2019_20学年高中数学第3章指数函数和对数函数3.1正整数指数函数课件北师大版必修.pptx

1 正整数指数函数,一,二,一、正整数指数函数 1.定义:一般地,函数y=ax(a0,a1,xN+)叫作正整数指数函数,其中x是自变量(x在指数位置上),底数a是常数. 2.定义域:N+. 3.图像:正整数指数函数的图像是一群孤立的点,且都位于x轴的上方.,一,二,【做一做1】 下列函数中一定是正整数指数函数的是 ( ) A.y=(-4)x(xN+) B.y= (xN+) C.y=23x(xN+) D.y=x3(xN+) 解析:y=(-4)x的底数-40,不是正整数指数函数;y=23x中3x的系数等于2,不是正整数指数函数;y=x3中自变量x在底数的位置上,是幂函数,不是正整数指数函数;由正整数指数函数的定义知,只有y= (xN+)是正整数指数函数,故选B. 答案:B,一,二,在正整数指数函数的定义中,为什么规定解析式中底数a的范围是a0,且a1? (1)若a=0,由于xN+,则ax=0,即ax是一个常量,没有研究的必要; (2)若a=1,由于xN+,则ax=1,即ax也是一个常量,没有研究的必要; (3)若a0,且a1.,一,二,二、指数型函数 我们把形如y=kax(kR,a0,且a1)的函数称为指数型函数. 【做一做2】 某市现有人口总数为100万人,若年自然增长率为1.2%,则经过x(xN+)年后,该市人口总数y(单位:万人)的表达式为 . 解析:经过1年,该市人口总数为100(1+1.2%);经过2年,该市人口总数为100(1+1.2%)2,因此经过x年后,该市人口总数为y=100(1+1.2%)x. 答案:y=100(1+1.2%)x,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)函数y=2x是正整数指数函数. ( ) (2)函数y=3x-1,x2,3,4,5,是正整数指数函数. ( ) (3)正整数指数函数y=ax,xN+中a的范围为a0.( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,易错辨析,正整数指数函数的定义 【例1】 若函数f(x)=(a2-4a+4)ax是一个正整数指数函数,则实数a的值等于 . 分析:根据正整数指数函数的定义建立关于a的关系式求解. 解析:由于函数f(x)=(a2-4a+4)ax是正整数指数函数, 因此有 解得a=3,故实数a的值等于3. 答案:3,探究一,探究二,探究三,易错辨析,如何判断一个函数是否是正整数指数函数 关键看两点: (1)函数解析式的形式,函数解析式必须是指数幂的形式,系数为1,幂的底数为常数,且该常数应大于0且不等于1,指数位置仅为自变量x; (2)该函数的定义域:自变量x的取值范围是全体正整数.此外,如果给定的函数解析式经化简后符合上述要求,那么它也是正整数指数函数.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练1下列函数一定是正整数指数函数的是 ( ) A.y=2x+1,xN+ B.y=x2,xN+ C.y=3x,xN+ D.y=2 018 ,xN+ 解析:由正整数指数函数定义知,仅有y=3x,xN+符合形如y=ax(a0,a1,xN+)的形式. 答案:C,探究一,探究二,探究三,易错辨析,正整数指数函数的图像与性质 【例2】(1)画出正整数指数函数y=3x(xN+)的图像,并指出其单调性和值域; (2)若函数f(x)=(3a-1)x(xN+)是正整数指数函数,且满足f(10)f(9),试求实数a的取值范围. 解:(1)列表、描点作图,如图所示.,单调性:函数y=3x(xN+)是增函数. 值域:3,32,33,. (2)由f(10)0,因此有03a-11,解得 ,此即为实数a的取值范围.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,1.画正整数指数函数的图像时,通常采用列表描点法,其图像是一系列孤立的点,且这些点全部在第一象限内. 2.正整数指数函数不具有奇偶性,但具有单调性,当底数a1时,函数是增函数;当底数00,且a1,xN+)的值域是a,a2,a3,.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2函数y= ,xN+的图像是( ) A.一条上升的曲线 B.一条下降的曲线 C.一系列上升的点 D.一系列下降的点 解析:画出函数y= ,xN+的图像(图略)可知,其图像是一系列下降的点. 答案:D,探究一,探究二,探究三,易错辨析,正整数指数函数的实际应用 【例3】 某种储蓄按复利计算利息,已知本金为a元,每期利率为r. (1)写出本利和y(单位:元)关于存期x的函数关系式; (2)如果存入本金10 000元,每期利率为3.5%,试计算2期后的本利和. 分析:列出本利和随存期逐期变化的情况,总结变化过程便可得到函数关系式,再根据函数关系式求解第(2)小题.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:(1)已知本金为a元,每期利率为r,则 1期后的本利和为a+ar=a(1+r)元, 2期后的本利和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2元, 3期后的本利和为a(1+r)3元, x期后的本利和为a(1+r)x元, 所以本利和y关于存期x的函数关系式为 y=a(1+r)x,xN+. (2)已知a=10 000,r=3.5%,x=2, 所以y=10 000(1+3.5%)2=10 0001.0352=10 712.25(元).所以2期后的本利和为10 712.25元.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,1.由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段. 2.在实际问题中,对于平均增长率的问题,若原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练3有关部门计划于2017年投入某市128辆电力型公交车,且随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问,该市在2023年应投入多少辆电力型公交车? 解:由题意知,在2018年应投入电力型公交车的数量为 128(1+50%); 在2019年应投入电力型公交车的数量为 128(1+50%)(1+50%)=128(1+50%)2; 在2020年应投入电力型公交车的数量为 128(1+50%)2(1+50%)=128(1+50%)3, 故在2023年应投入电力型公交车的数量为128(1+50%)6, 即128 =1 458(辆). 答:该市在2023年应投入1 458辆电力型公交车.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,忽略实际问题中函数的定义域而致误 【典例】 一种机器的年产量原为1万台,在今后10年内,计划使年产量平均比上一年增加10%. (1)试写出年产量y(单位:万台)随年数x(单位:年)变化的关系式,并写出其定义域; (2)画出函数图像. 错解:(1)y=(1+10%)x=1.1x,即y与x的关系式是y=1.1x,其定义域是0,+). (2)画出函数图像如图所示.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,正解:(1)y=(1+10%)x=1.1x,即y与x的关系式是y=1.1x,其定义域是x|x10,xN+. (2)画出函数图像如图所示.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,1.对于函数应用的实际问题,在表达出函数式后一定不要忽视定义域,也不能想当然地认为定义域为正实数集. 2.本例中错解就是没把题目的信息年份x的取值弄清楚.要知道函数式确定后,函数定义域也是函数的构成要素,这一细节往往引发很大错误结论,应引起重视.,1,2,3,4,5,1.下列函数中一定是正整数指数函数的是( ) A.y=x5(xN+) B.y=3x+2(xN+) C.y=2-x(xN+) D.y=43-x(xN+) 解析:y=2-x= (xN+)是正整数指数函数. 答案:C,1,2,3,4,5,2.函数f(x)= (xN+)是( ) A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数 解析:画出函数f(x)= (xN+)的图像(图略),知f(x)是增函数. 答案:A,1,2,3,4,5,3.某企业的年利润计划由2018年到2028年翻两番,那么年利润的年平均增长率x应满足( ) A.(1+x)10=2 B.(1+x)10=4 C.(1+x)9=2 D.(1+x)9=4 解析:设2018年利润为a,则2028年的利润为4a,因此有a(1+x)10=4a,即(1+x)10=4. 答案:B,1,2,3,4,5,4.