（福建专用）2020版高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和课件新人教A版.pptx

6.3 等比数列及其前n项和,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,1.等比数列 (1)等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母 表示.数学,2,同一个常数,公比,q(q0),-3-,知识梳理,双基自测,2,1,(2)等比中项 如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列 . (3)等比数列的通项公式 an= ;可推广为an= . (4)等比数列的前n项和公式,G2=ab,a1qn-1,amqn-m,-4-,知识梳理,双基自测,2,1,2.等比数列及其前n项和的性质 (1)若k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal= ;若m+n=2k,则 (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为 . (3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则,aman,qm,-5-,知识梳理,双基自测,2,1,当q0时,an为摆动数列. (5)当q-1或q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为 .,递增,递减,常,qn,2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列. ( ) (2)G为a,b的等比中项G2=ab.( ) (3)等比数列中不存在数值为0的项.( ) (4)若an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列bn也是等比数列.( ) (5)若数列an为等比数列,则数列ln an是等差数列.( ) (6)若数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为,答案,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.已知an为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是an的前n项和,则S12的值为( ) A.21 B.42 C.63 D.54,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n= .,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.(2018四川凉山一诊)在各项均为正数的等比数列an中,a2a3=16,则数列log2an的前4项和等于 .,答案,解析,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1(1)设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于( ),(2)(2017全国,理14)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4= .,思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?,答案: (1)B (2)-8 (3)32,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:(1)由题意可知公比q1.,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法 (1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解. (2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和. (3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)(知an为等比数列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a5等于( ) A.189 B.72 C.60 D.33 (2)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( ) A.a1d0,dS40 B.a1d0,dS40,答案,解析,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)4a1,2a2,a3成等差数列,4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2, q2-4q+4=0. q=2.a3+a5=a1(q2+q4)=3(4+16)=60. (2)设an的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d. a3,a4,a8成等比数列, (a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式; 思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.判断数列an为等比数列的方法:,2.解答选择题、填空题时也可用如下方法: (1)通项公式法:若数列通项公式可写成an=cqn(c,q均是不为0的常数,nN*),则数列an是等比数列. (2)前n项和法:若Sn=kqn-k(k为常数,且k0,q0,1),则数列an为等比数列. 3.若证明一个数列不是等比数列,则可用反证法证明存在相邻三项不成等比数列即可,一般证明,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(2018广西柳州、南宁联考)设a1=2,a2=4,数列bn满足bn+1=2bn+2,且an+1-an=bn. (1)求证:数列bn+2是等比数列; (2)求数列an的通项公式.,b1=a2-a1=4-2=2,b1+2=4. bn+2是以4为首项,以2为公比的等比数列.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)解：由(1)可得bn+2=42n-1,即bn=2n+1-2. an+1-an=bn,a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,an-an-1=bn-1. 累加得an-a1=b1+b2+b3+bn-1, 则an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+(2n-2),即an=2n+1-2n(n2). 而a1=2=21+1-21, an=2n+1-2n(nN*).,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向一 等比数列项的性质的应用 例3(1)在由正数组成的等比数列an中,若a3a4a5=3,则sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值为( ) (2)在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n= . 思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?,答案,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向二 等比数列前n项和的性质的应用 例4设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64 思考本题应用什么性质求解比较简便?,答案,解析,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质: (1)通项公式的推广:an=amqn-m; (2)等比中项的推广与变形: =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n). 2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)已知在各项均为正数的等比数列an中,a5a6=4,则数列log2an的前10项和为( ) A.5 B.6 C.10 D.12 (2)已知等比数列an的首项a1=-1,其前n项和为Sn,若 ,则公比q= .,答案,解析,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,例5已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且 (1)求an的通项公式; (2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1) 的前2n项和. 思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.,解 (1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2; 当d=4时,an=2+