正态分布(公开课)

,2.4 正态分布 定远县第二中学 杨杰,高尔顿板模型,11,以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率值为纵坐标，可以画出“频率分布直方图”。,随着重复次数的增加， 直方图的形状会越来 越像一条“钟形”曲线。,正态分布密度曲线（简称正态曲线）,0,Y,X,式中的实数m、s是参数,“钟形”曲线,函数解析式为：,表示总体的平均数与标准差,若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b的概率（阴影部分的面积）为:,0 a b,思考：你能否求出小球落 在（a, b上的概率吗？,则称X 的分布为正态分布. 正态分布由参数m、s唯一确定, m、s分别表示总体的平均数与标准差.正态分布记作N（ m，s2）.其图象称为正态曲线.,1.正态分布定义,x,y,0 a b,如果对于任何实数 ab,随机变量X满足:,如果随机变量X服从正态分布，则记作：XN(m,s2) 。（E(X)= m D(X)= s ）,在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：,在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；,在测量中，测量结果；,在生物学中，同一群体的某一特征；,在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位；,总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。,正态分布在概率和统计中占有重要地位。,2.正态曲线的性质,具有两头低、中间高、左右对称的基本特征,（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.,（2）曲线是单峰的,它关于直线x=对称.,2.正态曲线的性质,（4）曲线与x轴之间的面积为1。,（3）曲线在x=处达到峰值(最高点),（5） 一定、变化的正态分布图示,=0.5,= -1,=0,= 1,（6） 一定、 变化的正态分布图示,=1,=0,越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.,正态曲线下的面积规律（重要）,X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。,S(-,-X),S(X,)S(-,-X),X=,概率,正态曲线下的面积规律（重要）,对称区域面积相等。,S(-x1, -x2),-x1 -x2 x2 x1,S(x1,x2)=S(-x2,-x1),X=,概率,3.特殊区间的概率:,m-a,m+a,x=,若XN ,则对于任何实数a0,概率,特别地有（熟记）,我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有4.6，在 以外取值的概率只有0.3 。,由于这些概率值很小（一般不超过5 ），通常称这些情况发生为小概率事件。,4.应用举例,例1：若XN(5,1),求P(6X7).,例2：在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即 N(90,100). （1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是多少？ （2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？,1、若XN（，2），问X位于区域（，） 内的概率是多少？,解：由正态曲线的对称性可得，,练一练：,2、已知XN (0,1)，则X在区间 内取值的概率 A、0.9544 B、0.0456 C、0.9772 D、0.0228,3、设离散型随机变量XN(0,1),则 = , = .,D,0.5,0.9544,4、若已知正态总体落在区间 的概率为0.5，则相应的正态曲线在x= 时达到最高点。,0.3,5、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和