（江苏专用）2020版高考数学复习第九章平面解析几何9.7双曲线教案.docx

9.7双曲线考情考向分析主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点以填空题的形式考查，难度为中低档解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质1双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A22a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3.等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2y2(0)，离心率e，渐近线方程为yx.4双曲线的第二定义平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(e1)的点的轨迹是双曲线定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率双曲线1(a0，b0)的准线方程为x，双曲线1(a0，b0)的准线方程为y.概念方法微思考1平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示当2aF1F2时，动点的轨迹是两条射线；当2aF1F2时，动点的轨迹不存在；当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线2方程Ax2By21表示双曲线的充要条件是什么？提示若A0，B0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A0，表示焦点在y轴上的双曲线所以Ax2By21表示双曲线的充要条件是AB0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)()题组二教材改编2P48T15若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_答案解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为0，即bxay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.3P58T7若双曲线1左支上的一点P到左焦点的距离为15，则点P到右准线的距离为_答案解析a3，b4，c5，e.PF115，PF2PF12a15621，点P到右准线的距离d.4P48A组T7经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_答案1解析设双曲线的方程为1(a0)，把点A(4,1)代入，得a215(舍负)，故所求方程为1.题组三易错自纠5已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是_答案(1,3)解析方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_答案解析由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.7(2018南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x21的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为_答案解析由题意，双曲线的一条渐近线y2x与右准线x的交点为，其到另一条渐近线y2x的距离为.题型一双曲线的定义例1(1)已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是_答案双曲线解析如图，连结ON，PF1，由题意可得ON1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，MF22.点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得PMPF1，|PF2PF1|PF2PM|MF22F1F2，由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，PF12PF2，则cosF1PF2_.答案解析由双曲线的定义有PF1PF2PF22a2，PF12PF24，在F1PF2中，由余弦定理得，cosF1PF2.引申探究1本例(2)中，若将条件“PF12PF2”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1PF22a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，PF1PF28，PF1PF2sin602.2本例(2)中，若将条件“PF12PF2”改为“0”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1PF22a2，0，在F1PF2中，有PFPFF1F，即PFPF16，PF1PF24，PF1PF22.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1PF2|2a，运用平方的方法，建立与PF1PF2的联系跟踪训练1设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则PF1PF2的取值范围是_答案(2，8)解析如图，由已知可得a1，b，c2，从而F1F24，由对称性不妨设P在右支上，设PF2m，则PF1m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得1m3，又PF1PF22m2，22m20，b0)由题意知，2b12，e，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.设双曲线方程为mx2ny21(mn0)解得双曲线的标准方程为1.思维升华求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2By21(AB0)；与双曲线1共渐近线的双曲线方程可设为(0)；与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(b2ka2)跟踪训练2(1)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_答案1解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1PF2|80，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为_答案1解析由yx，可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为1.题型三双曲线的几何性质命题点1与渐近线有关的问题例3过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆O：x2y2a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若ACB120，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析如图所示，连结OA，OB，设双曲线1(a0，b0)的焦距为2c(c0)，则C(a,0)，F(c,0)由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则ACOBCOACB12060.因为OAOCa，所以ACO为等边三角形，所以AOC60.因为FA与圆O切于点A，所以OAFA，在RtAOF中，AFO90AOF906030，所以OF2OA，即c2a，所以ba，故双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即yx.命题点2求离心率的值(或范围)例4已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，A，B是圆(xc)2y24c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1AF2B，则双曲线的离心率为_答案解析由双曲线定义及题意得AF22a2c，BF22c2a，因为F1AF2B，所以F2F1AF1F2B180，所以cosF2F1AcosF1F2B，则，化简得2e23e10，因为e1，所以e.思维升华1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线1(a0，b0)或1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令0，得yx；或令0，得yx.反之，已知渐近线方程为yx，可设双曲线方程为(a0，b0，0)2求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法求a，b，c的值，由1直接求e.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解(2)双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k.跟踪训练3已知点F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足F1F22OP，PF13PF2，则双曲线C的离心率的取值范围是_答案解析由F1F22OP，可得OPc，故PF1F2为直角三角形，且PF1PF2，则PFPFF1F.由双曲线的定义可得PF1PF22a，则PF12aPF2，所以(PF22a)2PF4c2，整理得(PF2a)22c2a2.又PF13PF2，即2aPF23PF2，可得PF2a，所以PF2a2a，即2c2a24a2，可得ca.由e，且e1，可得1b0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若AFBF4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是_答案解析设左焦点为F0，连结F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形AFBF4，AFAF04，a2.设M(0，b)，则M到直线l的距离d，1b0，b0)，由已知，取A点坐标为，取B点坐标为，则C点坐标为且F1(c,0)由ACBF1知0，又，可得2c20，又b2c2a2，可得3c410c2a23a40，则有3e410e230，可得e23或，又e1，所以e.1(2019江苏南京外国语学校月考)已知双曲线y21(a0)的一条准线为x，则该双曲线的离心率为_答案解析由得a，c2，所以双曲线的离心率为.2(2018南京金陵中学期末)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线y21(m0)的一条渐近线方程为xy0，则实数m的值为_答案解析双曲线y21(m0)的渐近线方程为yx，m.3若双曲线x21的焦点到渐近线的距离为2，则实数k的值是_答案8解析双曲线的一条渐近线方程为yx，一个焦点坐标为(，0)，由题意得2，解得k8.4已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若2，且|4，则双曲线C的方程为_答案1解析不妨设B(0，b)，由2，F(c,0)，可得A，代入双曲线C的方程可得1，即，.又|4，c2a2b2，a22b216，由可得，a24，b26，双曲线C的方程为1.5设F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，过F1引圆x2y29的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则MOMT_.答案1解析连结PF2，OT，则有MOPF2(PF12a)(PF16)PF13，MTPF1F1TPF1PF14，于是有MOMT1.6已知双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使e，则的值为_答案2解析由题意及正弦定理得e2，PF12PF2，由双曲线的定义知PF1PF22，PF14，PF22，又F1F24，在PF1F2中，由余弦定理得，cosPF2F1，|cosPF2F1242.7已知双曲线1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则APF周长的最小值为_答案4(1)解析由题意知F(，0)，设左焦点为F0，则F0(，0)，由题意可知APF的周长l为PAPFAF，而PF2aPF0，lPAPF02aAFAF0AF2a22444(1)，当且仅当A，F0，P三点共线时取得“”8已知离心率为的双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若16，则双曲线的实轴长是_答案16解析由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线yx上，由题意可知F2Mb，所以OMa.由16，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以双曲线C的实轴长为16.9已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，APQ的一个内角为60，则双曲线C的离心率为_答案解析设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，又APQ的一个内角为60，PAF30，PFA120，AFPFca，PF13ac，在PFF1中，由余弦定理得，PFPF2F1F22PFF1FcosF1FP，即3c2ac4a20，即3e2e40，e(舍负)10(2019徐州模拟)设双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为该双曲线上一点，若PF1与x轴垂直，cosPF2F1，则该双曲线的离心率为_答案解析PF1F1F2，cosPF2F1，PF1，PF2，又PF2PF12a，2a，即8b28(c2a2)10a2，e2，又e1，e.11已知F1，F2分别是双曲线x21(b0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若AF22且F1AF245，延长AF2交双曲线的右支于点B，则F1AB的面积等于_答案4解析由题意知a1，由双曲线定义知AF1AF22a2，BF1BF22a2，AF12AF24，BF12BF2.由题意知ABAF2BF22BF2，BABF1，BAF1为等腰三角形，F1AF245，ABF190，BAF1为等腰直角三角形BABF1AF142，BABF1224.12已知双曲线C1：1(a0，b0)，圆C2：x2y22axa20，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是_答案解析由双曲线方程可得其渐近线方程为yx，即bxay0，圆C2：x2y22axa20可化为(xa)2y2a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径ra，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c24b2，又知b2c2a2，所以c24(c2a2)，即c2a2，所以e1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.13已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线yx恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为_答案解析如图，直线PF2的方程为y(xc)，设直线PF2与直线yx的交点为N，易知N.