线性规划习题课

习题课,一般讲，一个经济、管理问题满足以下条件时，才能建立线性规划模型 1. 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数； 2. 存在着多种方案； 3. 要求达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。,一、建 模 条 件,二、建 模 步 骤,1 确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量。,2 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束；,3 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是max 还是 min。,三、建 模 案 例,解：设总利润为z，A、B产品销量为x1、x2，产品C的销售量为x3，报废量为x4，则：,2 x1 + 3x2 12 3x1 + 4x2 24 4x2 +x3 + x4 = 0 x3 5 x1、x2 、x3 、x4 0,max z = 4 x1 + 10 x2 + 3 x3 2 x4,例1 某工厂生产A、B两种产品，有关资料如下表所示：,例2 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、货运成本如下表所示：问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？,解：设 xj 为第 j 号类型船队的队数( j = 1,2,3,4 ), z 为总货运成本,则：,min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4,x1 + x2 + 2x3 + x4 30 2x1 + 2x3 34 4x2 + 4x3 + 4x4 52 25x1 + 20x2 200 40x3 + 20x4 400 xj 0 j = 1,2,3,4,用单纯形法可求得：x1 = 8，x2 = 0 ，x3 = 7， x4 = 6 最优值：z = 954，即：四种船队类型的队数分别是8、0、7、6，此时可使总货运成本为最小，为954千元。,例3 合理利用线材问题 现要做100套钢架，每套用长2.9m，2.1m，1.5m，的圆钢各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原材料最省？ 解：所有下料方案如下表：,2 0 1,7.3,0.1,1 2 0,7.1,0.3,1 1 1,6.5,0.9,1 0 3,7.4,0.0,0 3 0,6.3,1.1,0 2 2,7.2,0.2,0 1 3,6.6,0.8,0 0 4,6.0,1.4,2 0 1,7.3,0.1,1 2 0,7.1,0.3,1 1 1,6.5,0.9,1 0 3,7.4,0.0,0 3 0,6.3,1.1,0 2 2,7.2,0.2,0 1 3,6.6,0.8,0 0 4,6.0,1.4,例4 配料问题。 某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种不同规格的产品A、B、D。已知产品的规格要求，产品单价，每天供应的原材料数量及原材料单价如下表，该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,解：,例5 连续投资问题。 某部门在今后5年内给下列项目投资，已知： 项目A，从第一年到第四年初需要投资，并于次年末回收本利115%； 项目B，第三年初需要投资，到第五年末回收本利125%；但规定最大投资额不超过4万元； 项目C，第二年初需要投资，到第五年末回收本利140%；但规定最大投资额不超过3万元； 项目D， 5年内每年初可购买公债，与当年末归还，并加利息6%。 该部门现有资金10万元，问他应如何确定给这些项目每年的投资额，使到五年末拥有资金的本利总额为最大？,10,年初拥有 资金,解： 确定决策变量如下表：,例6 某厂生产三种药物，这些药物可以从四种不同的原料中提取。下表给出了单位原料可提取的药物量,要求：生产A种药物至少160单位；B种药物恰好200单位，C种药物不超过180单位，且使原料总成本最小。,解：,1. 决策变量：设四种原料的使用量分别为：x1、x2 、x3 、x4,2. 目标函数：设总成本为z，则有：,3. 约束条件：,x1 + 2x2 + x3 + x4 160 2x1 +4 x3 +2 x4 200 3x1 x2 + x3 +2 x4 180 x1、x2 、x3 、x4 0,min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4,线性规划研究的主要问题, 实际上，上述两类问题是一个问题的两个不同的方面，都是求问题的最优解（ max 或 min ）。,一类是已有一定数量的资源（人力、物质、时间等），研究如何充分合理地使用它们