1-4极限的基本性质.ppt

第四节 极限的基本性质,第一章,一、极限的唯一性,二、收敛数列的有界性及有极限 函数的局部有界性,三、极限的保号性(或局部保号性),四、收敛数列与其子列的关系,五、函数极限与数列极限的关系,如果极限,那么极限唯一.,证 (用反证法),及,且,取,因,存在 N1 ,使当 n N1 时,假设,一、唯一性,定理1.1 (极限的唯一性),即当 n N1 时,从而,使当 n N1 时,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,从而,使当 n N2 时, 有,矛盾！,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,例1 证明数列,是发散的.,证法1 (用反证法),假设数列,收敛 ,则有唯一极限 a 存在 .,对于,则存在 N ,使当 n N 时 , 有,因此该数列发散 .,于是推得,矛盾！,区间长度为1,这与,二、有界性,例如:,有界,无界,定理1.2 (收敛数列的有界性),如果数列,收敛,那么数列,一定有界.,问题 对于无限多项,如何求 M ？,证 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,即收敛数列必有界.,有,例如,虽有界但不收敛 .,数列,关系： 收敛 有界,反之未必成立 .,如果极限,存在, 则必存在 X 0,f (x)是有界的.,使得当,推论 无界数列必发散.,定理1.2(函数极限的局部有界性),注,类似地，,三、 保号性、保序性,定理1.3 (收敛数列的保号性),(1) 若,则,使当n N 时，,(),(),(2) 若,则 a 0.,(),(),恒有,且,对 a 0 ,取,证 (1),(2) 用反证法证明.,注,如：,据此，可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号,据此，可由函数在该点邻域内的符号推得极限符号,推论1.3 (收敛数列的保序性),使当n N 时，恒有,(1) 若,时, 有,证,定理1.3 (函数极限的局部保号性),(1) 如果,且 A 0 ,则存在,( A 0 ),(2) 如果,且存在,A 0 .,则,( A 0 ).,据此，可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号,据此，可由该点邻域内函数的符号推得极限的符号,若,f (x) g(x),能否推出,？,例如:,设,当x 0 时, 有 f (x) g (x),但是,不能！,问题,在子数列,中, 一般项,是子数列的第k 项,在原数列 xn 中则是第,项.,四、 收敛数列与其子数列的关系,1. 子数列的概念,数列 xn 的子数列(或子列),例如, 从数列,中抽出所有的偶数项,是其子数列. 它的第k 项是,而,在原数列中则是第2k 项.,组成的数列：,2. 收敛数列与其子数列的关系,定理1.4,也收敛，且,证 设,的任一子数列 .,若,则,当,有,取正整数 K , 使,于是当,时,从而有,注,1某,收敛,例如，,但,发散.,2若数列有两个子数列收敛于不同的极限，,则原数列一定发散 .,例1 证法2,发散 !,3,五、 函数极限与数列极限的关系,如果极限,存在,为函数 f (x)的,敛于,的数列, 且满足:,那么相应的函数,值数列,必收敛, 且,的定义域内任一收,定理1.4(函数极限与数列极限的关系),证,注,1 常常利用上述结果来求数列的极限:,例如:,2 常利用此定理来说明函数极限不存在 .,方法1 找一个数列,不存在 .,方法2 找两个趋于,的不同数列,及,说明,例2 证明,不存在 .,证 取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理1.5 ， 知,不存在 .,二者不相等,有界函数未必有极限.,内容小结,1. 收敛数列的性质:,唯一性 , 有界性 , 保号性, 保序性;,任一子数列收敛于同一极限,2. 函数极限的性质:,唯一性 , 局部有界性 , 局部保号性, 局部保序性;,3. 函数极限与数列极限的关系,思考题,1. 如何判断极限不存在?,方