（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.1直线方程与圆的方程课件.pptx

第九章 直线和圆的方程 9.1 直线方程与圆的方程,高考理数 (课标专用),1.(2016课标,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( ) A.- B.- C. D.2,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为 =1,解得a=- .故选A. 思路分析 将圆的方程化成标准方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出 关于a的方程,解方程即可求得a的值.,2.(2015课标,14,5分)一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆 的标准方程为 .,答案 +y2=,解析 由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分 线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x= ,所以圆心坐标为 ,则半径r=4- = .故该圆的标准方程 为 +y2= . 思路分析 由已知条件和椭圆的方程分析出圆所经过的顶点的坐标,然后求出圆心坐标,进一 步求出圆的半径,从而得到圆的标准方程. 解题关键 利用圆的几何性质求出圆心坐标是解题的关键.,3.(2018课标,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两 点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.,解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0), 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. =16k2+160,故x1+x2= . 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)= . 由题设知 =8,解得k=-1(舍去),或k=1, 因此l的方程为y=x-1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得 或 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重,利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.,4.(2017课标,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.,解析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系. (1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2. 由 可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4. 又x1= ,x2= ,故x1x2= =4. 因此OA的斜率与OB的斜率之积为 = =-1, 所以OAOB. 故坐标原点O在圆M上. (2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圆心M的坐标为(m2+2,m), 圆M的半径r= . 由于圆M过点P(4,-2),因此 =0, 故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.,由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4. 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=- . 当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为 ,圆M的方程为(x-3)2+(y -1)2=10. 当m=- 时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为 ,圆M的半径为 ,圆M的方程为 + = . 解后反思 直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与 系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表 示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 1.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A (-2,-1),则m= ,r= .,答案 -2;,解析 本题考查直线与圆的位置关系,两条直线的垂直关系等知识点.通过圆的切线的性质考 查学生的直观想象能力,考查学生的数学运算的核心素养. 设直线2x-y+3=0为l,则ACl,又kl=2, kAC= =- ,解得m=-2,C(0,-2), r=|AC|= = . 一题多解 由题知点C到直线的距离为 , r=|AC|= . 由直线与圆C相切得 = ,解得m=-2, r= = .,2.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60= 0及其上一点A(2,4). (1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程; (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程; (3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得 + = ,求实数t的取值范围.,解析 圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25, 所以圆心M(6,7),半径为5. (1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0). 因为圆N与x轴相切,与圆M外切, 所以0y07, 于是圆N的半径为y0, 从而7-y0=5+y0,解得y0=1. 因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1. (2)因为直线lOA,所以直线l的斜率为 =2. 设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0, 则圆心M到直线l的距离 d= = . 因为BC=OA= =2 ,而MC2=d2+ ,所以25= +5, 解得m=5或m=-15. 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设P(x1,y1),Q(x2,y2). 因为A(2,4),T(t,0), + = , 所以 因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25. 将代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25. 于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆x-(t+4)2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5 5+5, 解得2-2 t2+2 . 因此,实数t的取值范围是2-2 ,2+2 .,考点一 直线方程 1.(2019豫南豫北精英对抗赛,5)直线ax+y+3a-1=0恒过定点N,则直线2x+3y-6=0关于点N对称的 直线方程为 ( ) A.2x+3y-12=0 B.2x+3y+12=0 C.2x-3y+12=0 D.2x-3y-12=0,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 B 由ax+y+3a-1=0可得a(x+3)+y-1=0, 令 可得x=-3,y=1,N(-3,1). 设直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为2x+3y+c=0(c-6). 则 = ,解得c=12或c=-6(舍去). 所求直线方程为2x+3y+12=0,故选B.,2.(2018湖北四地七校联考,6)已知函数f(x)=asin x-bcos x(a0,b0),若f =f ,则直 线ax-by+c=0的倾斜角为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由f =f 知函数f(x)的图象关于直线x= 对称,所以f(0)=f ,所以a=-b, 由直线ax-by+c=0知其斜率k= =-1,所以直线的倾斜角为 ,故选D.,3.(2019江西南昌重点中学2月联考,14)已知直线l1:y=2x,则过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心且与直 线l1垂直的直线l2的方程为 .,答案 x+2y-3=0,解析 由题意可知圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆的圆心坐标为(-1,2),由已知得直线l2 的斜率k=- ,所以直线l2的方程为y-2=- (x+1),即x+2y-3=0.,4.(2017豫北重点中学4月联考,14)已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点A(1,3)到直线l的距 离为 ,则直线l的方程为 .,答案 y=-7x或y=x或x+y-2=0或x+y-6=0,解析 当直线过原点时,设直线方程为y=kx,由点A(1,3)到直线l的距离为 ,得 = ,解 得k=-7或k=1,此时直线l的方程为y=-7x或y=x;当直线不过原点时,设直线方程为x+y=a,由点A(1, 3)到直线l的距离为 ,得 = ,解得a=2或a=6,此时直线l的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.综 上所述,直线l的方程为y=-7x或y=x或x+y-2=0或x+y-6=0.,考点二 圆的方程 1.(2019河北九校第二次联考,4)圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相 切,则圆C的方程为 ( ) A.x2-y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2-4x=0 D.x2+y2+2x-3=0,答案 C 由题意设所求圆的方程为(x-m)2+y2=4(m0),则 =2,解得m=2或m=- (舍去), 故所求圆的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,故选C.,2.(2019豫西五校联考,7)在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线x-by+2b+1=0相切 的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 ( ) A.x2+(y-1)2=4 B.x2+(y-1)2=2 C.x2+(y-1)2=8 D.x2+(y-1)2=16,答案 B 解法一:由题意可得圆心(0,1)到直线x-by+2b+1=0的距离d= = = ,当且仅当b=1时取等号.所以半径最大的圆的半径r= ,此时圆的标准方程为x2+ (y-1)2=2,故选B. 解法二:由直线x-by+2b+1=0可得该直线过定点A(-1,2),设圆心为B(0,1),由题意可知要使所求圆 的半径最大,则rmax=|AB|= = ,所以半径最大的圆的标准方程为x2+(y-1)2=2,故 选B.,3.(2017豫北名校4月联考,4)圆(x-2)2+y2=4关于直线y= x对称的圆的方程是 ( ) A.(x- )2+(y-1)2=4 B.(x- )2+(y- )2=4 C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y- )2=4,答案 D 设圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)关于直线y= x对称的点的坐标为(a,b),则有 解得a=1,b= ,从而所求圆的方程为(x-1)2+(y- )2=4.故选D.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:45分钟 分值:50分 一、选择题(每题5分,共15分),1.(2019广东佛山一中期末,5)若k ,方程x2+y2+(k-1)x+2ky+k=0不表示圆,则k的取值 集合中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 A 方程x2+y2+(k-1)x+2ky+k=0表示圆的条件为(k-1)2+(2k)2-4k0,即5k2-6k+10,解得k1 或k0,熟练运用该条件是解决 本题的关键,本题也可从反向入手,利用D2+E2-4F0进行求解.,2.(2019湖南长沙长郡中学月考,5)已知点(-1,2)和 在直线l:ax-y+1=0(a0)的同侧,则直 线l的倾斜角的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 因为点(-1,2)和 在直线l:ax-y+1=0(a0)的同侧,所以(-a-2+1) 0, 即(a+1)(a+ )0,所以- a-1,又知直线l的斜率k=a,即- k-1,又因为直线倾斜角范围是 0,),所以直线l的倾斜角的取值范围为 ,故选D. 名师点拨 已知倾斜角的范围,求斜率k的范围,实质上是求k=tan 的值域;已知斜率k的范围, 求倾斜角的范围,实质上是在0,)上求解关于正切函数的三角不等式问题,k=tan 在0,)上不 单调,所以可借助函数图象来解决此类问题.,3.(2019河南中原名校联盟第三次联考,9)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C 交于A,B两点,若|AB|=2 ,则直线l的方程为 ( ) A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0 B.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0 C.4x-3y+9=0或x=0 D.3x+4y-12=0或x=0,答案 D 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,由 得 或 |AB|=2 ,符合题意. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,由已知可得圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4,其 圆心为C(1,1),半径r=2,圆心C(1,1)到直线kx-y+3=0的距离d= = ,d2=r2- , =4- ,即(k+2)2=k2+1,解得k=- ,直线l的方程为y=- x+3,即3x+4y-12= 0.综上,满足题意的直线l的方程为x=0或3x+4y-12=0,故选D. 思路分析 当直线l的斜率不存在时,经检验符合题意,当直线l的斜率存在时,设出直线l的方 程,求出圆心到直线l的距离d,利用d2=r2- 求得直线l的斜率,从而得出直线l的方程.,二、填空题(每题5分,共10分) 4.(2019豫北名校2月期初调研,14)直线l过点P(6,4),且分别与两坐标轴的正半轴交于A,B两点, 当ABO的面积最小时,直线l的方程为 .,答案 2x+3y-24=0,解析 设直线l的方程为y-4=k(x-6)(k0),不妨设A ,B(0,4-6k),由题意知k0,- 0,-18k- 2 =24,当 且仅当-18k=- ,即k2= ,也即k=- 时取得等号,所以ABO的面积的最小值为48,此时直线l的 方程为y-4=- (x-6),即2x+3y-24=0.,5.(2017山西运城二模,15)已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为 ,且 圆C被x轴分成的两段弧长之比为31,则圆C的方程为 .,答案 (x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2,解析 设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则点C到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.由题意可知 或 故所求圆C的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2. 思路分析 设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,根据已知条件构建关于a、b、r的方程组,解方程组 求出基本量,得圆C的方程.,三、解答题(共25分) 6.(2018广东深圳3月联考,19)如图,直角三角形ABC的顶点A的坐标为(-2,0),直角顶点B的坐标 为(0,-2 ),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点. (1)求BC边所在直线方程; (2)若M为直角三角形ABC外接圆的圆心,求圆M的方程; (3)在(2)的条件下,若动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心的轨迹方程.,解析 (1)易知kAB=- ,ABBC, kCB= , BC边所在直线方程为y= x-2 . (2)由(1)及题意得C(4,0), M(1,0), 又AM=3, 外接圆M的方程为(x-1)2+y2=9. (3)圆N过点P(-1,0),PN是动圆的半径, 又动圆N与圆M内切, MN=3-PN,即MN+PN=3, 点N的轨迹是以M,P为焦点,长轴长为3的椭圆. P(-1,0),M(1,0), a= ,c=1,b= = ,所求轨迹方程为 + =1,即 + =1. 思路分析 (1)由kAB=- ,ABBC,知kBC= ,再根据点B的坐标可求BC边所在直线的方程;(2) 由(1)中的方程,令y=0,得C(4,0),从而得圆心坐标与半径,进而得出圆M的方程;(3)利用两圆内切 得MN+PN=3,利用椭圆定义得点N的轨迹,从而得轨迹方程. 方法点拨 求解直线方程或圆的方程,常用方法为待定系数法和定义法,但应注意方程的选择. 同时涉及直线的斜率时,要注意对存在性的讨论.,7.(2018山西长治二中等六校3月联考,20)已知圆C经过点A ,B ,直线x=0平分 圆C,直线l与圆C相切,与圆C1:x2+y2=1相交于P,Q两点,且满足OPOQ. (1)求圆C的方程; (2)求直线l的方程.,解析 (1)依题意知圆心C在y轴上,可设圆心C的坐标为(0,b),圆C的方程