2019_20学年高中数学第2章函数2.2.3映射课件北师大版必修.pptx

2.3 映射,一,二,三,一、映射 若两个非空集合A与B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元素x,B中总有唯一的一个元素y与它对应,就称这种对应为从A到B的映射,记作: f:AB.A中的元素x称为原像,B中的对应元素y称为x的像,记作f:xy.,一,二,三,【做一做1】 已知集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,下列A到B的四种对应法则中,能够构成映射的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:所给对应中,符合映射的定义,中的元素4在B中无元素与之对应,而中A的元素3在B中有两个元素与之对应,因此都不能构成映射. 答案:B,一,二,三,二、一一映射 如果映射f:AB满足A中的不同元素的像不同且B中的每一个元素都有原像,那么称映射f:AB为一一映射,一一映射也称为一一对应.,映射和一一映射的区别与联系,一,二,三,【做一做2】 下列集合A到集合B的对应中是一一映射的个数为( ) A=N,B=Z,f:xy=-x. A=N+,B=0,1,f:除以2所得的余数. A=-4,-1,1,4,B=-2,-1,1,2,f:xy= . A=平面内边长不同的等边三角形,B=平面内半径不同的圆,f:作等边三角形的内切圆. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:是映射,但不是一一映射,如集合B中4没有原像;中所有正偶数在对应法则f下只有零一个值,所以不是一一映射;中集合A的每个值,有两个集合B中的值对应,不是映射;只有是一一映射. 答案:A,一,二,三,三、函数与映射 函数是一种特殊的映射,是从非空数集到非空数集的映射.函数的概念可以叙述为:设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:AB就叫作A到B的函数.在函数中,原像的集合称为定义域,像的集合称为值域.所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.,一,二,三,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)映射f:AB与映射f:BA是同一个映射. ( ) (2)映射f:AB中,A中的元素可以没有像与之对应. ( ) (3)映射f:AB中,B中的任一元素均有原像与之对应.( ) (4)一一映射f:AB中,B中的任一元素均有原像与之对应. ( ) (5)映射是函数,函数也是映射. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,易错辨析,映射的概念 【例1】 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射,其中哪些是一一映射?哪些是函数?为什么? (1)A=1,3,5,7,B=2,4,6,8,对应关系f:xy=x+1; (2)A=N,B=N+,对应关系f:x|x-1|; (3)A=x|0x6,B=y|0y2,对应关系f:x . 分析:依次按照映射、一一映射、函数的定义进行判断.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:(1)集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下,在集合B中都有唯一的一个元素与之对应,所以此对应是从A到B的映射.又B中每一个元素在A中都有唯一的原像与之对应,故该对应是一一映射.又A,B是非空数集,因此该对应也是从集合A到集合B的函数. (2)集合A=N中元素1在对应关系f的作用下为0,而0N+,即A中元素1在B中没有元素与之对应,故该对应不是从A到B的映射,更不是函数,也不是一一映射. (3)集合A中元素6在对应关系f的作用下为3,而3B,故该对应不是从A到B的映射,更不是函数,也不是一一映射.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,如何判断一个对应是否构成从A到B的映射 先看集合A中的每一个元素在集合B中是否均有对应元素.若有,看对应元素是否唯一,若对应元素唯一,则是映射;否则,不是映射;集合B中有剩余元素不影响映射的成立.想说明一个对应不是映射,只需寻找一个反例即可,若进一步判断该映射是否是函数,只需看两个集合A,B是否是非空数集即可,若A,B均为非空数集,则是函数,否则不是函数;若进一步判断是否为一一映射,还需注意B中的每一个元素在A中都有原像,集合A中不同元素对应的像不同.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练1下列对应或关系式中是A到B的映射的是( ) A.AR,BR,x2+y2=1 B.A=1,2,3,4,B=0,1,对应关系如图:,解析:对于A项,x2+y2=1可化为y= ,显然对任意xA,y值不唯一,故不符合.对于B项,符合映射的定义.对于C项,2A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合.对于D项,-1A,但在集合B中找不到与之相对应的数,故不符合. 答案:B,探究一,探究二,探究三,易错辨析,像与原像的计算 【例2】 已知映射f:AB中,A=B=(x,y)|xR,yR,f:(x,y)(3x-2y+1,4x+3y-1). (1)求A中元素(1,2)的像; (2)求B中元素(1,2)的原像. 分析:(1)根据规则直接代入求像; (2)建立方程组求原像. 解:(1)当x=1,y=2时,3x-2y+1=0,4x+3y-1=9, 故A中元素(1,2)的像为(0,9).,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解决映射中像与原像的计算问题时,要紧扣其定义.若已知A中的元素a(即原像a),求B中与之对应的元素b(即像b),这时相当于已知自变量的值求函数值,只要将元素a代入对应关系f求解即可;若已知B中的元素b(即像b),求A中与之对应的元素a(即原像a),这时相当于已知函数值求自变量的值,只需构造方程(组)进行求解即可,但应注意解得的结果可能不唯一.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一,探究二,探究三,易错辨析,构成映射个数问题 【例3】 (1)已知集合A=a,b,c,B=d,e,则从A到B可以建立不同的映射个数为( ) A.5 B.6 C.8 D.9 (2)已知集合A=a,b,B=-1,0,1,从A到B的映射f:AB满足f(a)+f(b)=0,那么这样的映射f:AB的个数为( ) A.2 B.3 C.5 D.8,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解析:(1)用树状图写出所有的映射为:,(2)满足条件f(a)+f(b)=0的情形有:-1+1=0,1+(-1)=0,0+0=0,共3个,即满足条件的映射有3个. 答案:(1)C (2)B,1.一般地,若A中有m个元素,B中有n个元素,则AB共有nm个不同的映射. 2.含条件的映射个数的确定,解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件,要采用分类讨论的思想,利用列举法来解决.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练3已知集合A=1,2,3,B=4,5,6,映射f:AB满足1是4的一个原像,则符合条件的映射的个数为( ) A.27 B.9 C.8 D.6 解析:要完成题设条件所给的映射,主要是给集合A中的元素2,3找像,可分以下几类: 14,2和3分别对应5,6中的一个(构成一一映射),有2个; 14,2,3都对应4,有1个; 1,2都对应4,3对应5,6中的一个,有2个; 1,3都对应4,2对应5,6中的一个,有2个; 14,2,3都对应5,有1个; 14,2,3都对应6,有1个. 综上所述,共有2+1+2+2+1+1=9个. 答案:B,探究一,探究二,探究三,易错辨析,对函数与映射的概念理解不清致误 【典例】 下列对应f是从集合A到集合B的函数的是 . (填序号) A=1,2,3,B=7,8,9,f(1)=f(2)=7,f(3)=8. A=Z,B=-1,1,n为奇数时,f(n)=-1;n为偶数时,f(n)=1. A=B=1,2,3,f(x)=2x-1. 错解:均为集合A到B的函数. 正解:对于,集合A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的像,同时集合A和B都是数集,可知对应关系f是集合A到集合B的函数. 对于,对应关系f也是集合A到集合B的函数. 对于,由于f(3)=23-1=5B,即集合A中的元素3在集合B中没有像, 因此对应关系f不是集合A到集合B的函数. 答案:,探究一,探究二,探究三,易错辨析,1.对于能否构成映射或函数的问题,一定要紧扣其定义,抓住“任意”“唯一”等关键词. 2.错解中仍没有弄清A中的元素在B中都有唯一的元素与之对应,缺一不可.,1,2,3,4,5,1.设集合A=a,b,c,集合B=R,以下对应关系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是( ) A.对集合A中的数开平方 B.对集合A中的数取倒数 C.对集合A中的数取算术平方根 D.对集合A中的数立方 解析:对A,C,当a,b,c中有小于零的数时,在集合B中没有对应元素;对B,当a,b,c中有等于零的数时,在集合B中没有对应元素.故选D. 答案:D,6,1,2,3,4,5,2.在如图所示的对应中是A到B的映射的是( ) A. B. C. D. 解析:A中元素b在B中没有与之对应的元素,A中元素2在B中有两个元素与之对应,因而均不能构成从A到B的映射;和符合映射的定义,均能构成从A到B的映射. 答案:C,6,1,2,3,4,5,3.已知集合A=N+,B=奇数,映射f:AB使A中任一元素a与B中元素2a-1相对应,则在映射f下,像17对应的原像是( ) A.3 B.5 C.9 D.17 解析:由2a-1=17,得a=9,故选C. 答案:C,6,1,2,3,4,5,4.下列对应是集合A到集合B的一一映射的是( ),解析:考查一一映射的概念.本题可用