（课标Ⅰ卷）2020届高考数学第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示课件.pptx

第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示,高考理数 (课标专用),考点一 平面向量的概念及线性运算,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2018课标,6,5分)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则 = ( ) A. - B. - C. + D. +,答案 A 本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义. E是AD的中点, =- , = + =- + ,又D为BC的中点, = ( + ),因此 =- ( + )+ = - ,故选A.,2.(2017课标,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上. 若 = + ,则+的最大值为 ( ) A.3 B.2 C. D.2,答案 A 本题考查向量的运算. 分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).点P在以C为 圆心且与BD相切的圆上,可设P . 则 =(0,-1), =(-2,0), = . 又 = + , =- sin +1,=- cos +1, +=2- sin - cos =2-sin(+), 其中tan = ,(+)max=3.,3.(2015课标,7,5分)设D为ABC所在平面内一点, =3 ,则 ( ) A. =- + B. = - C. = + D. = -,答案 A = + = + + = + = + ( - )=- + .故选A. 方法指导 利用向量加法和减法的三角形法则将 进行转化,最终将 用 与 表示出 来.,1.(2018课标,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则= .,考点二 平面向量基本定理及坐标运算,答案,解析 本题考查向量的坐标运算. 由已知得2a+b=(4,2).又c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得= .,2.(2015课标,13,5分)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数= .,答案,解析 向量a+b与向量a+2b平行,存在实数k使得a+b=k(a+2b),即(-k)a+(1-2k)b=0,a,b 不平行, k= ,= .故答案为 . 思路分析 由向量a+b与a+2b平行知存在实数k使得a+b=k(a+2b),整理得(-k)a+(1-2k)b=0,再 利用平面向量基本定理列方程组,由此可得出值.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 平面向量的概念及线性运算 (2015北京,13,5分)在ABC中,点M,N满足 =2 , = .若 =x +y ,则x= ,y= .,答案 ;-,解析 由 =2 知M为AC上靠近C的三等分点,由 = 知N为BC的中点,作出草图如图: 则有 = ( + ),所以 = - = ( + )- = - , 又因为 =x +y ,所以x= ,y=- .,1.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则| + + |的最大值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9,考点二 平面向量基本定理及坐标运算,答案 B 解法一:由圆周角定理及ABBC,知AC为圆的直径. 故 + =2 =(-4,0)(O为坐标原点). 设B(cos ,sin ), =(cos -2,sin ), + + =(cos -6,sin ),| + + |= = =7,当 且仅当cos =-1时取等号,此时B(-1,0),故| + + |的最大值为7.故选B. 解法二:同解法一得 + =2 (O为坐标原点),又 = + ,| + + |=|3 + | 3| |+| |=32+1=7,当且仅当 与 同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故| + + | max=7.故选B.,2.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B 上方,M为抛物线上一点, = +(-2) ,则= .,答案 3,解析 由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由 = +(-2) 得(x,y)=(1,2)+(-2) (1,-2)=(2-2,4),因为M在抛物线上,所以16=4(2-2),解得=3.,3.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为 .,答案 -3,解析 由a=(2,1),b=(1,-2), 可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n), 由已知可得 解得 从而m-n=-3.,1.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1时,|1 +2 +3 +4 +5 +6 |的最小值是 ,最大值是 .,C组 教师专用题组,答案 0;2,解析 本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以 此来考查学生的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养. 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), =(1,0), =(0,1), =(-1,0), =(0,-1), =(1,1), =(-1,1), 故|1 +2 +3 +4 +5 +6 | =|(1-3+5-6,2-4+5+6)| = .(*) 显然(*)式中第一个括号中的1,3与第二个括号中的2,4的取值互不影响,只需讨论5与6的 取值情况即可, 当5与6同号时,不妨取5=1,6=1, 则(*)式即为 ,1,2,3,4-1,1,1=3,2-4=-2(2=-1,4=1)时,(*)式取最小值0,当|1-3|=2(如1=1,3=-1),2- 4=2(2=1,4=-1)时,(*)式取最大值2 , 当5与6异号时,不妨取5=1,6=-1,则(*)式即为 . 同理可得最小值仍为0,最大值仍为2 , 综上,最小值为0,最大值为2 . 解题关键 本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正 方形,i(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1和-1),这就给建系及讨论i的值创造了条件,也是求 解本题的突破口.,2.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别为1,1, , 与 的夹角 为,且tan =7, 与 的夹角为45.若 =m +n (m,nR),则m+n= .,答案 3,解析 本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识. 解法一:tan =7,0,cos = ,sin = , 与 的夹角为, = , =m +n ,| |=| |=1,| |= , = , 又 与 的夹角为45, = = , 又cosAOB=cos(45+)=cos cos 45-sin sin 45 = - =- , =| | |cosAOB=- , 将其代入得m- n= ,- m+n=1,两式相加得 m+ n= ,所以m+n=3. 解法二:过C作CMOB,CNOA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N,则 =m , =n , 由正弦定理得 = = , | |= ,由解法一知,sin = ,cos = , | |= = = , | |= = = , 又 =m +n = + ,| |=| |=1, m= ,n= ,m+n=3.,考点一 平面向量的概念及线性运算 1.(2019河南平顶山一模,5)在平行四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,且AE=4EC,则 = ( ) A. - B. + C. - D. +,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 C 由 =4 得 = = ( + ),又 = - ,则 = ( + )- = - ,故选C.,2.(2019 53原创冲刺卷七,5)在平行四边形ABCD中,F是BC的中点, =-2 ,若 =x +y , 则x+y= ( ) A.1 B.6 C. D.,答案 C 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以 = , = , 因为 =-2 ,所以 =- =- , 所以 = - + + =- - + + = - , 又因为 =x +y ,所以x= ,y=- ,所以x+y= .,3.(2019河北3月质检,6)在ABC中,O为ABC的重心.若 = + ,则-2= ( ) A.- B.-1 C. D.-,答案 D 如图,连BO并延长交AC于点M,点O为ABC的重心,M为AC的中点, = = =- + =- + ( - )=- + ,又知 = + ,= - ,= ,-2=- -2 =- ,故选D.,4.(2018湖北孝感二模,8)设D、E、F分别为ABC三边BC、CA、AB的中点,则 +2 +3 = ( ) A. B. C. D.,答案 D 因为D、E、F分别为ABC三边BC、CA、AB的中点,所以 +2 +3 = ( + )+2 ( + )+3 ( + )= + + + + + = + + = + = ,故选D.,1.(2019河南天一月考卷(四),4)已知是锐角,向量a= ,b= ,满足|ab|=|a|b|,则 为 ( ) A.15 B.30 C.30或60 D.15或75,考点二 平面向量基本定理及坐标运算,答案 C 由|ab|=|a|b|可得ab,则sin cos = = ,得sin 2= .又因为是锐角, 所以2(0,),则2=60或120,所以=30或60,故选C.,2.(2017河北衡水中学三调考试,6)在ABC中, = ,若P是直线BN上的一点,且满足 = m + ,则实数m的值为 ( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4,答案 B 根据题意设 =n (nR),则 = + = +n = +n( - )= + n =(1-n) + ,又 =m + , 解得 故选B.,3.(2019河北六校第一次联考,14)已知向量a=(4,-2),b=(x,-1),c=(3,-4),若ab,则(a+b)c= .,答案 30,解析 ab,-2x=-4,x=2,b=(2,-1),a+b=(6,-3),(a+b)c=36+(-4)(-3)=30.,一、选择题(每题5分,共30分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：30分钟 分值：45分),1.(2019 53原创预测卷三,5)若O为ABC所在平面内一点,且满足( - )( + -2 )=0, 则ABC的形状为 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形,答案 A 解法一(特殊点法): 取点O在点C处,则 =0,( - )( + -2 )=0可化为( - )( + )= - =0,即 = ,所以| |=| |,又三角形中是否有直角不确定,所以ABC为等腰三角形,故选A. 解法二(向量的加减法运算): 因为( - )( + -2 )=0,所以 ( + )=0,所以边AB的中垂线过点C,即ABC为等 腰三角形,又三角形中是否有直角不确定,故选A.,2.(2019安徽滁州中学第三次模拟,9)已知A1,A2,A3为平面上三个不共线的定点,平面上点M满足 =( + )(是实数),且 + + 是单位向量,则这样的点M有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个,答案 C 由题意得, =-( + ), = + , = + , + + =(1- 3)( + ),如图所示,设D为A2A3的中点,(1-3)( + )是与 共起点且共线的一个 向量,显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点,故有两个值,即符合题意的点M有两个, 故选C. 名师点拨 向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算,有了向量的线性运算,平面中的 点,线段(直线)就可以利用向量表示,为用向量法解决几何问题奠定了基础.对于用已知向量表 示未知向量的问题,找准待求向量所在三角形,利用条件进行等量代换是关键,这一过程需要从 “数”与“形”两方面来把握.,(a+m),(b+n), =(-(a+m),-(b+n), =(a-(a+m),b-(b+n), =(m-(a+m),n-(b+n), + + =(1-3)(a+m),(1-3)(b+n). + + 是单位向量,(1-3)2(a+m)2+(b +n)2=1,A1,A2,A3是平面上三个不共线的定点,(a+m)2+(b+n)20,所以关于的方程有两解,故 满足条件的M有两个,故选C.,一题多解 以A1为原点建立平面直角坐标系,设A2(a,b),A3(m,n),则 + =(a+m,b+n),M(,3.(2019安徽黄山一模,12)如图,在ABC中,BAC= , =2 ,P为CD上一点,且满足 = m + ,若ABC的面积为2 ,则| |的最小值为 ( ) A. B. C.3 D.,答案 B 设| |=3a,| |=b,则三角形ABC的面积为 3absin =2 ,解得ab= .由 =m + =m + ,且C,P,D三点共线,可知m+ =1,即m= ,故 = + .以AB所在 直线为x轴,以A点为坐标原点,过A点的AB的垂线为y轴,建立如图所示的坐标系,则A(0,0),D(2a, 0),B(3a,0),C ,则 = , =(2a,0), = ,则| |2= + = b2+ a2+ ab+ b2= b2+ a2+12 +1= ab+1=3 当且仅当 b2= a2, 即b=6a时取“=” .故| |的最小值为 .,思路分析 设| |=3a,| |=b,由三角形ABC的面积为2 ,可得ab= ,由C,P,D三点共线可知m = ,以AB所在直线为x轴,以A点为坐标原点,过A点的AB的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,表 示出 的坐标,从而得到| |2的表达式,进而求出| |的最小值.,4.(2019福建泉州四校第二次联考,11)如图, =2 , =2 , =m , =n ,若m= ,那 么n= ( ) A. B. C. D.,答案 A 由 =2 , =2 ,知C是AB的中点,P是OC的中点,所以 = ( + ),则 = ( + ),又 = , =n ,从而 = - =n - , = - = - , 又点M,P,N共线,所以存在实数,使 = 成立,即n - = ,又因为 , 不共线,所以有 解得n= ,故选A. 一题多解 设 = , = , =n , = + = +( - )= + = (1-) +n ,又知 =2 , = = + , 解得= ,n= ,故选A.,5.(2018河南郑州一模,9)如图,在ABC中,N为线段AC上靠近点A的三等分点,点P在线段BN上 且 = + ,则实数m的值为 ( ) A.1 B. C. D.,答案 D = + = + ( - )=m + ,设 = (0 1),则 = + = +( - )=(1-) + ,因为 = ,所以 =(1-) + , 则 解得 故选D. 思路分析 由B、P、N三点共线可设 = (01),得出用 、 表示 的两种表达 式,进而由平面向量基本定理构造出关于、m的方程组,从而求m的值. 解题关键 选择合适的基底,利用平面向量基本定理构造方程组是求解本题的关键.,6.(2019河北衡水金卷(六),10)已知点P为四边形ABCD所在平面内一点,且满足 +2 =0, + +4 =0, = + (,R),则= ( ) A. B.- C.- D.,答案 D 如图,取AB的中点O,连接DO.由 +2 =0,知ABCD,AB=2CD,所以CDOB,所 以四边形OBCD为平行四边形.又由 + +4 =0,得-2 +4 =0,即 =2 ,所以D,P,O 三点共线,且P为OD上靠近D的三等分点,所以 = + = + = + ,所以= ,= ,所以= . 名师点睛 熟练掌握“ + =2 O是AB的中点”是求解此类问题的关键.,7.(2019广东七校第二次联考,16)已知G为ABC的重心,过点G的直线与边AB,AC分别相交于 点P,Q,若 = ,则ABC与APQ面积的比值为 .,二、填空题(每题5分,共15分),答案,解析 设 = (01),因为G为ABC的重心,所以 = ( + )= = + ,由P,G,Q三点共线,得 + =1,解得= ,所