（江苏专用）2020版高考数学一轮复习第十四章圆锥曲线与方程14.3抛物线及其性质课件.pptx

14.3 抛物线及其性质,高考数学 (江苏省专用),统一命题、省(区、市)卷题组 1.(2019课标全国理改编,8,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆 + =1的一个焦点,则p = .,五年高考,答案 8,解析 本题考查椭圆与抛物线的几何性质;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运算. 抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为 , 由已知得椭圆 + =1的一个焦点为 , 3p-p= ,又p0,p=8.,思路分析 利用抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,建立关于p的方程,解方程得p的值.,2.(2018课标全国理改编,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为 的直线与C 交于M,N两点,则 = .,答案 8,解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系及平面向量的数量积的运算. 设M(x1,y1),N(x2,y2).由已知可得直线的方程为y= (x+2),即x= y-2,由 得y2-6y+8=0. 由根与系数的关系可得y1+y2=6,y1y2=8,x1+x2= (y1+y2)-4=5,x1x2= =4,F(1,0), =(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=4-5+1+8=8.,3.(2017课标全国文改编,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 的直线交C于点M(M 在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为 .,答案 2,解析 本题考查抛物线的方程和性质. 因为直线MF的斜率为 ,所以直线MF的倾斜角为60,则FMN=60.由抛物线的定义得|MF|= |MN|,所以MNF为等边三角形.过F作FHMN,垂足为H.易知F(1,0),l的方程为x=-1,所以|OF|= 1,|NH|=2,所以|MF|= +2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 60=4 =2 .,思路分析 利用抛物线的定义得|MN|=|MF|,从而得MNF为等边三角形,易得点M到直线NF 的距离等于|FH|,进而得解.,解题反思 涉及抛物线焦点和准线的有关问题,应充分利用抛物线的定义求解.本题中直线的 倾斜角为特殊角60,通过解三角形更快捷.若联立直线和抛物线的方程求点M的坐标,然后求 点N的坐标和直线NF的方程,再利用点到直线的距离公式求解,运算量会比较大.,4.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴 的正半轴相切于点A.若FAC=120,则圆的方程为 .,答案 (x+1)2+(y- )2=1,解析 本题主要考查抛物线的几何性质,圆的方程以及直线与圆的位置关系. 由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1, 因为FAC=120,CAy轴, 所以OAF=30,在AOF中,OF=1, 所以OA= ,即t= , 故圆C的方程为(x+1)2+(y- )2=1.,方法总结 求圆的方程常用的方法是待定系数法,根据题意列出关于三个独立参数a,b,r(或D, E,F)的方程组,从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,常把 圆的方程设为标准形式,同时应考虑数形结合思想的运用.,5.(2016四川改编,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是 .,答案 (1,0),解析 抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为 , 抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0).,6.(2016浙江理,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .,答案 9,解析 设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,x0=9,即点 M到y轴的距离为9.,评析 本题主要考查抛物线的定义以及几何性质,解决本题的关键在于抛物线定义的应用.,名师点睛 当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时,一般会想到转化为抛物线上的点到 准线的距离求解.,7.(2016课标全国改编,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E 两点.已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则C的焦点到准线的距离为 .,答案 4,解析 不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2 ),则x1= = ,由题意可知|OA|=|OD|,得 +8= +5,解得p=4.,评析 本题主要考查抛物线的性质及运算,解题时一定要注意运算的准确性与技巧性.,8.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .,答案 2,解析 抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=- (p0),故直线x=- 过双曲线x2-y2=1的左焦点(- ,0), 从而- =- ,得p=2 .,9.(2019课标全国文,21,12分)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,M过点A,B且与直线x+ 2=0相切. (1)若A在直线x+y=0上,求M的半径; (2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.,解析 本题利用关于原点对称和直线与圆相切,考查圆的方程及圆的几何性质,要求学生具备 较强的直观想象与逻辑推理能力,第(2)问设置开放性问题,考查抛物线的定义与性质. (1)因为M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐 标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a). 因为M与直线x+2=0相切,所以M的半径为r=|a+2|. 由已知得|AO|=2,又 , 故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4. 故M的半径r=2或r=6. (2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值. 理由如下: 设M(x,y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2, 由于 ,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x. 因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1. 因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.,10.(2017北京理,18,14分)已知抛物线C:y2=2px(p0)过点P(1,1).过点 作直线l与抛物线C交 于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点. (1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A为线段BM的中点.,解析 本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系. (1)由抛物线C:y2=2px(p0)过点P(1,1),得p= . 所以抛物线C的方程为y2=x. 抛物线C的焦点坐标为 ,准线方程为x=- . (2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+ (k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2). 由 得4k2x2+(4k-4)x+1=0. 则x1+x2= ,x1x2= . 因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y= x, 点B的坐标为 . 因为y1+ -2x1=,= = = =0, 所以y1+ =2x1. 故A为线段BM的中点.,教师专用题组 1.(2014上海,3,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合,则该抛物线的准线 方程为 .,答案 x=-2,解析 c2=9-5=4,c=2. 椭圆 + =1的右焦点为(2,0), =2,即p=4. 抛物线的准线方程为x=-2.,2.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则 = .,答案 1+,解析 |OD|= ,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b, 故C ,F , 因为抛物线y2=2px(p0)经过C、F两点, 从而有 即 b2=a2+2ab, -2 -1=0, 又 1, =1+ .,3.(2014课标全国改编,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C 于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为 .,答案,解析 易知直线AB的方程为y= ,与y2=3x联立并消去x得4y2-12 y-9=0.设A(x1,y1),B(x 2,y2),则y1+y2=3 ,y1y2=- .SOAB= |OF|y1-y2|= = = .,4.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线 - =1相交于A,B两点,若 ABF为等边三角形,则p= .,答案 6,解析 如图,在正三角形ABF中,DF=p,BD= p,B点坐标为 .又点B在双曲线上,故 - =1,解得p=6.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 抛物线的定义和标准方程,1.(2019如皋检测,2)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2- =1的右焦点为F,则以F为焦点的抛物 线的标准方程是 .,答案 y2=8x,解析 双曲线x2- =1的右焦点为F(2,0),则可设抛物线方程为y2=2px(p0),因为焦点为F(2,0), 所以 =2,所以所求的抛物线的标准方程是y2=8x.,2.(2019如皋期末,5)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线 -y2=1的左准线与抛物线y2=mx的准 线重合,则m的值为 .,答案 6,解析 由 -y2=1,可得a2=3,b2=1,c=2, 双曲线的左准线为x=- ,又抛物线y2=mx的准线为x=- ,- =- ,解得m=6.,思路分析 由题意得出双曲线的左准线为x=- ,抛物线的准线为x=- ,直接计算可得结果.,3.(2019扬州期中,8)在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y2=2px(p0)上横坐标为1的点到焦点的 距离为4,则该抛物线的准线方程为 .,答案 x=-3,解析 抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=- ,由抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的 距离相等,得1+ =4,解得p=6,所以准线方程为x=-3.,4.(2019无锡期末,8)以双曲线 - =1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是 .,答案 y2=12x,解析 双曲线中,c= =3,所以右焦点为F(3,0), 抛物线的焦点也为(3,0),所以 =3,所以p=6, 所以抛物线的标准方程为y2=12x.,5.(2017扬州期中)抛物线x2=2py(p0)的准线方程为y=- ,则抛物线的方程为 .,答案 x2=2y,解析 由准线y=- 得 = ,即p=1,所以所求抛物线的方程为x2=2y.,考点二 抛物线的几何性质,1.(2019镇江期末,6)抛物线y2=8x的焦点到双曲线 - =1渐近线的距离为 .,答案,解析 抛物线y2=8x的焦点为F(2,0), 双曲线 - =1的一条渐近线为3x-4y=0, 则焦点到渐近线的距离d= = .,2.(2019泰州期末,8)若抛物线y2=2px(p0)的准线与双曲线x2-y2=1的一条准线重合,则p= .,答案,解析 双曲线中,c= , 所以双曲线的准线为x= = , 抛物线的开口向右,准线为x=- , 所以- =- ,解得p= .,填空题(每小题5分,共35分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：20分钟 分值：30分),1.(2017南京、盐城二模,8)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物 线上一点,PAl,A为垂足.若直线AF的斜率k=- ,则线段PF的长为 .,答案 6,解析 由题意可设P(x, )(x0),则A ,由题意易得F ,kAF= =- ,解得x= , 由抛物线定义可得|PF|=x+ = + =6.,思路分析 求抛物线上一点到焦点的距离,由抛物线定义知只要求出该点的横坐标即可.设P (x, )(x0),则A - , ,易得F ,由kAF=- 可求得x,进而求解.,2.(2019金陵中学调研,6)已知抛物线y2=4x上的点P到原点O的距离等于P到焦点F的距离,则线 段PF的长为 .,答案,解析 因为抛物线y2=4x上的点P到原点O的距离等于P到焦点F的距离,所以点P在OF的中垂 线上,则P点的横坐标为 ,根据抛物线定义知|PF|等于P点到准线的距离,所以|PF|= +1= .,3.(2019南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模,8)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px (p0)的准线为l,直线l与双曲线 -y2=1的两条渐近线分别交于A,B两点,|AB|= ,则p的值为 .,答案 2,解析 双曲线 -y2=1的渐近线方程为y= x, 抛物线y2=2px(p0)的准线为x=- , 由对称性,不妨取A、B两点坐标分别为 , , 所以|AB|=2 = ,则p=2 .,4.(2019天一中学期初,6)已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线 焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为 .,答案,解析 y2=4x,p=2,焦点坐标为(1,0), 过点P作准线的垂线PM交准线于M,则PF=PM, 依题意可知当P,Q,M三点共线且点P在中间时,距离之和最小,如图, 此时,P的纵坐标为-1,代入抛物线方程求得x= .P点坐标为 .,思路分析 先根据抛物线方程求出