0,故= .,6.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin . (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若是第二象限角, f = cos cos 2,求cos -sin 的值.,解析 (1)因为函数y=sin x的单调递增区间为 ,kZ, 所以有- +2k3x+ +2k,kZ, 得- + x + ,kZ. 所以,函数f(x)的单调递增区间为 ,kZ. (2)由已知,有sin = cos (cos2-sin2), 所以sin cos +cos sin = (cos2-sin2). 即sin +cos = (cos -sin )2(sin +cos ). 当sin +cos =0时,由是第二象限角,知= +2k,kZ. 此时,cos -sin =- . 当sin +cos 0时,有(cos -sin )2= .,由是第二象限角,知cos -sin 0,此时cos -sin =- . 综上所述,cos -sin =- 或- .,评析 本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知 识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.,考点三 y=Asin(x+)的图象和性质 1.(2015课标全国,8,5分)函数f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 .,答案 ,kZ,解析 不妨令0,由函数f(x)=cos(x+)的部分图象,可得函数的周期T=2 =2,由T= 得=,f(x)=cos(x+),再根据函数的图象可得 += +2k,kZ,= +2k(kZ),f(x)= cos ,由2kx+ 2k+(kZ),得2k- x2k+ (kZ),f(x)的单调递减区间为 (kZ).,2.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(x+)(A,是常数,A0,0).若f(x)在区间 上具有 单调性,且f =f =-f ,则f(x)的最小正周期为 .,答案 ,解析 记f(x)的最小正周期为T. 由题意知 - = , 由f =f =-f ,且 - = , 可作出示意图如图所示(一种情况): x1= = , x2= = , =x2-x1= - = , T=.,3.(2015福建,19,13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x) 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移 个单位 长度. (1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程; (2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在0,2)内有两个不同的解,. (i)求实数m的取值范围; (ii)证明:cos(-)= -1.,解析 解法一:(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y= 2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移 个单位长度后得到y=2cos 的图象,故f(x)= 2sin x. 从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=k+ (kZ). (2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x= = sin(x+) . 依题意知,sin(x+)= 在0,2)内有两个不同的解,当且仅当 1,故m的取值范围是(- , ). (ii)证明:因为,是方程 sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)= ,sin(+)= . 当1m 时,+=2 ,即-=-2(+); 当- m1时,+=2 ,即-=3-2(+),所以cos(-)=-cos2(+)=2sin2(+)-1=2 -1= -1. 解法二:(1)同解法一. (2)(i)同解法一. (ii)证明:因为,是方程 sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)= ,sin(+)= . 当1m 时,+=2 ,即+=-(+); 当- m1时,+=2 ,即+=3-(+). 所以cos(+)=-cos(+). 于是cos(-)=cos(+)-(+) =cos(+)cos(+)+sin(+)sin(+) =-cos2(+)+sin(+)sin(+) =- + = -1.,评析 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能 力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思 想、数形结合思想.,4.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)= sin(x+) 的图象关于直线x= 对称, 且图象上相邻两个最高点的距离为. (1)求和的值; (2)若f = ,求cos 的值.,解析 (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以f(x)的最小正周期T=,从而= = 2. 又因为f(x)的图象关于直线x= 对称, 所以2 +=k+ ,kZ. 由- 得k=0, 所以= - =- . (2)由(1)得f = sin = , 所以sin = . 由 得0- , 所以cos = = = .,因此cos =sin =sin =sin cos +cos sin = + = .,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 三角函数的图象及其变换,1.(2019海安期中,6)将函数f(x)的图象向右平移 个单位后得到函数y=4sin 的图象,则f 的值为 .,答案 4,解析 根据题意知,把函数y=4sin 的图象向左平移 个单位后得到函数f(x)的图象, 故f(x)=4sin =4sin 2x,则f =4sin =4.,2.(2019南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学联考,8)若将函数y=cos x- sin x的图象向 左平移m(m0)个单位后,所得图象关于y轴对称,则实数m的最小正值为 .,答案,解析 y=cos x- sin x=2cos ,将其图象向左平移m个单位后得到y=2cos 的图 象,关于y轴对称,所以x=0时,y=2,所以m+ =k(kZ),故m=- +k(kZ).所以m的最小正值为 .,3.(2019七市第二次调研,7)将函数y=2sin 3x的图象向左平移 个单位长度得到y=f(x)的图象,则 f 的值为 .,答案 -,解析 y=f(x)=2sin =2sin , 则f =2sin =-2sin =- .,考点二 三角函数的性质及其应用,1.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,8)函数f(x)=cos (0)的图象关于直线x= 对称, 则的最小值为 .,答案,解析 因为函数f(x)=cos (0)的图象关于直线x= 对称, 所以f =cos =1,所以 - =k(kZ)=2k+ (kZ),又0,所以满足条件的 的最小值为 .,2.(2019南京三模,9)函数f(x)=2sin ,其中0.若x1,x2是方程f(x)=2的两个不同的实数根, 且|x1-x2|的最小值为.则当x 时, f(x)的最小值为 .,答案 -1,解析 由|x1-x2|的最小值为可知f(x)的最小正周期T=,则= = =2.当x 时,2x+ ,sin ,则f(x)min=2 =-1.,3.(2019南通基地学校3月联考,9)已知角的终边经过点P(1,-2),函数f(x)=sin(x+)(0)图象的 相邻两条对称轴之间的距离等于 ,则f 的值为 .,答案 -,解析 根据题意知sin =- ,cos = ,并且= =3,那么f =sin = = - .,4.(2019盐城期中,10)若函数f(x)=|sin 3x|-m(00)的等差数 列,则d= .,答案,解析 画出y=|sin 3x|,y=m(0m1)的图象,如图. 由题意知两图象交点的正的横坐标成等差数列, 依次设为x1,x2,x3, 由函数图象的对称性得x1+x2= 2, x2+x3= 2, -得2d= ,故公差d= .,考点三 y=Asin(x+)的图象和性质 1.(2019南京、盐城二模,8)若函数f(x)=2sin(x+)(0,0)的图象经过点 ,且相邻两 条对称轴间的距离为 ,则f 的值为 .,答案,解析 因为相邻两条对称轴间的距离为 ,所以T= =,所以=2,由图象经过点 ,得2sin =2,从而 += +2k,kZ, 因为0,所以= , 所以f(x)=2sin , 所以f =2sin =2cos = .,2.(2019扬州中学检测,7)函数f(x)=Asin(x+) A0,0,| 的部分图象如图所示,则= .,答案,解析 根据题图知A=1, T= - =, T=2,=1. 当x= 时, f(x)=1,sin =1, +=2k+ ,kZ,=2k+ ,kZ, 又| ,= .,3.(2019盐城期中,15)已知函数f(x)=sin +b(a0,b0)的图象与x轴相切,且图象上相邻两 个最高点之间的距离为. (1)求a,b的值; (2)求f(x)在 上的最大值和最小值.,解析 (1)因为图象与x轴相切,且b0,所以f(x)的最小值为0,即b=1.由图象上相邻两个最高点之 间的距离为,知 =,即a=2. (4分) (2)由(1)得f(x)=sin +1, 当x 时,2x+ , (8分) 当2x+ = ,即x= 时, f(x)有最大值2; 当2x+ = ,即x= 时, f(x)有最小值 . (14分) (求最值时不交代x的值,各扣1分),4.(2019扬州期末,15)已知函数f(x)=cos2x+2 sin xcos x-sin2x,xR. (1)求函数f(x)的单调增区间; (2)求方程f(x)=0在(0,内的所有解.,解析 f(x)=cos2x+2 sin xcos x-sin2x= sin 2x+cos 2x=2sin . (4分) (1)由- +2k2x+ +2k,kZ,解得- +kx +k,kZ, 函数f(x)的单调增区间为 ,kZ. (8分) (2)由f(x)=0得2sin =0,解得2x+ =k,kZ,即x=- + ,kZ, x(0,x= 或x= . (14分),评析 复杂的三角函数问题遵循先化简后求解的原则.本题先通过恒等变形化简三角函数,再 求解.属于基础题.,一、填空题(每小题5分,共45分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：40分钟 分值：60分),1.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,6)函数f(x)=sin(x+)(0)的部分图象 如图所示,则f(x)的单调递减区间为 .,答案 ,kZ,解析 由题图得 T= - =1,T=2,=. 函数图象关于直线x= = 对称, 结合图象知,当x= 时,ymin=-1,-1=sin , +=2k- ,=2k- ,kZ, f(x)=sin =sin . 2k+ x+ 2k+ ,kZ, 2k- x2k+ ,kZ, 函数f(x)的单调递减区间为 ,kZ.,2.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,10)已知函数f(x)=2sin(x+) 的部分图象如 图所示,其中f(0)=1,|MN|= ,则f(1)= .,答案 -1,解析 由题图得f(0)=2sin =1,sin = , 又 ,= . |MN|= = ,= , 函数f(x)=2sin ,f(1)=2sin