（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质课件.pptx

第十章 圆锥曲线 10.1 椭圆及其性质,高考理数 (课标专用),考点一 椭圆的定义和标准方程,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2019课标,10,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2| =2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 ( ) A. +y2=1 B. + =1 C. + =1 D. + =1,答案 B 本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用,考查学生的运算求解能 力,考查了方程的思想方法,体现的核心素养是数学运算,具有很好的创新性. 设|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x, |BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x, 由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x. 在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|F1F2|cosBF2F1,即9x2=x2+22-4xcosBF2F1,在AF1F2中,由余弦定理可得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|F1F2|cosAF2F1,即4x2=4x2+22+8x cosBF2F1, 由得x= ,所以2a=4x=2 ,a= ,所以b2=a2-c2=2. 所以椭圆的方程为 + =1.故选B. 思路分析 由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义,通过解三角形建立方程求a的值,而b2=a2-1, 故可得椭圆的方程. 疑难突破 利用余弦定理灵活解三角形是突破口.灵活利用椭圆的定义是解题的关键.,2.(2019课标,15,5分)设F1,F2为椭圆C: + =1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若 MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为 .,答案 (3, ),解析 本题考查椭圆的定义与几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合的思想方法; 考查了数学运算的核心素养. 不妨设F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,由M点在第一象限,MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2|, 又由椭圆方程 + =1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=26=12, 所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4. 设M(x0,y0)(x00,y00), 则 解得x0=3,y0= ,即M(3, ). 一题多解 依题意得|F1F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,cosMF1F2= = ,则tanMF1F2= . 所以直线MF1的方程为y-0= (x+4). 设M(6cos ,2 sin ),因为M点在直线MF1上, 所以2 sin = (6cos +4),结合sin2+cos2=1且sin 0,cos 0得cos = ,sin = ,即M点的坐标为(3, ).,考点二 椭圆的几何性质,1.(2018课标,12,5分)已知F1,F2是椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P 在过A且斜率为 的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 本题考查直线方程和椭圆的几何性质. 由题意易知直线AP的方程为y= (x+a), 直线PF2的方程为y= (x-c). 联立得y= (a+c), 如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH= (a+c).,所以sin 60= = = , 即a+c=5c,即a=4c, 所以e= = .故选D. 解题关键 通过解三角形得到a与c的等量关系是解题的关键.,因为PF2H=60,PF2=F1F2=2c,PH= (a+c),2.(2017课标,10,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为 直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 本题考查椭圆的性质,直线与圆的位置关系. 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切, =a,即2b= , a2=3b2,a2=b2+c2, = ,e= = . 方法技巧 椭圆离心率的求法: (1)定义法:根据条件求出a,c,直接利用公式e= 求解. (2)方程法:根据已知条件建立关于a,b,c的齐次式,然后转化为关于e的方程求解.注意要根据e的 范围取舍方程的解.,3.(2016课标,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: + =1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的 左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线 BM经过OE的中点,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=k(x+a),当x=-c 时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c),E(0,ka).如图,设OE的中点为N,则N ,由于B,M, N三点共线,所以kBN=kBM,即 = ,所以 = ,即a=3c,所以e= .故选A.,思路分析 根据题意设出过点A的直线l的方程,从而求出点M和点E的坐标,进一步写出线段 OE中点的坐标,利用三点共线建立关于a,c的方程,得到a,c的关系式,从而求出椭圆的离心率.求 解本题的关键在于写出各对应点的坐标,难点在于参数的选择. 方法点拨 求解圆锥曲线的离心率问题的关键是要通过其几何性质找到a,c所满足的关系式, 从而利用e= 求得离心率.,1.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E: + =1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的 直线的距离为 c. (1)求椭圆E的离心率; (2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2= 的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 椭圆的定义和标准方程,解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O到该直线的距离d= = , 由d= c,得a=2b=2 ,可得离心率 = . (2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|= . 易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=- , x1x2= . 由x1+x2=-4,得- =-4, 解得k= .,从而x1x2=8-2b2. 于是|AB|= |x1-x2| = = . 由|AB|= ,得 = ,解得b2=3. 故椭圆E的方程为 + =1. 解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. 依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|= . 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 +4 =4b2, +4 =4b2, 两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得 -4(x1-x2)+8(y1-y2)=0, 易知AB与x轴不垂直,则x1x2,所以AB的斜率kAB= = . 因此直线AB的方程为y= (x+2)+1, 代入得x2+4x+8-2b2=0. 所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2. 于是|AB|= |x1-x2| = = . 由|AB|= ,得 = , 解得b2=3. 故椭圆E的方程为 + =1. 解题关键 对于第(2)问,利用弦长及韦达定理或点差法构造关于参数的方程是解题的关键.,2.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为 + =1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0), 点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 . (1)求E的离心率e; (2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ,求E的方 程.,解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为 , 又kOM= ,从而 = . 进而得a= b,c= =2b.故e= = . (2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为 + =1,点N的坐标为 . 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为 ,则线段NS的中点T的坐标为 . 又点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有 解得b=3. 所以a=3 ,故椭圆E的方程为 + =1. 评析 本题考查椭圆的方程、几何性质以及对称问题,利用方程思想解决点关于直线的对,称问题,考查利用待定系数法求椭圆的方程,考查学生的运算求解能力和化归思想的应用.,考点二 椭圆的几何性质,1.(2019北京,4,5分)已知椭圆 + =1(ab0)的离心率为 ,则 ( ) A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b,答案 B 本题考查椭圆的标准方程及离心率;通过椭圆的几何性质考查学生的理解与运算 能力;考查的核心素养是数学运算. 由题意知 =e2= , 整理得3a2=4b2,故选B. 易错警示 椭圆与双曲线中a、b、c关系的区别: (1)椭圆:b2+c2=a2;(2)双曲线:c2=a2+b2.,2.(2017浙江,2,4分)椭圆 + =1的离心率是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题考查椭圆的标准方程和几何性质. 由题意得,a=3,c= ,离心率e= = .故选B. 易错警示 1.把椭圆和双曲线中的a,b,c之间的关系式记混,而错选A.,2.把离心率记成e= 或e= ,而错选C或D.,3.(2018北京,14,5分)已知椭圆M: + =1(ab0),双曲线N: - =1.若双曲线N的两条渐近 线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;双曲线N的离心率为 .,答案 -1;2,解析 本题考查椭圆与双曲线的几何性质. 解法一:如图是一个正六边形,A,B,C,D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点,F1,F2为椭 圆M的两个焦点. 直线AC是双曲线N的一条渐近线,且其方程为y= x, = .设m=k,则n= k,则双曲线N的离心率e2= =2. 连接F1C,在正六边形ABF2CDF1中,可得F1CF2=90,CF1F2=30. 设椭圆的焦距为2c,则|CF2|=c,|CF1|= c,再由椭圆的定义得|CF1|+|CF2|=2a,即( +1)c=2a,椭 圆M的离心率e1= = = = -1.,解法二:双曲线N的离心率同解法一.由题意可得C点坐标为 ,代入椭圆M的方程,并结 合a,b,c的关系,联立得方程组 解得 = -1 . 方法总结 求椭圆和双曲线的离心率的关键是通过其几何性质找到a,c所满足的关系式,从而 求出c与a的比值,即得离心率.,4.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(ab0)的焦点为F1(-1,0), F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接 AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1= . (1)求椭圆C的标准方程; (2)求点E的坐标.,解析 本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭 圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. (1)设椭圆C的焦距为2c. 因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1. 又因为DF1= ,AF2x轴,所以DF2= = = . 因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2. 由b2=a2-c2,得b2=3. 因此,椭圆C的标准方程为 + =1. (2)解法一:由(1)知,椭圆C: + =1,a=2. 因为AF2x轴,所以点A的横坐标为1. 将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4. 因为点A在x轴上方,所以A(1,4). 又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.,由 得5x2+6x-11=0, 解得x=1或x=- . 将x=- 代入y=2x+2,得y=- . 因此B . 又F2(1,0),所以直线BF2:y= (x-1). 由 得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x= . 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1. 将x=-1代入y= (x-1),得y=- . 因此E . 解法二:由(1)知,椭圆C: + =1.,如图,连接EF1. 因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB, 从而BF1E=B. 因为F2A=F2B,所以A=B. 所以A=BF1E,从而EF1F2A. 因为AF2x轴,所以EF1x轴. 因为F1(-1,0),由 解得y= . 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=- . 因此E .,C组 教师专用题组 考点一 椭圆的定义和标准方程,1.(2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为 ,过F2 的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4 ,则C的方程为 ( ) A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1,答案 A 由题意及椭圆的定义知4a=4 ,则a= ,又 = = ,c=1,b2=2,C的方程为 + =1,选A.,2.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+ =1(0b1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆 E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2x轴,则椭圆E的方程为 .,答案 x2+ y2=1,解析 不妨设点A在第一象限,AF2x轴,A(c,b2)(其中c2=1-b2,00). 由|AF1|=3|F1B|,得 =3 , 进而可得B , 代入x2+ =1得 + =1, 又c2=1-b2,b2= . 故椭圆E的方程为x2+ y2=1.,3.(2011课标,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率 为 .过F1的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为 .,答案 + =1,解析 设椭圆方程为 + =1(ab0), 因为AB过F1且A、B在椭圆上, 如图,则ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2| =|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2| =4a=16, a=4. 又离心率e= = , c=2 , b2=a2-c2=8, 椭圆C的方程为 + =1.,失分警示 本题易将a求出后当成a2,从而得出错误方程 + =1等. 评析 本题主要考查椭圆的定义和标准方程,以及离心率,属中等难度题.,4.(2016四川,20,13分)已知椭圆E: + =1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角 形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T. (1)求椭圆E的方程及点T的坐标; (2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存 在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求的值.,解析 (1)由已知得,a= b, 则椭圆E的方程为 + =1. 由方程组 得3x2-12x+(18-2b2)=0. 方程的判别式为=24(b2-3),由=0,得b2=3, 此时方程的解为x=2, 所以椭圆E的方程为 + =1. 点T坐标为(2,1). (2)由已知可设直线l的方程为y= x+m(m0), 由方程组 可得 所以P点坐标为 ,|PT|2= m2.,设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2). 由方程组 可得3x2+4mx+(4m2-12)=0. 方程的判别式为=16(9-2m2), 由0,解得- m . 由得x1+x2=- ,x1x2= .所以|PA|= = , 同理|PB|= . 所以|PA|PB|= = = = m2.,故存在常数= ,使得|PT|2=|PA|PB|.,方法总结 一般地,解直线与圆锥曲线相交的问题时,常常是联立方程转化为关于x(或y)的一 元二次方程,注意0,再结合根与系数的关系进行解题. 评析 本题考查了直线与圆锥曲线相交的问题,解这类题常用方程的思想方法,并结合根与系 数的关系,两点间距离公式,难点是运算量比较大,注意运算技巧.,5.(2015福建,18,13分)已知椭圆E: + =1(ab0)过点(0, ),且离心率e= . (1)求椭圆E的方程; (2)设直线l:x=my-1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置 关系,并说明理由.,解析 (1)由已知得 解得 所以椭圆E的方程为 + =1. (2)解法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0). 由 得(m2+2)y2-2my-3=0, 所以y1+y2= ,y1y2=- , 从而y0= . 所以|GH|2= + = + =(m2+1) + my0+ . = = = =(1+m2)( -y1y2),故|GH|2- = my0+(1+m2)y1y2+ = - + = 0, 所以|GH| . 故点G 在以AB为直径的圆外. 解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则 = , = . 由 得(m2+2)y2-2my-3=0, 所以y1+y2= ,y1y2=- , 从而 = +y1y2 = +y1y2 =(m2+1)y1y2+ m(y1+y2)+,= + + = 0, 所以cos0.又 , 不共线,所以AGB为锐角. 故点G 在以AB为直径的圆外. 评析 本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运 算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.,1.(2012课标,4,5分)设F1,F2是椭圆E: + =1(ab0)的左,右焦点,P为直线x= 上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为 ( ) A. B. C. D.,考点二 椭圆的几何性质,答案 C 设直线x= a与x轴交于点Q,由题意得PF2Q=60,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|= a-c, a- c= 2c,则e= = ,故选C. 评析 本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要.,2.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆 +y2=1(a1). (1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示); (2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.,解析 (1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP, 由 得(1+a2k2)x2+2a2kx=0, 故x1=0,x2=- . 因此|AP|= |x1-x2|= . (2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|= |AQ|. 记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2. 由(1)知,|AP|= ,|AQ|= , 故 = , 所以( - )1+ + +a2(2-a2) =0. 由于k1k2,k1,k20得1+ + +a2(2-a2) =0,因此 =1+a2(a2-2), 因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1,所以a . 因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a , 由e= = 得,所求离心率的取值范围为0e . 评析 本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几 何的基本思想方法和综合解题能力.,3.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆 + =1(ab0)的 左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另 一点C,连接F1C. (1)若点C的坐标为 ,且BF2= ,求椭圆的方程; (2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.,解析 设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为B(0,b),所以BF2= =a. 又BF2= ,故a= . 因为点C 在椭圆上, 所以 + =1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为 +y2=1. (2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上, 所以直线AB的方程为 + =1. 解方程组 得 所以点A的坐标为 . 又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为 .,因为直线F1C的斜率为 = ,直线AB的斜率为- ,且F1CAB,所以 =-1.结合b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2= .因此e= .,4.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆 于P,Q两点,且PQPF1. (1)若|PF1|=2+ ,|PF2|=2- ,求椭圆的标准方程; (2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.,解析 (1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+ )+(2- )=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,得2c=|F1F2|= = =2 , 即c= ,从而b= =1. 故所求椭圆的标准方程为 +y2=1. (2)解法一:连接F1Q,如图,设P(x0,y0),因为点P在椭圆上,且PF1PF2, 所以 + =1, + =c2, 求得x0= ,y0= . 由|PF1|=|PQ|PF2|得x00,从而|PF1|2= + =2(a2-b2)+2a =(a+ )2. 由PF1PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|= |PF1|. 因此(2+ )|PF1|=4a, 即(2+ )(a+ )=4a, 于是(2+ )(1+ )=4, 解得e= = - . 解法二:连接F1Q,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|, 有|QF1|=4a-2|PF1|. 又由PF1PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|= |PF1|, 因此,4a-2|PF1|= |PF1|,得|PF1|=2(2- )a, 从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2- )a=2( -1)a.,由PF1PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2, 因此e= = = = = - .,考点一 椭圆的定义和标准方程 1.(2019豫东豫北十校4月联考,8)椭圆C: +y2=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异 于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为2 ,则 PF1F2的周长是 ( ) A.2( + ) B.4+2 C. + D. +2,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 A 由于O,M,N分别为F1F2,PF1,PF2的中点,所以OMPF2,ONPF1,所以四边形OMPN 为平行四边形,且|OM|= |PF2|,|ON|= |PF1|,所以OMPN的周长为2(|OM|+|ON|)=|PF1|+|PF2|=2a =2 ,所以a= ,又知a2=b2+c2,b2=1,所以c2=a2-1=2,所以|F1F2|=2c=2 ,所以PF1F2的周长为2a +2c=2 +2 =2( + ),故选A.,2.(2018湖北重点中学4月联考,7)已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F1、F2,过F2且垂直于 长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为 ( ) A. B.1 C. D.,答案 D 不妨设A点在B点上方,由题意知:F2(1,0),将F2的横坐标代入椭圆方程 + =1中,可 得A点纵坐标为 ,故|AB|=3,所以内切圆半径r= = = (其中S为ABF1的面积,C为ABF1的 周长).故选D. 一题多解 由椭圆的通径公式得|AB|= =3,则 = 23=3,又易得ABF1的周长C=4a=8, 则由 = Cr可得r= .故选D.,3.(2019湖南岳阳调研,15)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2, )是椭圆上一点,且 |PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为 .,答案 + =1,解析 椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,可设椭圆方程为 + =1(ab0).P(2, )是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列, 又知a2=b2+c2,解得 所 求椭圆方程为 + =1.,4.(2019河北九校3月联考,14)设F1,F2是椭圆C: + =1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一 点,且PF1PF2,若PF1F2的面积为9,周长为18,则椭圆C的方程为 .,答案 + =1,解析 PF1PF2,PF1F2为直角三角形,又知PF1F2的面积为9, |PF1|PF2|=9,得|PF1| |PF2|=18.在RtPF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,(|PF1| +|PF2|)2-2|PF1|PF2|=|F1F2|2,即4a2-36=4c2,a2-c2=9,即b2=9,又知b0,b=3,又知PF1F2的周长为 18,2a+2c=18,即a+c=9,又知a2-c2=9,a-c=1,由得a=5,c=4,所求的椭圆方程为 + =1.,1.(2019福建3月质检,9)设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P, Q两点.若PF1F2为直角三角形,则E的离心率为 ( ) A. -1 B. C. D. +1,考点二 椭圆的几何性质,答案 A 不妨设椭圆E的方程为 + =1(ab0),如图所示,PF1F2为直角三角形,PF1 F1F2,又|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|=2 c,|PF1|+|PF2|=2c+2 c=2a,椭圆E的离心率e= = - 1.故选A.,2.(2019河北衡水中学五调,6)与椭圆 +y2=1有相同的焦点且与直线l:x-y+3=0相切的椭圆的离 心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 因为所求椭圆与椭圆 +y2=1有相同的焦点,所以可设所求椭圆的方程为 + =1(a1),联立得方程组 (2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4=0,因为直线l与椭圆相切,所以= 36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)=0,化简得a4-6a2+5=0,即a2=5或a2=1(舍).则a= .又c=1,所以e= = = .故选B.,3.(2019广东深圳二模,10)设点F1、F2分别为椭圆C: + =1的左、右焦点,点A、B分别为椭 圆C的右顶点和下顶点,且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2F1F2,则椭圆C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 由题意知A(a,0),B(0,-b),所以直线AB的方程为 + =1,即bx-ay-ab=0,设点F1(-c,0)关 于直线AB的对称点M的坐标为(x0,y0),则 解得x0= ,MF2 F1F2,x0=c,即 =c,2ab2+b2c-a2c=a2c+b2c,即b2=ac,又知b2=a2-c2,a2-c2=ac,两边同 时除以a2整理得e2+e-1=0,又知0e1,解得e= .故选C.,4.(2019江西南康中学第二次大联考,10)椭圆G: + =1(ab0)的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0), M是椭圆上的一点,且满足 =0.则椭圆离心率e的取值范围为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 设点M的坐标为(x0,y0), =0,F1(-c,0),F2(c,0),(x0+c)(x0-c)+ =0,即 + = c2,又知点M在椭圆G上, + =1, 由联立结合a2-b2=c2解得 = ,由椭圆的性质可得0 a2,即 即 所以c2b2,又知b2=a2-c2,c2a2-c2,即2c2a2,解得e2 ,又知0e1, e1,故 选D. 一题多解 椭圆G上存在点M使 =0,MF1MF2,即MF1F2是以M为直角顶点的直 角三角形,|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,椭圆的离心率e= = ,又知(|MF1|+|MF2|)2 2(|MF1|2+|MF2|2)=2|F1F2|2=8c2,|MF1|+|MF2|2 c,e= = ,当且仅当 |MF1|=|MF2|= c时,等号成立,又知0e1,e .故选D.,5.(2018湖南雅礼中学4月月考,14)已知F1、F2分别是椭圆 + =1的左、右焦点,动点P在椭 圆上,则|PF1|PF2|的最大值是 .,答案 25,解析 由椭圆方程可知F1(-4,0),F2(4,0),设P(x0,y0),则 + =1, =9 , 又|PF1|= ,|PF2|= , |PF1|PF2| = = = , 又x0-5,5, 0,25, |PF1|PF2|=25- 9,25, |PF1|PF2|的最大值为25.,一题多解 由椭圆的方程知a=5,b=3,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=10,|PF1|PF2| =52=25,当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立.|PF1|PF2|的最大值为25.,6.(2019安徽六安一中第二次模拟,14)已知椭圆 + =1,其中 ,则椭圆形状最 圆时的焦距为 .,答案 2,解析 因为 ,所以tan 0,且tan tan2+1,所以椭圆的焦点在y轴上,所以a2=tan2+1,b2 =tan ,所以离心率e= = = = ,当且仅当sin 2=1,即= 时等号成立,由椭圆的离心率定义可知,离心率越小,椭圆形状越圆,所以当= 时,椭圆形状最 圆,此时a2=2,b2=1,又知a2=b2+c2,所以c= =1,所以椭圆最圆时的焦距为2c=2.,7.(2019福建四地七校3月调研,19)已知椭圆E: + =1(ab0),若椭圆上一点与其中心及长轴 一个端点构成等腰直角三角形. (1)求椭圆E的离心率; (2)如图,若直线l与椭圆相交于A,B,且AB是圆(x-1)2+(y+1)2=5的一条直径,求椭圆E的标准方程.,解析 (1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为 ,代入椭圆方程可得 + =1,即a2=3b2, a2=3b2=3(a2-c2),2a2=3c2,e= . (4分) (2)由(1)得椭圆E的方程为 + =1,易知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-1)-1,A(x1,y1),B(x2, y2). (3k2+1)x2-6k(k+1)x+3(k+1)2-3b2=0(*). x1+x2= ,x1x2= . 又x1+x2=2,k= ,x1x2= , 则|AB|= = =2 , b2= ,则a2=10, 椭圆E的标准方程为 + =1. (12分),一、选择题(每题5分,共30分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：45分钟 分值：50分),1.(2019广东深圳红岭中学四模,9)在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆 + =1上的一个动点, 点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 D 易知B为椭圆的一个焦点,设椭圆的另一焦点为B,则B(0,1),如图,连接PB,AB,根据 椭圆的定义得|PB|+|PB|=2a=4,所以|PB|=4-|PB|,因此,|PA|+|PB|=|PA|+(4-|PB|)=4+|PA|-|PB|4+ |AB|=4+1=5,当且仅当点P在AB的延长线上时,等号成立,所以|PA|+|PB|的最大值为5,故选D. 思路分析 由椭圆方程得椭圆的焦点坐标,连PB,AB,根据椭圆的定义将|PA|+|PB|转化为4+ |PA|-|PB|,然后利用三角形边的性质及共线得出|PA|+|PB|的最大值. 解题关键 利用椭圆定义将|PA|+|PB|和的最大值转化为求|PA|-|PB|差的最大值是解决本题的 关键.,2.(2019河北武邑中学二模,12)设F,B分别为椭圆 + =1(ab0)的右焦点和上顶点,O为坐标 原点,C是直线y= x与椭圆在第一象限内的交点,若 + =( + ),则椭圆的离心率是 ( ) A. B. C. D. -1,答案 A 连接BF,联立椭圆 + =1(ab0)与直线y= x的方程,解得C .因此线段 OC的中点坐标为 . + =( + ),线段OC的中点在BF上,又直线BF的方 程为 + =1, + =1,所以 = = .故选A. 思路分析 联立椭圆与直线方程,可得C ,由 + =( + )得线段OC的中点在 BF上,即可得椭圆离心率. 解题关键 本题考查的知识点是椭圆的几何性质,其中求出C点的坐标是解答本题的关键.,3.(2019江西五校协作体4月联考,11)已知点F1,F2是椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点,P为椭 圆上的动点,动点Q满足 =| | |且| |=| |,其中 0, 0,若| |的最小值为 1,最大值为9,则椭圆的方程为 ( ) A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. +y2=1,答案 A 由 =| | |知点F1,P,Q共线,且 与 同向.由椭圆的定义知| |+| |= 2a,又| |=| |,所以| |+| |=| |=2a,所以动点Q在以F1为圆心,2a为半径的圆上.由平面几 何知识知当点P位于左顶点时,| |取得最大值a+c,当点P位于右顶点时,| |取得最小值a-c,所 以 解得 所以b=3,所以椭圆的方程为 + =1,故选A. 知识拓展 点P是椭圆 + =1(ab0)上任意一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,则|PF1|max=a+c, 此时点P在椭圆的右顶点,|PF1|min=a-c,此时点P在椭圆的左顶点.,4.(2019安徽宣城二模,12)已知F1,F2分别为椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点,点P是椭圆上 位于第二象限内的点,延长PF1交椭圆于点Q,若PF2PQ,且|PF2|=|PQ|,则椭圆的离心率为 ( ) A. - B. -1 C. - D.2-,答案 A 连接F2Q,由已知PF2PQ,且|PF2|=|PQ|,得F2PQ是等腰直角三角形,设|PF2|=m,|QF2| =n,由椭圆的定义得|PF1|=2a-m,|QF1|=2a-n,则有2a-m+2a-n=m,且n= m,m=2(2- )a. 在RtF1PF2中,由勾股定理得,m2+(2a-m)2=4c2,即2(2- )a2+2a-2(2- )a2=4c2,4(6-4 )a2+ (12-8 )a2=4c2,即(9-6 )a2=c2,从而e2= =9-6 ,又知0e1,e= - ,故选A.,5.(2018湖南师大附中4月模拟,10)设椭圆C: + =1(ab0)的右焦点为F,椭圆C上的两点A、 B关于原点对称,且满足 =0,|FB|FA|2|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. -1,1),答案 A 设椭圆左焦点为F,连接AF、BF.由椭圆的对称性可知,四边形AFBF为平行四边 形,又 =0,即FAFB,故平行四边形AFBF为矩形,所以|AB|=|FF|=2c. 设|AF|=n,|AF|=m,则在直角三角形AFF中,m+n=2a, m2+n2=4c2, 得mn=2b2, 得 + = , 令 =t,得t+ = . 又由|FB|FA|2|FB|得1 2, 则 =t1,2, t+ = , 又 = = ,则可得 e , 即离心率的取值范围是 .故选A.,思路分析 设椭圆左焦点为F,由对称性知四边形AFBF为平行四边形,由 =0知该平行 四边形为矩形,设|AF|=n,|AF|=m.由椭圆定义及勾股定理得mn=2b2,进而由m2+n2=4c2得 + = .再由|FB|FA|2|FB|得 的范围,从而利用相应函数的性质得出离心率的取值范围. 解题关键 根据题意构造关于离心率e的不等式是求解本题的关键.在解决椭圆有关问题时注 意定义的运用.,6.(2017河南4月质检,11)已知椭圆C: + =1(ab0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一 点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 解法一:|OA|=|OF2|=2|OM|,M在椭圆C的短轴上,设椭圆C的左焦点为F1,连接AF1, |OA|=|OF2|,|OA|= |F1F2|,AF1AF2,从而AF1F2OMF2, = = ,又|AF1|2+ |AF2|2=(2c)2,|AF1|= c,|AF2|= c,又|AF1|+|AF2|=2a, c=2a = .故选D. 解法二:|OA|=|OF2|=2|OM|,M在椭圆C的短轴上,在RtMOF2中,tanMF2O= = ,设椭 圆C的左焦点为F1,连接AF1,|OA|=|OF2|,|OA|= |F1F2|,AF1AF2,tanAF2F1= = , 设|AF1|=x(x0),则|AF2|=2x,所以|F1F2|= x,e= = = = ,故选D.,7.(2019河南南阳一中4月模拟,15)设M是椭圆C: + =1(ab0)上一点,以M为圆心的圆与x轴 相切,切点为椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于不同的两点P,Q,若PMQ为等边三角形,则椭圆C 的离心率为 .,二、填空题(每题5分,共5分),答案,解析 圆M与x轴相切于焦点F,不妨设M(c,y),又知点M在椭圆上,则有 + =1,解得y= ,圆M的半径r= ,若PMQ为等边三角形,则 =c,即 b2=2ac,又知b2=a2-c2, (a2- c2)=2ac,两边同时除以a2,整理得 e2+2e- =0,又0e1,e= ,即椭圆C的离心率为 . 思路分析 由圆M与x轴相切于焦点F得点M的坐标,从而得出圆M的半径,利用MPQ为等边 三角形建立a,b,c的关系式,从而得到关于离心率e的方程,结合范围求得结果.,8.(2019山西运城4月适应性测试,20)椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率 为 ,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l:y=kx+m是以坐标原点O为圆心, 为半径的圆的切线,且与椭圆C交于不同的两点 A,B,求AOB面积的最大值.,三、解答题(共15分),解析 (1)将x=-c代入椭圆方程 + =1,结合c2=a2-b2,得y= , (1分) 由题意知 =1, (2分) 又e= = , (3分) a=2,b=1.椭圆C的方程为 +y2=1. (5分) (2)设点A(x1,y1),B(x2,y2), 直线l:y=kx+m是以坐标原点O为圆心, 为半径的圆的切线, = ,即m2= (1+k2), (8分) 联立 消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, =16(1+4k2-m2)0, x1+x2= ,x1x2= , (10分),|AB|= |x1-x2|= = = = = , (12分) 16k2+ 2 =8,当且仅当k2= 时等号成立, (14分) |AB|max= , SOAB的最大值为 =1. (15分) 思路分析 (1)列关于a,b,c的方程(组)求解即可;(2)利用直线与圆相切得出m2与k2的关系,利用 根与系数的关系及弦长公式表示出|AB|,利用函数思想求出|AB|的最大值,从而可得SAOB的最大 值. 解题技巧 利用根与系数的关系进行整体运算是求解直线与圆锥曲线相交问题的常用技巧, 应熟练掌握并应用.,1.(2019广东七校4月联考,11)已知点P为椭圆 + =1上的动点,EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一直 径,则 的最大值和最小值分别是 ( ) A.16,12-4 B.17,13-4 C.19,12-4 D.20,13-4,C组 20172019年高考模拟应用创新题组,答案 C EF是圆N的直径,|NE|=|NF|=1,且 =- ,则 =( + )( + )=( + )( - )= - = -1,设P(x0,y0),则有 + =1,即 =16- ,又N(0,1),| |2= + (y0-1)2=- (y0+3)2+20,又y0-2 ,2 ,当y0=-3时,| |2取得最大值20,则( )max=20-1= 19.当y0=2 时,| |2取得最小值13-4 ,则( )min=12-4 .综上, 的最大值和最小 值分别为19,12-4 ,故选C. 解题关键 利用向量线性运算及向量的数量积将 转化为 -1,从而利用函数思想求 出 的取值范围是解决本题的关键.,2.(2019河南顶级名校第四次联考,12)设椭圆 + =1(ab0)长轴的端点分别为A,B.点C为椭 圆上异于A,B的一点,若将ABC的三内角记为A,B,C,且满足3tan A+3tan B+tan C=0,则椭圆的 离心率为 ( ) A. B. C.