（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第八章立体几何8.1空间几何体的三视图、表面积和体积课件.pptx

第八章 立体几何 8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积,高考理数 (课标专用),考点一 空间几何体的三视图与直观图,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2018课标,7,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为 ( ) A.2 B.2 C.3 D.2,答案 B 本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径问题. 由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示,设ME与FN为圆柱的两条母线, 沿FN将圆柱的侧面展开,如图2所示,连接MN,MN即为从M到N的最短路径,由题意知,ME=2,EN =4,MN= =2 .故选B. 图1 图2 方法点拨 1.由三视图还原直观图的步骤: (1)看视图明关系;(2)分部分想整体;(3)合起来定整体.,2.解决空间几何体表面上两点间的最短路径问题的常用方法是把空间图形展为平面图形,利 用两点之间线段最短进行求解.,2.(2018课标,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部 分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬 合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( ),答案 A 本题考查空间几何体的三视图. 两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为A. 故选A.,3.(2017课标,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角 三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯 形,这些梯形的面积之和为 ( ) A.10 B.12 C.14 D.16,答案 B 本题考查立体几何中的三视图问题,考查学生的运算求解能力和空间想象能力. 由多面体的三视图还原直观图如图. 该多面体由上方的三棱锥A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1构成,其中面CC1A1A和面BB1A1A 是梯形,则梯形的面积之和为2 =12.故选B. 题型归纳 有关三视图的基本问题一般有两类:一类是根据给定的空间几何体(或物体模型),画出该几何体(或物体模型)的三视图;另一类是已知某几何体的三视图,想象该几何体的结构 特征,画出该几何体的空间图形.,4.(2019课标,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半 正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图 2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱 长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .(本题第一空2分,第二空3分) 图1,图2,答案 26; -1,解析 本题考查空间几何体的结构特征,空间几何体的直观图等知识;考查空间想象能力,运算 求解能力和应用意识;考查的核心素养为直观想象和数学运算.通过金石文化体现和弘扬中华 优秀传统文化. 半正多面体面数从上至下依次为1,8,8,8,1,故共有1+8+8+8+1=26个面.半正多面体的所有顶点 都在同一个正方体表面上,如图1,该正方体被半正多面体顶点A,B,C所在平面截得的图形如图 2.八边形ABCDEFGH为正八边形. 图1 图2 设AB=a,则1=2 a+a,解得a= -1.,解题关键 将半正多面体顶点所在的正方体画出是关键,再选取合适的截面即可求解. 思路分析 该题是多面体切接问题,尽量选取多个顶点所在的截面ABCDEFGH,并确定其形状 为正八边形,根据边之间的关系列出方程求解即可. 疑难突破 将半正多面体放置在相应的正方体中,有更强的对称性和直观性,解题将有突破性 的进展.,考点二 空间几何体的表面积 1.(2016课标,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积 为 ( ) A.20 B.24 C.28 D.32,答案 C 由三视图可得圆锥的母线长为 =4,S圆锥侧=24=8.又S圆柱侧=224= 16,S圆柱底=4,该几何体的表面积为8+16+4=28.故选C. 思路分析 先求圆锥的母线长,从而可求得圆锥的侧面积,再求圆柱的侧面积与底面积,最后相 加即可得出该几何体的表面积.,2.(2016课标,9,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的表面积为 ( ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81,答案 B 由三视图可知该几何体是斜四棱柱,其底面是边长为3的正方形,高为6,侧棱长为 3 ,则该几何体的表面积S=232+233 +236=54+18 .故选B.,3.(2015课标,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何 体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r= ( ) A.1 B.2 C.4 D.8,答案 B 由已知可知,该几何体的直观图如图所示,其表面积为2r2+r2+4r2+2r2=5r2+4r2.由 5r2+4r2=16+20,得r=2.故选B. 思路分析 根据题意及正视图和俯视图画出几何体的直观图,利用题图提供的数据表示出几 何体的表面积,从而构造出关于r的方程,由此可解出r的值. 方法归纳 几何体的表面积是指各个面的面积之和;求组合体的表面积时应注意重合部分的处理.,4.(2015课标,9,5分)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥 O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 ( ) A.36 B.64 C.144 D.256,答案 C SOAB是定值,且VO-ABC=VC-OAB, 当OC平面OAB时,VC-OAB最大,即VO-ABC最大.设球O的半径为R,则(VO-ABC)max= R2R= R3= 36,R=6,球O的表面积S=4R2=462=144. 思路分析 由OAB的面积为定值分析出当OC平面OAB时,三棱锥O-ABC的体积最大,从而 根据已知条件列出关于R的方程,进而求出R值,利用球的表面积公式即可求出球O的表面积. 导师点睛 点C是动点,在三棱锥O-ABC中,如果以面ABC为底面,则底面面积与高都是变量,而 SOAB为定值,因此转化成以面OAB为底面,这样高越大,体积越大.,5.(2018课标,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为 ,SA与圆锥底面所 成角为45.若SAB的面积为5 ,则该圆锥的侧面积为 .,答案 40 ,解析 本题考查了圆锥的性质和侧面积的计算,考查了异面直线所成的角和线面角. 因为母线SA与圆锥底面所成的角为45,所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形.设底面圆的半 径为r,则母线长l= r.在SAB中,cosASB= ,所以sinASB= .因为SAB的面积为5 , 即 SASBsinASB= r r =5 ,所以r2=40,故圆锥的侧面积为rl= r2=40 . 疑难突破 利用底面半径与母线的关系,以及SAB的面积求出底面半径是解题的突破口.,考点三 空间几何体的体积 1.(2019课标,12,5分)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边 长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为( ) A.8 B.4 C.2 D. ,答案 D 本题考查线面垂直的位置关系、三棱锥的性质和球的体积公式,考查空间想象能 力和数学运算能力,考查的核心素养是直观想象和数学建模. 解法一:E、F分别是PA、AB的中点,EFPB. CEF=90,EFEC,PBEC, 又三棱锥P-ABC为正三棱锥,PBAC,从而PB平面PAC,三条侧棱PA、PB、PC两两 垂直. ABC是边长为2的正三角形,PA=PB=PC= , 则球O是棱长为 的正方体的外接球,设球O的半径为R, 则2R= ,R= ,球O的体积V= R3= .故选D.,解法二:令PA=PB=PC=2x(x0),则EF=x,连接FC,由题意可得FC= .在PAC中,cosAPC= = . 在PEC中,EC2=PC2+PE2-2PCPEcosEPC=4x2+x2-22xx =x2+2,在FEC中,CEF= 90,FC2=EF2+EC2,即x2+2+x2=3,x= ,PA=PB=PC=2x= . AB=BC=CA=2,三棱锥P-ABC的三个侧面为等腰直角三角形,PA、PB、PC两两垂直,故 球O是棱长为 的正方体的外接球,设球O的半径为R,则2R= ,R= ,球O的体积V= R3= .故选D. 解题关键 三棱锥与球的切、接问题,关键是确定三棱锥的特殊性.本题中确定三棱锥的侧棱 长是关键.通常情况下,把空间问题转化为平面问题后通过解三角形完成,充分利用平行、垂直 的特殊位置关系更有利于解题.,2.(2017课标,4,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 ( ) A.90 B.63 C.42 D.36,答案 B 本题考查三视图和空间几何体的体积. 由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6,高为14的圆柱,所以该几何体的 体积V= 3214=63.故选B.,3.(2017课标,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题考查球的内接圆柱的体积. 设圆柱的底面半径为r,则r2+ =12,解得r= , V圆柱= 1= ,故选B.,4.(2015课标,6,5分)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 ( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛,答案 B 设圆锥底面的半径为R尺,由 2R=8得R= ,从而米堆的体积V= R25= (立方尺),因此堆放的米约有 22(斛).故选B. 思路分析 根据米堆底部的弧长可求出圆锥底面的半径,从而计算出米堆的体积,用该体积除 以每斛米的体积即可求得斛数.,5.(2015课标,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截 去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A. B. C. D.,答案 D 如图,由已知条件可知,截去部分是以ABC为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D- ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为 a3,剩余部分的体积为a3- a3= a3.它们的体积之比为 .故选D.,6.(2016课标,10,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6, BC=8,AA1=3,则V的最大值是 ( ) A.4 B. C.6 D.,答案 B 易知AC=10.设底面ABC的内切圆的半径为r,则 68= (6+8+10)r,所以r=2,因 为2r=43,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积最大,所以最大球的直径2R=3,则R= , 此时球的体积V= R3= .故选B.,7.(2019课标,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为 所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制 作该模型所需原料的质量为 g.,答案 118.8,解析 本题考查长方体、四棱锥的体积公式;考查学生的空间想象能力和运算能力,以及应用 意识与数形结合的思想;考查的核心素养是直观想象和数学运算. 依题意,知该模型是长方体中挖去一个四棱锥,故其体积 V=V长方体-V四棱锥=664- 463=132(cm3). 又制作该模型所需的原料密度为0.9 g/cm3, 故制作该模型所需原料的质量为0.9132=118.8(g). 易错警示 计算被挖去的四棱锥底面面积时,容易误认为四边形HEFG为正方形,由勾股定理 求得HE= = ,错认为底面面积为13.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 空间几何体的三视图与直观图 1.(2019浙江,4,4分)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异” 称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体 的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是 ( ) A.158 B.162 C.182 D.324,答案 B 本题考查空间几何体的三视图、直观图;以三视图还原直观图为背景考查学生的 空间想象能力和运算求解能力;体现直观想象的核心素养;以祖暅原理为背景旨在弘扬中华优 秀传统文化,指导学生树立正确的历史观、民族观、国家观. 由三视图知该柱体的直观图为如图所示的五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1, 取CD中点G,连接AG, 由侧视图知AGCD,AG=6, 底面积S=S梯形AGCB+S梯形AGDE= (2+6)3+ (4+6)3=27, 该柱体体积V=Sh=276=162.故选B.,解题关键 正确利用正视图与俯视图“长对正”的原理确定AG,BC的长.,2.(2018北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C 本题考查空间几何体的三视图和直观图,空间线、面的位置关系. 由三视图得四棱锥的直观图如图所示. 其中SD底面ABCD,ABAD,ABCD,SD=AD=CD=2,AB=1.由SD底面ABCD,AD,DC,AB 底面ABCD,得SDAD,SDDC,SDAB,故SDC,SDA为直角三角形,又ABAD,AB SD,AD,SD平面SAD,ADSD=D,AB平面SAD,又SA平面SAD,ABSA,即SAB也是 直角三角形,从而SB= =3,又BC= = ,SC=2 ,BC2+SC2SB2, SBC不是直角三角形,故选C. 方法技巧 三视图还原为直观图的原则是“长对正、高平齐、宽相等”,另外,在将三视图还 原为直观图时,借助于正方体或长方体能使问题变得具体、直观、简单.,3.(2017北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 ( ) A.3 B.2 C.2 D.2,答案 B 本题考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力. 根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示,将该四棱锥放入棱长为2的正 方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD,PD= =2 .故选B.,4.(2019北京,11,5分)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果 网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为 .,答案 40,解析 本题考查了直观图和三视图,考查了空间几何体的体积,考查了空间想象能力和数学运 算能力.考查的核心素养为直观想象与数学运算. 由三视图可知,该几何体的直观图如图所示.它是由棱长为4的正方体去掉一个底面为直角梯 形、高为4的直四棱柱后的几何体,其体积V=43- (2+4)24=40. 解题关键 由三视图正确得到直观图是关键.该几何体也可看作由一个长方体与一个直三棱 柱组合而成.,考点二 空间几何体的表面积 1.(2015安徽,7,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是 ( ) A.1+ B.2+ C.1+2 D.2,答案 B 四面体的直观图如图所示. 侧面SAC底面ABC,且SAC与ABC均为腰长是 的等腰直角三角形,SA=SC=AB=BC= ,AC=2.设AC的中点为O,连接SO,BO,则SOAC,SO平面ABC,SOBO.又OS=OB=1, SB= ,故SAB与SBC均是边长为 的正三角形,故该四面体的表面积为2 + 2 ( )2=2+ .,2.(2016浙江,11,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm3.,答案 72;32,解析 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示.该几何体由两个完全相同的长方 体组合而成,其中AB=BC=2 cm,BD=4 cm,该几何体的体积V=2242=32 cm3,表面积S=(22 3+243)2=362=72 cm2. 思路分析 由几何体的三视图得到该几何体的直观图(几何体由两个长方体组合而成),从而 利用长方体的表面积和体积公式求解即可. 评析 本题主要考查几何体的三视图、直观图以及体积和表面积的求法,考查学生空间想象 能力,识图以及画图的能力.解决本题的关键是正确还原几何体的直观图.,考点三 空间几何体的体积 1.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8,答案 C 本小题考查空间几何体的三视图和直观图以及几何体的体积公式. 由三视图可知该几何体是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底边的长分别为1 cm,2 cm,高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V= 22=6 cm3. 思路分析 (1)利用三视图可判断几何体是直四棱柱; (2)利用“长对正,高平齐,宽相等”的原则,可得直四棱柱的相关棱长.,2.(2017浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 ( ) A. +1 B. +3 C. +1 D. +3,答案 A 本题考查三视图和直观图,三棱锥和圆锥的体积计算. 由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm,高为3 cm的半个圆锥和三棱锥S-ABC组成的,如 图,三棱锥的高为3 cm,底面ABC中,AB=2 cm,OC=1 cm,ABOC.故其体积V= 123+, 213= cm3.故选A.,3.(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( ) A. B. C. D.1,答案 A 由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示,其底面是等腰直角三角形ACB,直角边长为1,三棱锥的高为1,故体积V= 111= .故选A.,4.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD 的体积是 .,答案 10,解析 本题考查长方体、三棱锥的体积公式,考查学生的空间想象能力、运算求解能力,考查 的核心素养是直观想象、数学运算. 因为长方体的体积是120,所以2SBCDCC1=120, 则SBCDCC1=60.所以VE-BCD= SBCDEC= SBCD CC1= 60=10. 评析 本题通过长方体考查体积之间的关系,通过体积公式,找出底面面积与高的关系,不需要 求出具体的底面面积和高是多少.,5.(2019天津,11,5分)已知四棱锥的底面是边长为 的正方形,侧棱长均为 .若圆柱的一个底 面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体 积为 .,答案,解析 本题考查了圆柱、正四棱锥的性质,通过计算圆柱的底面半径、高、体积考查学生的 空间想象能力和转化思想方法的应用,体现了直观想象的核心素养. 如图所示,圆柱的高O1O= PO= = =1,圆柱的底面半径r= AO= .所以圆 柱的体积V=r2O1O= 1= .,6.(2018天津,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的 中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为 .,答案,解析 本题主要考查正方体的性质和正四棱锥的体积. 由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形,其边长为 ,则底面面积为 ,由正方体的性质知,四 棱锥的高为 .故四棱锥M-EFGH的体积V= = .,7.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .,答案,解析 本题考查组合体体积的计算. 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为 ,高为1,其体积 为 ( )21= ,多面体的体积为 .,8.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记 圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则 的值是 .,答案,解析 本题考查空间几何体的体积. 设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R,高为2R, = = .,9.(2017天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18, 则这个球的体积为 .,答案 ,解析 本题考查正方体的表面积及外接球的体积. 设这个正方体的棱长为a,由题意可知6a2=18,所以a= ,所以这个正方体的外接球半径R= a = ,所以这个正方体外接球的体积V= R3= = . 方法总结 找几何体外接球球心的方法:1.构造长方体(或正方体),将原几何体外接球转化成 长方体(或正方体)的外接球,进而易得球心位置;2.找几何体底面的外心O1,过O1作底面的垂线 l1,再找几何体一侧面的外心O2,过O2作该侧面的垂线l2,则l1与l2的交点即为外接球的球心.,C组 教师专用题组 考点一 空间几何体的三视图与直观图 1.(2014课标,12,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( ) A.6 B.6 C.4 D.4,答案 B 由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥,如图所示. 其中面ABC面BCD,ABC为等腰直角三角形,AB=BC=4,取BC的中点M,连接AM,DM,则DM 面ABC,在等腰BCD中,BD=DC=2 ,BC=DM=4,所以在RtAMD中,AD= = =6,又在RtABC中,AC=4 6,故该多面体的各条棱中,最长棱为AD,长度为6,故 选B.,2.(2013课标,7,5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1, 0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以 为 ( ),答案 A 设O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以O、A、B、C为顶点的四面体补成一正方 体后,由于OABC,所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A. 方法归纳 由几何体直观图画三视图的要求:注意三个视图对应的观察方向;注意视图中 虚线与实线的区别;画出的三视图要符合“长对正,高平齐,宽相等”的基本特征.,3.(2011课标,6,5分)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以 为 ( ),答案 D 由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面垂直 于底面的三棱锥组成的组合体,故其侧视图应为D选项. 错因分析 将组合体看成半圆柱和三棱锥的组合或不注意C和D中中线实虚的含义,易误选A 或C. 评析 本题主要考查空间几何体的三视图,考查学生的识图能力和空间想象能力.,考点二 空间几何体的表面积 1.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ) A.3 B.4 C.2+4 D.3+4,答案 D 由题中三视图知该几何体是底面半径为1,高为2的半个圆柱,故其表面积S=2 12+12+22=3+4. 评析 本题考查三视图的概念和性质以及圆柱的表面积,考查运算及推理能力和空间想象能 力.由三视图确定几何体的直观图是解题的关键.,2.(2014大纲全国,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该 球的表面积为 ( ) A. B.16 C.9 D.,答案 A 设球的半径为R,由题意可得(4-R)2+( )2=R2,解得R= ,所以该球的表面积为4R2= .故选A.,考点三 空间几何体的体积 1.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积 为 ( ) A. + B. + C. + D.1+ ,答案 C 由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径 为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的直径2R= ,则R= ,所以半球的体积为 R3= ,又正四棱锥的体积为 121= ,所以该几何体的体积为 + .故选C. 易错警示 没有从俯视图中正确得到球的半径,而错误地从正视图中得到球的半径R= 造成 错解.或解题粗心,误认为半径R=1造成错解. 评析 本题考查了空间几何体的三视图和体积公式.正确得到几何体的直观图是解题关键.,2.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能 大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 原工件是一个底面半径为1,高为2的圆锥,依题意加工后的新工件是圆锥的内接长 方体,且落在圆锥底面上的面是正方形,设正方形的边长为a,长方体的高为h,则0a ,0h2. 于是 = ,h=2- a. 令f(a)=V长方体=a2h=2a2- a3,f (a)=4a-3 a2, 当f (a)=0时,a= .易知f(a)max=f = . 材料利用率= = .故选A.,3.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 ( ) A.8 cm3 B.12 cm3 C. cm3 D. cm3,答案 C 该几何体是由棱长为2的正方体和底面边长为2,高为2的正四棱锥组合而成的几何 体.故其体积为V=222+ 222= cm3.,4.(2015山东,7,5分)在梯形ABCD中,ABC= ,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所 在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 ( ) A. B. C. D.2,答案 C 如图,此几何体是底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥,故 所求体积V=2- = . 评析 本题主要考查几何体的体积及空间想象能力.,5.(2015重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ),答案 A 由三视图知,该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体.V=V三棱锥+ V圆柱= 2 11+ 122= +.选A.,6.(2014课标,6,5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零 件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的 体积与原来毛坯体积的比值为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2 cm,高为4 cm;另 一个圆柱的底面半径为3 cm,高为2 cm.则零件的体积V1=224+322=34(cm3).而毛坯的体 积V=326=54(cm3),因此切削掉部分的体积V2=V-V1=54-34=20(cm3),所以 = = .故选C. 思路分析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体,进而求出该零件的体积,再由柱体的体积 公式求出毛坯的体积,从而作差求出切削掉部分的体积,进而可得出相应体积之比. 易错警示 审题不够严谨,误将“切削掉部分的体积”认为是“切削后部分的体积”,从而误选A.,7.(2013课标,6,5分)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( ) A. cm3 B. cm3,C. cm3 D. cm3,答案 A 设球的半径为R cm,球心为O,正方体上底面中心为A,上底面一边的中点为B,在 RtOAB中,|OA|=(R-2)cm,|AB|=4 cm,|OB|=R cm,由R2=(R-2)2+42得R=5,V球= R3= (cm3).故选 A. 解题关键 运用球的截面性质:R2=r2+d2(R为球的半径,r为截面圆的半径,d为球心到截面的距 离)列出方程是解决本题的关键.,8.(2013课标,8,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A.16+8 B.8+8 C.16+16 D.8+16,答案 A 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分 别为4、2、2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以该几何体的体积V=422+ 224=16+8.故选 A. 思路分析 由三视图分析该几何体的构成,从而利用三视图中的数据计算几何体的体积.,9.(2012课标,7,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此 几何体的体积为 ( ) A.6 B.9 C.12 D.18,答案 B 由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥,其底面ABC为等腰直角三角形且BA= BC,AC=6,AC边上的高为3,SB底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V= 633=9.故选B. 评析 本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体 的直观图是求解的关键.,10.(2012课标,11,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正 三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 设ABC外接圆的圆心为O1,则|OO1|= = = . 三棱锥S-ABC的高为2|OO1|= . 所以三棱锥S-ABC的体积V= = .故选A. 评析 本题考查了三棱锥和球的基本知识,考查了空间想象能力.,11.(2016四川,13,5分)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所 示,则该三棱锥的体积是 .,答案,解析 由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为2 ,三棱锥的高为1,则三棱 锥的底面积为 2 = , 该三棱锥的体积为 1= . 评析 正确理解正视图中的数据在直观图中表示的含义很关键.,12.(2016天津,11,5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位: m),则该四棱锥的体积为 m3.,答案 2,解析 四棱锥的底面是平行四边形,由三视图可知其面积为21=2 m2,四棱锥的高为3 m,所以 四棱锥的体积V= 23=2 m3. 易错警示 该题有两点容易出错:一是锥体的体积公式中的系数 易漏写;二是底面平行四边 形的面积易错误地写成31=3 m2. 评析 本题考查了三视图和直观图,考查了锥体的体积.,13.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.,答案 ,解析 由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱 的底面半径均为1,圆锥的高均为1,圆柱的高为2.因此该几何体的体积为V=2 121+122 = m3.,14.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的 圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱 各一个,则新的底面半径为 .,答案,解析 原两个几何体的总体积V= 524+228= .由题意知新圆锥的高为4,新圆柱的 高为8,且它们的底面半径相同,可设两几何体的底面半径均为r(r0),则 r24+r28= ,解得r2=7,从而r= .,15.(2014山东,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P- ABC的体积为V2,则 = .,答案,解析 如图,设SABD=S1,SPAB=S2,E到平面ABD的距离为h1,C到平面PAB的距离为h2,则S2=2S1,h2= 2h1,V1= S1h1,V2= S2h2, = = . 评析 本题考查三棱锥的体积求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的 易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化,找不到两个三棱锥的底 面积及相应高的关系,从而造成题目无法求解或求解错误.,16.(2011课标,15,5分)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2 ,则 棱锥O-ABCD的体积为 .,答案 8,解析 如图,连接AC,BD,交于O1,则O1为矩形ABCD所在小圆的圆心,连接OO1,则OO1面 ABCD,易求得O1C=2 ,又OC=4, OO1= =2, 棱锥体积V= 62 2=8 . 失分警示 立体感不强,空间想象能力差,无法正确解出棱锥的高而得出错误结论. 评析 本题主要考查球中截面圆的性质及空间几何体的体积的计算,通过球这个载体考查学 生的空间想象能力及推理运算能力.,17.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍. (1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?,解析 (1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m. 因为A1B1=AB=6 m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积 V锥= A1 PO1= 622=24(m3); 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积 V柱=AB2O1O=628=288(m3). 所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).,方法指导 (1)根据已知条件求出相关数据,进而利用相应体积公式求解. (2)选择中间关联变量PO1为主变量把相关边长与高用主变量表示出来,再把容积表示成主变 量的函数,进而转化成研究函数最值的问题. 评析 本题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识,考查空间想 象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.,考点一 空间几何体的三视图与直观图 1.(2019湖南五市十校3月联考,6)某四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是等腰直角三角形,俯 视图的轮廓是直角梯形,则该四棱锥的各侧面面积的最大值为 ( ),三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,A.8 B.4 C.8 D.12,答案 D 由三视图可知该几何体是一底面为直角梯形,高为4的四棱锥,如图,其中侧棱PA 平面ABCD,PA=4,AB=4,BC=4,CD=6,ABBC,所以AD=2 ,PD=6,PB=4 ,连接AC,则AC= 4 ,所以PC=4 ,显然在各侧面面积中PCD的面积最大,又PD=CD=6,所以PC边上的高为 =2 ,所以SPCD= 4 2 =12 ,故该四棱锥的各侧面面积的最大值为 12 .故选D.,2.(2019湖南衡阳二模,7)如图,正方体AC1的顶点A,B在平面上,AB= ,若平面A1B1C1D1与平面 所成角为30,由如图所示的俯视方向,正方体AC1在平面上的俯视图的面积为 ( ) A.2 B.1+ C.2 D.2,答案 B 依题意知,直线AB在平面内,且平面与平面ABCD所成的角为30,与平面B1A1AB所 成的角为60,故所得的俯视图的面积S=2(cos 30+cos 60)=1+ .,3.(2019湖北恩施二模,9)某圆锥的母线长为2,高为 ,其三视图如图所示,圆锥表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆锥表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆锥侧面上,从M 到N的路径中,最短路径的长度为 ( ) A.2 B.2 C. D.2,答案 D 因为圆锥的母线长为2,高为 ,所以底面半径r= = ,所以底面周长为 2r= ,所以侧面展开图中扇形中心角为 = = ,所以从M到N的路径中,最短路径的长 度为 =2 .,4.(2018江西南昌NCS项目4月联考,7)已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所 示,图中小方格是单位正方形,那么组合体的侧视图的面积为 ( ) A.6+ B. C.6+ D.8,答案 B 由题意可得侧视图如图所示,上面是一个三角形,其底边长为1+ = ,高为2,则该三 角形的面积S1= 2= ;下面是一个等腰梯形,上底长为2,下底长为4,高为2,则该梯形的面积 S2= (2+4)2=6,所以组合体的侧视图的面积S=S1+S2= +6= .选B.,5.(2018河南百校联盟4月联考,9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,图中粗线画出的是某多面 体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( ) A.2 B.3 C. D.,答案 B 根据三视图,利用棱长为2的正方体分析知,该多面体是一个三棱锥,即三棱锥A1- MNP,如图所示,其中M,N,P是棱长为2的正方体相应棱的中点,可得棱A1M最长,A1M= =3,故最长的棱的长度为3,选B.,考点二 空间几何体的表面积 1.(2019广东广州综合测试(一),10)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和俯视图中的四 边形是边长为2的正方形,则该几何体的表面积为 ( ) A. B.7 C. D.8,答案 B 由三视图可知该几何体是一个圆柱体和一个球体的四分之一的组合体,则所求的 几何体的表面积S= 412+212+212=7,故选B.,2.(2019安徽六校第二次联考,6)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为r的圆,若 该几何体的体积为 ,则它的表面积是 ( ) A. B.9 C. D. ,答案 C 由三视图可知该几何体是一个圆柱挖去了一个半径等于圆柱底面半径的半球体, 其中圆柱的高等于半球的半径r,所以该几何体的体积V=r2r- r3= r3= ,r3= ,又知 r0,r= ,该几何体的表面积S=r2+2rr+ 4r2=5r2=5 = ,故选C.,3.(2019河南郑州一模,9)如图,网格纸上小正方形的边长为2,粗线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的表面积为 ( ) A.16 +(32+16 +16 ) B.16 +(16+16 +16 ) C.16 +(32+32 +32 ) D.16 +(16+32 +32 ),答案 A 由三视图知该几何体是由两个圆锥与一个长方体组合而成的,两个圆锥的底面半 径均为4,高分别为4和8,长方体的长、宽、高分别为2 、2 、2,则该几何体的表面积S= 244 + 244 +422+2 24=16 +(32+16 +16 ),故选A.,4.(2018河南濮阳二模,7)已知三棱锥A-BCD中,ABD与BCD是边长为2的等边三角形且二 面角A-BD-C为直二面角,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为 ( ) A. B.5 C.6 D.,答案 D 取BD的中点M,连接AM,CM,取ABD,CBD的中心即AM,CM的靠近BD的三等分 点P,Q,过P作面ABD的垂线,过Q作面CBD的垂线,两垂线相交于点O,则点O为外接球的球心,其 中OQ= ,CQ= ,连接OC,则外接球的半径R=OC= ,则外接球的表面积为4R2= ,故 选D.,5.(2017河北衡水中学三调,10)已知正方体ABCD-ABCD的外接球的体积为 ,将正方体割 去部分后,剩余几何体的三视图如图所示,则剩余几何体的表面积为 ( ) A. + B.3+ 或 + C.2+ D. + 或2+,答案 B 设正方体的棱长为a,依题意得, = ,解得a=1.由三视图可知,该几何体 的直观图有以下两种可能,图1对应的几何体的表面积为 + ,图2对应的几何体的表面积为3 + .故选B.,6.(2019福建漳州二模,15)已知正四面体ABCD的外接球的体积为8 ,则这个四面体的表面 积为 .,答案 16,解析 如图,O为球心,E为BCD的外心.设正四面体外接球的半径为r,BC=a,则BE= ,AE= = .由 r3=8 ,得r= .在直角OBE中,BE2+OE2=OB2,即 + =( )2,解得a=4,所以正四面体ABCD的表面积为 4=16 .,考点三 空间几何体的体积 1.(2019湖北武汉2月调研,8)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体的三视 图,则此四面体的体积为 ( ) A. B.16 C.32 D.48,答案 A 由三视图知,该四面体可以看作正方体中的三棱锥P-ABC,如图,由已知得AB=4,AC= 4,ABC是直角三角形,所以SABC= ABAC= 44=8,所以四面体P