微分方程

6.1 微分方程的基本概念,定义,例,偏微分方程 .,常微分方程.,微分方程的阶:,微分方程中出现的未知函数的最高 阶导数的阶数称之为微分方程的阶.,一阶微分方程:,高阶微分方程:,注意:,注意:,线性与非线性微分方程：,微分方程的解:,等式的函数称之为微分方程的解.,代入微分方程能使方程成为恒,微分方程的解的分类：,(1)通解:,微分方程的解中含有任意常数,且独立任,意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解:,不包含任何任意常数的解.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线 的斜率为定值的积分曲线.,初始条件: 用来确定任意常数的条件.,通解的图象: 微分方程的积分曲线族.,解的图象: 微分方程的积分曲线.,解,所求特解为,注意：,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,思考题,6.2 一阶微分方程,一. 可分离变量的微分方程,则称原微分方程为可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程,解法：,例1 求微分方程,解,分离变量,两端积分,例2,解,二. 齐 次 方 程,定义,的微分方程称为齐次方程 .,解法:,令 ,代入原方程，得,可分离变量的微分方程 .,例 3 求解微分方程,微分方程的解为,解,例 4 求解微分方程,解,微分方程的解为,三. 一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:,(1) 称为齐次方程 .,(1) 称为非齐次方程.,例如,线性的;,非线性的.,1. 先求线性齐次方程 的通解：,一阶线性微分方程的解法,齐次方程的通解为,用分离变量法,2. 再求线性非齐次方程 的通解：,讨论,非齐次方程通解形式,只要在齐次方程的通解 中，,积分得,故一阶线性非齐次微分方程的通解为:,称为常数变易法 .,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法，,解,例1,解,两边求导得,代入方程 ，得,故 所求曲线为,伯努里(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,四. 伯努里方程,（Bernoulli，1654-1705，瑞士）,代入上式, 得,解,例 3,例4 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,代入原方程，得,故 原方程的通解为,解,所求通解为,1、分离变量法步骤:,1）分离变量;,2）两端积分-隐式通解.,小 结,2、齐次方程,3.线性非齐次方程,4.伯努里方程,6.3 可降阶的二阶微分方程,解,解,例 3,解1,解2,例 4,解1,解2,故通解为,解3,两边积分,得,故通解为,6.4 二阶线性微分方程,二阶线性微分方程的一般形式,方程为齐次方程；,方程为非齐次方程 .,n 阶线性微分方程,一. 二阶线性微分方程解的性质与通解的结构,问题:,1.二阶齐次方程解的结构:,定理1,（齐次方程解的叠加原理）,证,证毕,定义,例如,线性无关.,线性相关,定理2,证明略,推论,例如：,线性无关，,线性无关，,线性无关 .,定理3,（齐次线性方程通解结构）,证,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,定理4,（非齐次线性方程通解的结构）,证,定理5,（非齐次方程解的叠加原理）,证明略,二. 二阶常系数线性齐次方程的解法,二阶常系数线性齐次方程的标准形式, 特征根法,1* 特征方程有两个不相等的实根,2* 特征方程有两个相等的实根,此时，只得到方程 (1) 的一个特解,=0,=0,3* 特征方程有一对共轭复根,解,特征方程为,解得特征根,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得特征根,故所求通解为,例2,解,二阶常系数线性非齐次方程,对应齐次方程,非齐次方程通解结构,关键：,方法：待定系数法.,三. 二阶常系数线性非齐次方程的解法,代入原方程得,综上所述,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程, 得,故 原方程通解为,例1,作辅助方程,注意：,解,作辅助方程,代入（*），得,例2,对应齐次方程的通解,（取虚部）,原方程的特解为,原方程通解为,例3,解1,对应齐次方程的通解,作辅助方程,代入辅助方