（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2.7函数模型及综合应用课件.pptx

2.7 函数模型及综合应用,高考理数 (课标专用),考点一 函数的实际应用 (2019课标,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着 陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地 面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月 拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量 为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程: + =(R+r) . 设= .由于的值很小,因此在近似计算中 33,则r的近似值为 ( ) A. R B. R C. R D. R,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 D 本题考查数学应用意识、运算求解能力以及方程思想;通过物理背景旨在考查数 学建模、逻辑推理和数学运算的核心素养.体现了试题的创新意识,激发了学生的爱国情怀以 及正确的国家观. 将r=R代入方程可得 + =(1+) , 即 + =(1+)M1, = ,即 = , 33, ,r=R R.故选D. 解后反思 题中内容丰富、字母较多,需要冷静、沉思,抓住题的实质,进而转化成数学运算问 题.平时一定要注重培养良好的解题习惯.,考点二 函数的综合应用 (2019课标,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x(0,1时, f(x)=x(x-1).若 对任意x(-,m,都有f(x)- ,则m的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题考查了函数图象的应用以及不等式恒成立;考查数形结合思想的应用;以函数 间的递推关系为背景考查逻辑推理及数据分析的核心素养. 由题意可知,当x(0,1时,f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x= 时, f(x)min=- ,且当x= 时, f(x)=- .当x(1, 2时,x-1(0,1,则f(x)=2f(x-1).当x(-1,0时,x+1(0,1,则 f(x)= f(x+1). 若x(1,2,则当x= 时, f(x)min=- ,且x= 时, f(x)=- . 同理,若x(2,3,则当x= 时, f(x)min=-1,且x= 时, f(x)=- . 函数f(x)的大致图象如图所示.,f(x)- 对任意x(-,m恒成立,当x(-,m时, f(x)min- ,由图可知m .故选B. 思路分析 由x(-,m时,f(x)- 恒成立,可知f(x)min- .由递推关系可作出y=f(x)的大致图 象.由图可得m的范围. 疑难突破 由x(0,1, f(x)=x(x-1),结合递推关系f(x+1)=2f(x)得出xR时,y=f(x)的图象是本题 的难点.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 函数的实际应用 (2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b (e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保 鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是 小时.,答案 24,解析 依题意有192=eb,48=e22k+b=e22keb, 所以e22k= = = ,所以e11k= 或- (舍去),于是该食品在33 的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3eb= 192=24(小时).,考点二 函数的综合应用 1.(2019天津,8,5分)已知aR.设函数f(x)= 若关于x的不等式f(x)0在R上恒 成立,则a的取值范围为 ( ) A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e,答案 C 本题主要考查分段函数及不等式恒成立问题,考查学生推理论证能力及运算求解 能力,将恒成立问题转化为求最值问题,考查了学生化归与转化思想及分类讨论思想. (1)当x1时, f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2, 若a1,则f(x)在(-,1上是减函数,所以f(x)f(1)=10恒成立;若a1,则f(x)f(a)=2a-a2,要 使f(x)0在(-,1上恒成立,只需2a-a20,得0a2,0a1,综合可知,a0时, f(x) 0在(-,1上恒成立. (2)当x1时,ln x0, f(x)=x-aln x0恒成立,即a 恒成立. 令g(x)= ,g(x)= ,令g(x)=0,得x=e,当x(1,e)时,g(x)0,g(x)为增函数,g(x)min=g(e)=e,ae. 综合(1)(2)可知,a的取值范围是0ae,故选C. 解后反思 求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)a在R上 恒成立f(x)mina, f(x)a在R上恒成立f(x)maxa;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行 分类讨论,从而确定参数的取值范围.,2.(2017山东,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增, 则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 . f(x)=2-x f(x)=3-x f(x)=x3 f(x)=x2+2,答案 ,解析 对于, f(x)的定义域为(-,+),exf(x)=ex2-x= ,函数y= 在(-,+)上单调递 增,符合题意. 对于, f(x)的定义域为(-,+),exf(x)=ex3-x= ,函数y= 在(-,+)上单调递减, 不符合题意. 对于, f(x)的定义域为(-,+),exf(x)=exx3,令y=exx3,则y=(exx3)=exx2(x+3),当x(-,-3)时,y0, 函数y=ex(x2+2)在(-,+)上单调递增,符合题意. 符合题意的为.,思路分析 审清题意,逐项代入检验即可. 方法总结 判断函数单调性的一般方法: (1)定义法. (2)图象法. (3)利用复合函数单调性的判断方法判断单调性. (4)导数法.具体步骤:确定函数的定义域;求导函数f (x);令f (x)=0,求x的值;当f (x)0 时, f(x)为增函数,当f (x)0时, f(x)为减函数,注意写单调区间时不能用“”连接.,3.(2017浙江,17,4分)已知aR,函数f(x)= +a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围 是 .,答案,C组 教师专用题组 考点一 函数的实际应用 1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 ( ) A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米,答案 D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程 都超过5 km,则A错; 对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车 耗油最少,则B错; 对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗了汽油 80110=8(升),则C错; 对于D选项:当行驶速度小于80 km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用 丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.,2.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现 状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区 边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为 5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立 平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y= (其中a,b为常数)模型. (1)求a,b的值; (2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; 当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.,解析 (1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y= ,得 解得 (2)由(1)知,y= (5x20),则点P的坐标为 , 设在点P处的切线l交x轴,y轴分别于A,B点,易知y=- , 则l的方程为y- =- (x-t),由此得A ,B . 故f(t)= = ,t5,20.,设g(t)=t2+ ,则g(t)=2t- . 令g(t)=0,解得t=10 . 当t(5,10 )时,g(t)0,g(t)是增函数, 从而,当t=10 时,函数g(t)有极小值,也是最小值, 所以g(t)min=300,则f(t)min=15 . 答:当t=10 时,公路l的长度最短,最短长度为15 千米.,考点二 函数的综合应用 1.(2014辽宁,12,5分)已知定义在0,1上的函数f(x)满足: f(0)=f(1)=0; 对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)| |x-y|. 若对所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|k恒成立,则k的最小值为( ) A. B. C. D.,答案 B 当x=y时,|f(x)-f(y)|=0. 当xy时, 若|x-y| ,依题意有|f(x)-f(y)| ,不妨设x ,|f(x)-f(y)| - = . 综上所述,对所有x,y0,1,都有|f(x)-f(y)| .因此,k ,即k的最小值为 ,故选B.,2.(2016浙江,18,15分)已知a3,函数F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q= (1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围; (2)(i)求F(x)的最小值m(a); (ii)求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).,解析 (1)由于a3,故 当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0, 当x1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a). 所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a. (2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则 f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2, 所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即 m(a)= (ii)当0x2时,F(x)f(x)maxf(0), f(2)=2=F(2), 当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6). 所以,M(a)=,3.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1). (1)设a=2,b= . 求方程f(x)=2的根; 若对于任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值; (2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.,解析 (1)因为a=2,b= ,所以f(x)=2x+2-x. 方程f(x)=2即2x+2-x=2,亦即(2x)2-22x+1=0, 所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0. 由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x)2-2. 因为f(2x)mf(x)-6对于xR恒成立,且f(x)0, 所以m 对于xR恒成立. 而 =f(x)+ 2 =4,且 =4, 所以m4,故实数m的最大值为4. (2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点. 因为g(x)=axln a+bxln b,又由01知ln a0, 所以g(x)=0有唯一解x0=lo . 令h(x)=g(x),则h(x)=(axln a+bxln b)=ax(ln a)2+bx(ln b)2, 从而对任意xR,h(x)0,所以g(x)=h(x)是(-,+)上的单调增函数.,于是当x(-,x0)时,g(x)g(x0)=0. 因而函数g(x)在(-,x0)上是单调减函数,在(x0,+)上是单调增函数. 下证x0=0. 若x0 -2=0,且函数g(x)在以 和 loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在 和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为00,同理可得,在 和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾. 因此,x0=0. 于是- =1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.,考点一 函数的实际应用 1.(2018江西4月模拟,10)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是B1C的中点,动点M在其表面上 运动,且与平面A1DC1的距离保持不变,运行轨迹为S,M从P点出发,绕其轨迹运行一周的过程中, 运动的路程x与l=MA1+MC1+MD之间满足函数关系l=f(x),则此函数图象大致是 ( ),三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 D 连接AB1,AC. 由题意可知点M的运行轨迹是B1AC,不妨设M从P点出发,沿PCAB1P运行,设AC的中 点为Q,AB1的中点为R.可知M从P运行到C的过程中,MA1+MD从小变大,且MC1从小变大,即l从 小变大,同理可知M从C到Q,l从大变小;M从Q到A,l从小变大;M从A到R,l从大变小;M从R到B1,l 从小变大;M从B1到P,l从大变小.故选D.,2.(2019河南郑州模拟,7)某电动汽车“行车数据”的两次记录如表:,(注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的 电量,平均耗电量= ,剩余续航里程= ) 下面对该车在两次记录时间段内行驶100千米的耗电量估计正确的是 ( ) A.等于12.5 B.在12.5到12.6之间 C.等于12.6 D.大于12.6,答案 D 4 1000.126-4 0000.125=516.6-500=16.6.故选D.,3.(2019湖北荆门模拟,8)复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算作 本金,再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1 000元,存入银行,年利率为2.25%,若放入微信零 钱通或者支付宝的余额宝,年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年,可以多 获利息 ( ) (参考数据:1.022 54=1.093,1.022 55=1.118,1.040 15=1.217) A.176元 B.104.5元 C.77元 D.88元,答案 B 将1 000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝,选择复利的计算方法,则存满5 年后的本息和为1 0001.040 15=1 217元,故共得利息1 217-1 000=217元.将1 000元存入银行,不 选择复利的计算方法,则存满5年后的利息为1 0000.022 55=112.5元,故可以多获利息217-112.5=104.5元.故选B.,4.(2018湖北荆州一模,19)某市环保研究所对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发 现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)= + ,x0,24,其中a 是与气象有关的参数,且a . (1)令t(x)= ,x0,24,求t(x)的最值; (2)若用每天的f(x)的最大值作为当天的综合污染指数,市政府规定:每天的综合污染指数不得 超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标?,解析 (1)由t(x)= ,x0,24, 得t(x)= = ,x0,24, 令t(x)0,得(x+2)(x-2)0,则x2, t(x)在0,2上递增,在(2,+)上递减,又t(0)=0,t(2)= ,t+时,t(x)0, t(x)min=t(0)=0;t(x)max=t(2)= . (2)令t= ,则由x0,24,得t , 令g(t)=f(x)=t|t-a|+ ,t , 则g(t)= g(t)在 和 上递增,在 上递减,且g = + ,g =1- , g -g = + - , 令 + - 0,得 -1a ; 令 + - 0,得0a -1, f(x)max= f(x)max1, 目前市中心的综合污染指数没有超标.,考点二 函数的综合应用 1.(2018河北石家庄一模,12)已知M是函数f(x)=|2x-3|-8sin x(xR)的所有零点之和,则M的值为 ( ) A.3 B.6 C.9 D.12,答案 D 令f(x)=0,可得8sin x=|2x-3|,作出y=8sin x和y=|2x-3|的函数图象如图所示: 由图象可知两函数图象有8个交点,且两函数图象均关于直线x= 对称,f(x)的8个零点之和为 24=12.故选D.,2.(2019福建漳州模拟,16)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图 是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给 出定义:能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”,给出 下列命题: 对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个; 函数f(x)=ln(x2+ )可以是某个圆的“优美函数”; 函数y=1+sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”; 函数y=2x+1可以同时是无数个圆的“优美函数”; 函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形. 其中正确的命题是 .,答案 ,解析 对于任意一个圆O,其对称轴有无数条,所以其“优美函数”有无数个,正确;函数 f(x)=ln(x2+ )的定义域为R,值域为0,+),其图象关于y轴对称,且在x轴及其上方,故不可 以是某个圆的“优美函数”,错误;根据y=sin x的图象可知函数y=1+sin x的图象可以将圆 的周长和面积平分,又y=1+sin x的图象可以延伸,所以可以同时是无数个圆的“优美函数”, 正确;函数y=2x+1的图象只要过圆心,就可以同时是无数个圆的“优美函数”,正确;错 误,有些中心对称图形对应的函数不一定是圆的“优美函数”,比如“双曲线”,故答案为 .,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:20分钟 分值:20分 选择题(每题5分,共20分) 1.(2018安徽淮北一模,10)函数f(x)在定义域R内可导,若f(1+x)=f(3-x),且当x(-,2)时,(x-2)f (x) bc B.cab C.cba D.bca,答案 C f(1+x)=f(3-x),函数f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=f(1). 当x(-,2)时,(x-2)f (x)0,此时f(x)单调递增,0 1,f(0)f f(1)=f(3),即abc,故选C. 方法指导 利用导数的符号确定函数的单调性,结合函数图象的对称性比较大小.,2.(2018安徽淮南一模,10)已知函数f(x)= -|log3(x-1)|有两个零点x1,x2,则( ) A.x1x2x1+x2,答案 A 作出y= 与y=|log3(x-1)|的图象,如图,可知函数f(x)的零点是两图象交点的横坐标, 不妨设x1x2,由图可以得到1x12x2,则由f(x1)= -|log3(x1-1)|=0, f(x2)= -|log3(x2-1)|=0,得 -log3(x1-1)= ,log3(x2-1)= ,两式相减得log3(x2-1)+log3(x1-1)= - 0, 即log3(x2-1)+log3(x1-1)0,故(x2-1)(x1-1)1,得x1x2x1+x2