（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第十六章坐标系与参数方程课件.pptx

第十六章 坐标系与参数方程,高考理数 (课标专用),考点一 极坐标方程,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2019课标,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 在极坐标系中,O为极点,点M(0,0)(00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂 足为P. (1)当0= 时,求0及l的极坐标方程; (2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.,解析 本题考查极坐标方程、曲线方程等知识,考查学生在极坐标系下的运算能力,体现了数 学运算的核心素养. (1)因为M(0,0)在C上,当0= 时,0=4sin =2 . 由已知得|OP|=|OA|cos =2. 设Q(,)为l上除P的任意一点. 在RtOPQ中,cos =|OP|=2. 经检验,点P 在曲线cos =2上. 所以,l的极坐标方程为cos =2. (2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos =4cos , 即=4cos . 因为P在线段OM上,且APOM, 故的取值范围是 .,所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos , . 思路分析 (1)将0= 代入=4sin 求得0.由0可求得|OP|,从而求得l的极坐标方程.(2)设点P (,),用,表示出RtAOP中的边角关系,从而求出P点轨迹的极坐标方程. 解题关键 熟练应用极坐标系中的,是解题关键.,2.(2019课标,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B ,C ,D(2,),弧 , , 所在圆的圆心分别是 (1,0), ,(1,),曲线M1是弧 ,曲线M2是弧 ,曲线M3是弧 . (1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程; (2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|= ,求P的极坐标.,解析 本题考查极坐标的概念,求极坐标方程等知识点,通过极坐标的应用考查学生的运算求 解能力,以求极坐标方程、求点的极坐标为背景考查数学运算的核心素养. (1)由题设可得,弧 , , 所在圆的极坐标方程分别为=2cos ,=2sin ,=-2cos . 所以M1的极坐标方程为=2cos ,M2的极坐标方程为=2sin ,M3的极坐 标方程为=-2cos . (2)设P(,),由题设及(1)知 若0 ,则2cos = ,解得= ; 若 ,则2sin = ,解得= 或= ; 若 ,则-2cos = ,解得= . 综上,P的极坐标为 或 或 或 .,3.(2018课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.,解析 (1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为 (x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两 个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以 =2,故k=- 或k=0,经检验,当k =0时,l1与C2没有公共点;当k=- 时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点. 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以 =2,故k=0或k= .经检验,当k= 0时,l1与C2没有公共点;当k= 时,l2与C2没有公共点. 综上,所求C1的方程为y=- |x|+2.,方法总结 极坐标方程与直角坐标方程的互化技巧 (1)巧用极坐标方程两边同乘或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有cos ,sin ,2的形 式,然后利用公式代入化简得到直角坐标方程. (2)巧借两角和差公式,转化成sin(+)或cos(+)的形式,进而利用互化公式得到直角坐标方 程. (3)将直角坐标方程中的x转化为cos ,将y转化为sin ,即可得到极坐标方程.,4.(2016课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数,a0). 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos . (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.,解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆. (3分) 将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0. (5分) (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 (6分) 若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2= 0,解得a=-1(舍去),或a=1. (8分) a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上. (9分) 所以a=1. (10分) 解后反思 将曲线的参数方程化成普通方程后,容易看出曲线所属的类型.,5.(2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极 点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为= (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.,解析 (1)因为x=cos ,y=sin ,所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos - 4sin +4=0. (5分) (2)将= 代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3 +4=0,解得1=2 ,2= ,故1-2= ,即|MN|= . 由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为 . (10分) 思路分析 (1)利用x=cos ,y=sin 求解; (2)将直线C3的极坐标方程代入圆C2的极坐标方程,通过解方程求出|MN|的值,再结合圆C2的半 径求C2MN的面积. 方法总结 直角坐标方程与极坐标方程的互化方法: 直角坐标方程 极坐标方程,6.(2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t为参数,t0),其中0.在 以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=2 cos . (1)求C2与C3交点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.,解析 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2 x=0. 联立 解得 或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和 . (2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其中0. 因此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(2 cos ,). 所以|AB|=|2sin -2 cos |=4 . 当= 时,|AB|取得最大值,最大值为4. 思路分析 (1)由互化公式把曲线C2,C3的极坐标方程化为直角坐标方程,联立方程求得交点的 直角坐标; (2)求出C1的极坐标方程,进而得点A,B的极坐标分别为(2sin ,),(2 cos ,),从而得出|AB|= |2sin -2 cos |,利用三角函数的相关知识可求其最大值.,解题关键 将|AB|表示成关于的函数是解第(2)问的关键.,1.(2019课标,22,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程 为 (t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标 方程为2cos + sin +11=0. (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值.,考点二 参数方程,解析 本题主要考查学生对椭圆的参数方程、直线的极坐标方程的掌握与运用,考查曲线的 参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的转化;考查学生的运算求解能力及化归与转化 思想;考查的核心素养是数学运算. (1)因为-1 1,且x2+ = + =1,所以C的直角坐标方程为x2+ =1(x-1). l的直角坐标方程为2x+ y+11=0. (2)由(1)可设C的参数方程为 (为参数,-).C上的点到l的距离为 = . 当=- 时,4cos +11取得最小值7, 故C上的点到l距离的最小值为 . 注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的 “求C和l的直角坐标方程”更改为“求C的普通方程和l的直角坐标方程”更合适.,思路分析 (1)通过平方相加消参可得曲线C的普通方程,利用x与t的关系得出x-1,利用x= cos ,y=sin 将l的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)借助椭圆的参数方程、点到直线的距离公式求椭圆上的点到直线l的距离的最小值. 失分警示 在第一问中,学生易对x-1这一条件考虑不周,从而导致失分.,2.(2018课标,22,10分)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为 (为参数),过点 (0,- )且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点. (1)求的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程.,解析 本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系. (1)O的直角坐标方程为x2+y2=1. 当= 时,l与O交于两点. 当 时,记tan =k,则l的方程为y=kx- .l与O交于两点当且仅当 1,即 或 . 综上,的取值范围是 . (2)l的参数方程为 . 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP= ,且tA,tB满足t2-2 tsin +1=0. 于是tA+tB=2 sin ,tP= sin . 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是,. 易错警示 容易忽略直线斜率不存在的情形. 求倾斜角时要注意斜率是否存在.求其取值范围的一般步骤: (1)求出斜率k=tan 的取值范围; (2)利用三角函数的单调性,借助图象,确定倾斜角的取值范围.,3.(2017课标,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为 (t为参数),直线l2的参 数方程为 (m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )- =0,M为l3与C的交 点,求M的极径.,解析 本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程. (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y= (x+2). 设P(x,y),由题设得 消去k得x2-y2=4(y0). 所以C的普通方程为x2-y2=4(y0). (2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(02,). 联立 得cos -sin =2(cos +sin ). 故tan =- ,从而cos2= ,sin2= . 代入2(cos2-sin2)=4得2=5,所以交点M的极径为 . 思路分析 (1)由参数方程直接消去参数t、m、k,即得C的普通方程.(2)将C的直角坐标方程化 为极坐标方程,与直线l3的参数方程联立,从而求得点M的极径. 方法总结 极坐标问题既可以化为直角坐标问题处理,也可以直接用极坐标求解.但要注意极,径、极角的取值范围,避免漏根或产生增根.,4.(2016课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (为参数).以坐 标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin =2 . (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.,解析 (1)C1的普通方程为 +y2=1. C2的直角坐标方程为x+y-4=0. (5分) (2)由题意,可设点P的直角坐标为( cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2 的距离d()的最小值,d()= = . (8分) 当且仅当=2k+ (kZ)时,d()取得最小值,最小值为 ,此时P的直角坐标为 . (10分) 思路分析 (1)对于C1的参数方程,利用sin2+cos2=1消去参数可得C1的普通方程,对于C2的极 坐标方程,由两角和的正弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得C2的直角坐标方程; (2)由C1的参数方程设出P点的直角坐标,利用点到直线的距离公式和三角函数的知识进行求 解. 方法总结 求与曲线上动点有关的最值时,常利用曲线的参数方程表示出曲线上的动点,从而 利用三角函数的知识求最值,这样可以极大简化运算过程. 评析 本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化关系以及参数方程的应用.考 查考生对基础知识和基本技能的应用能力.正确利用曲线的参数方程是求解第(2)问的关键.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 极坐标方程,1.(2018北京,10,5分)在极坐标系中,直线cos +sin =a(a0)与圆=2cos 相切,则a= .,答案 1+,解析 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化. 由 可将直线cos +sin =a化为x+y-a=0,将=2cos ,即2=2cos 化为x2+y2=2x,整 理成标准方程为(x-1)2+y2=1. 又直线与圆相切,圆心(1,0)到直线x+y-a=0的距离d= =1,解得a=1 ,a0,a=1+ . 方法总结 这种类型的题目的解法是先将极坐标方程化为直角坐标方程,然后用平面几何知 识求解.,2.(2017北京,11,5分)在极坐标系中,点A在圆2-2cos -4sin +4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP| 的最小值为 .,答案 1,解析 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化. 由2-2cos -4sin +4=0,得x2+y2-2x-4y+4=0, 即(x-1)2+(y-2)2=1, 圆心C(1,2),半径r=1, 结合图形可知|AP|的最小值为|PC|-r=2-1=1.,3.(2017天津,11,5分)在极坐标系中,直线4cos +1=0与圆=2sin 的公共点的个数为 .,答案 2,解析 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化以及直线与圆的位置关系. 由4cos +1=0,得4 +1=0,即2 cos +2sin +1=0,根据极坐标与直角 坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为2 x+2y+1=0,同理可得圆的直角坐标方程为x2+ (y-1)2=1,圆心(0,1)到直线的距离d= 1,所以直线与圆相交,因此直线与圆的公共点的个数为2. 易错警示 1.记错两角差的余弦公式而导致错误;,2.记错极坐标与直角坐标的互化公式,从而求错直线与圆的直角坐标方程,最终失分.,4.(2019江苏,21B,10分)选修44:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知两点A ,B ,直线l的方程为sin =3. (1)求A,B两点间的距离; (2)求点B到直线l的距离.,解析 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力. (1)设极点为O.在OAB中,A ,B , 由余弦定理,得AB= = . (2)因为直线l的方程为sin =3, 则直线l过点 ,倾斜角为 . 又B ,所以点B到直线l的距离为(3 - )sin =2.,5.(2018江苏,21C,10分)在极坐标系中,直线l的方程为sin =2,曲线C的方程为=4cos ,求 直线l被曲线C截得的弦长.,解析 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力. 因为曲线C的极坐标方程为=4cos , 所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆,因为直线l的极坐标方程为 sin =2,所以直线l过点(4,0),倾斜角为 , 设A(4,0),则A为直线l与圆C的一个交点. 设另一个交点为B,则OAB= . 连接OB,因为OA为直径,所以OBA= , 所以AB=4cos =2 .,因此,直线l被曲线C截得的弦长为2 . 一题多解 把直线和曲线的极坐标方程化成直角坐标方程得到l:x- y-4=0,C:x2+y2-4x=0,则C: (x-2)2+y2=4,半径R=2,圆心C(2,0)到l的距离d= =1,因此,直线l被曲线C截得的弦长为2 = 2 .,1.(2018天津,12,5分)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线 (t为参数)与该圆相交于A,B 两点,则ABC的面积为 .,考点二 参数方程,答案,解析 本题考查直线的参数方程和直线与圆的位置关系. 圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,消去参数t得直线的普通方程为x+y-2=0.圆心C(1,0)到直线的距 离d= = ,|AB|=2 = , 所以ABC的面积为 |AB|d= = . 方法总结 有关直线与圆相交的计算问题,通常利用点到直线的距离公式和勾股定理求解.,2.(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参数), 曲线C的参数方程为 (s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.,解析 本小题主要考查曲线的参数方程及互化等基础知识,考查运算求解能力. 直线l的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P在曲线C上,设P(2s2,2 s), 从而点P到直线l的距离d= = . 当s= 时,dmin= . 因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值 .,3.(2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参数), 椭圆C的参数方程为 (为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.,解析 椭圆C的普通方程为x2+ =1. 将直线l的参数方程 代入x2+ =1,得 + =1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=- . 所以AB=|t1-t2|= . 评析 本小题主要考查直线和椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及直线与椭 圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.,C组 教师专用题组 考点一 极坐标方程,1.(2016北京,11,5分)在极坐标系中,直线cos - sin -1=0与圆=2cos 交于A,B两点,则|AB|= .,答案 2,解析 直线与圆的直角坐标方程分别为x- y-1=0和x2+y2=2x,则该圆的圆心坐标为(1,0),半径r =1,圆心(1,0)到直线的距离d= =0,所以AB为该圆的直径,所以|AB|=2. 思路分析 将直线与圆的极坐标方程分别化为直角坐标方程后,计算圆心到直线AB的距离可 得直线AB经过圆心,从而可得AB即为直径. 评析 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线与圆的位置关系,属中等难度题.,2.(2015广东,14,5分)已知直线l的极坐标方程为2sin = ,点A的极坐标为A ,则 点A到直线l的距离为 .,答案,解析 将直线l的极坐标方程2sin = 化为直角坐标方程为x-y+1=0. 由A 得A点的直角坐标为(2,-2),从而点A到直线l的距离d= = .,3.(2015江苏,21C,10分)已知圆C的极坐标方程为2+2 sin -4=0,求圆C的半径.,解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系 xOy. 圆C的极坐标方程为2+2 -4=0, 化简,得2+2sin -2cos -4=0. 则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为 . 评析 本小题主要考查圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等基础知识,考查运算求 解能力.,4.(2013课标,23,10分)已知曲线C1的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2sin . (1)把C1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C1与C2交点的极坐标(0,02).,解析 (1)将 消去参数t,化成普通方程为(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 将 代入x2+y2-8x-10y+16=0得 2-8cos -10sin +16=0. 所以C1的极坐标方程为2-8cos -10sin +16=0. (2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0. 由 解得 或 所以C1与C2交点的极坐标分别为 , .,思路分析 (1)对于曲线C1的参数方程,利用sin2t+cos2t=1消t得普通方程,再利用极坐标与直角 坐标的互化公式得C1的极坐标方程; (2)联立曲线C1与C2的普通方程,解得交点的直角坐标,再利用极坐标与直角坐标的互化公式即 可求出C1与C2交点的极坐标. 解题关键 熟记直角坐标与极坐标的互化公式是求解题目的关键. 方法总结 直角坐标(x,y)化为极坐标(,)的步骤: (1)直接运用= 求; (2)在0,2)内求:若x=0,则当y0时,= ;当y0时,=0;当x0时,=.若x 0且y0,则先由直角坐标的符号特征判断点所在的象限,进而得极角的范围,再利用tan = 求的值.,5.(2011课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (为参数),M是C1 上的动点,P点满足 =2 ,P点的轨迹为曲线C2. (1)求C2的方程; (2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线= 与C1的异于极点的交点为A,与C2 的异于极点的交点为B,求|AB|.,解析 (1)设P(x,y),则由条件知M .由于M点在C1上,所以 即 从而C2的参数方程为 (为参数). (2)曲线C1的极坐标方程为=4sin ,曲线C2的极坐标方程为=8sin . 射线= 与C1的交点A的极径为1=4sin , 射线= 与C2的交点B的极径为2=8sin . 所以|AB|=|2-1|=2 . 失分警示 不理解极坐标方程的含义,不会利用极径的几何意义来求两点间距离,无法得到正 确答案.若转化为直角坐标方程,则运算量较大,易出现计算失误. 评析 本题考查曲线的参数方程、极坐标方程及极径的几何意义,属中等难度题.,1.(2015湖北,16,5分)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知 直线l的极坐标方程为(sin -3cos )=0,曲线C的参数方程为 (t为参数),l与C相交于A,B 两点,则|AB|= .,考点二 参数方程,答案 2,解析 直线l的直角坐标方程为y-3x=0,曲线C的普通方程为y2-x2=4. 由 得x2= ,即x= , 则|AB|= |xA-xB|= =2 .,2.(2015陕西,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以原点为极 点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=2 sin . (1)写出C的直角坐标方程; (2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.,解析 (1)由=2 sin ,得2=2 sin , 从而有x2+y2=2 y,所以x2+(y- )2=3. (2)设P ,又C(0, ), 则|PC|= = , 故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P点的直角坐标为(3,0).,3.(2015湖南,16(2),6分)已知直线l: (t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=2cos . (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点M的直角坐标为(5, ),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|MB|的值.,解析 (1)=2cos 等价于2=2cos . 将2=x2+y2,cos =x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0. (2)将 代入,得t2+5 t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何 意义即知,|MA|MB|=|t1t2|=18.,4.(2014江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参 数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.,解析 将直线l的参数方程 代入抛物线方程y2=4x,得 =4 ,解得t1= 0,t2=-8 . 所以AB=|t1-t2|=8 .,5.(2014课标,23,10分)已知曲线C: + =1,直线l: (t为参数). (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.,解析 (1)曲线C的参数方程为 (为参数). 直线l的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为 d= |4cos +3sin -6|. 则|PA|= = |5sin(+)-6|, 其中为锐角,且tan = . 当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为 . 当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为 . 思路分析 (1)利用三角换元的方法求曲线C的参数方程,消去参数t得直线l的普通方程; (2)利于曲线C的参数方程表示出P的直角坐标,由点到直线的距离公式及解直角三角形建立 |PA|关于的函数,利用三角函数的知识求最值.,6.(2014课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标 系,半圆C的极坐标方程为=2cos , . (1)求C的参数方程; (2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的 坐标.,解析 (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1). 可得C的参数方程为 (t为参数,0t). (2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tan t= ,t= . 故D的直角坐标为 ,即 . 思路分析 (1)先把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,再求其参数方程. (2)利用曲线C的参数方程设出点D的直角坐标,由切线的性质求解. 失分警示 容易忽视参数的范围而产生增解的情形.,7.(2013课标,23,10分)已知动点P,Q都在曲线C: (t为参数)上,对应参数分别为t=与t =2(02),M为PQ的中点. (1)求M的轨迹的参数方程; (2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.,解析 (1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2). M的轨迹的参数方程为 (为参数,02). (2)M点到坐标原点的距离d= = (02). 当=时,d=0,故M的轨迹过坐标原点. 思路分析 (1)利用中点坐标公式可得点M轨迹的参数方程; (2)由两点间距离公式建立函数关系,进而利用d能否为0进行判断.,8.(2012课标,23,10分)已知曲线C1的参数方程是 (为参数),以坐标原点为极点,x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B, C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为 . (1)求点A,B,C,D的直角坐标; (2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.,解析 (1)由已知可得A ,B 2cos + ,2sin + ,C 2cos + ,2 sin + ,D 2cos + ,2sin + , 即A(1, ),B(- ,1),C(-1,- ),D( ,-1). (2)设P(2cos ,3sin ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2+36sin2+16=32+20sin2. 因为0sin21,所以S的取值范围是32,52. 评析 本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法.正确“互化”是解 题的关键.难点是建立函数S=f().,考点一 极坐标方程 1.(2019湖南湖北八市十二校3月联考,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标 方程为=4sin . (1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)已知曲线C3的极坐标方程为=(0,R),点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的 交点,A,B均异于原点O,且|AB|=4 ,求的值.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,解析 (1)由 (为参数)消去参数可得C1的普通方程为(x-2)2+y2=4. =4sin ,2=4sin , 由 得曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4. (2)由(1)得曲线C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,其极坐标方程为=4cos , 由题意设A(1,),B(2,), 则|AB|=|1-2|=4|sin -cos |=4 =4 ,sin =1, - = +k(kZ).0,= .,2.(2019河南、河北、山西三省大联考,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为= 2cos ,点P是曲线C1上的动点,点Q在OP的延长线上,且|PQ|=3|OP|,点Q的轨迹为C2. (1)求直线l及曲线C2的极坐标方程; (2)若射线= 与直线l交于点M,与曲线C2交于点N(N与极点不重合),求 的最大 值.,解析 (1)消去直线l参数方程中的t,得x+y=4, 由cos =x,sin =y,得直线l的极坐标方程为cos +sin =4, 即= . (2分) 由点Q在OP的延长线上,且|PQ|=3|OP|,得|OQ|=4|OP|, 设Q(,),则P , 由点P是曲线C1上的动点,可得 =2cos ,即=8cos , 所以C2的极坐标方程为=8cos . (5分) (2)因为直线l及曲线C2的极坐标方程分别为= ,=8cos , 所以|OM|= ,|ON|=8cos , (7分) 所以 =2cos (cos +sin )=1+cos 2+sin 2=1+ sin . 因为0 ,所以2+ ,所以当2+ = ,即= 时, 取得最大值,为 +1. (10分),3.(2019山西3月质检,22)在极坐标系中,直线l:cos = ,P为直线l上一点,且点P在极轴上方,以 OP为边作正三角形OPQ(逆时针方向),且OPQ的面积为 . (1)求Q点的极坐标; (2)求OPQ外接圆的极坐标方程,并判断直线l与OPQ外接圆的位置关系.,解析 (1)设P , 由三角形面积公式得 = ,则cos2= , cos = ,又0 ,= . OPQ为正三角形,且点Q在P点左边,OQ的极角为 ,且|OP|=|OQ|=2. Q点的极坐标为 . (5分) (2)设OR为OPQ的外接圆的一条直径,OPQ为正三角形,由正弦定理可得其外接圆直 径|OR|= . 设M(,)为OPQ外接圆上异于点O,R的任意一点, 在RtOMR中,cos = , M(,)满足= cos .,故OPQ外接圆的极坐标方程为= cos . (8分) 直线l:x= ,OPQ外接圆的直角坐标方程为x2+y2- x-2y=0,即 +(y-1)2= . 圆心到直线l的距离d= ,等于半径. 故直线l与OPQ的外接圆相切. (10分),1.(2019湖南郴州二模,22)已知极坐标系中,点M ,曲线C的极坐标方程为2= ,点 N在曲线C上运动,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数 方程为 (t为参数). (1)求直线l的普通方程与曲线C的参数方程; (2)求线段MN的中点P到直线l的距离的最小值.,考点二 参数方程,解析 (1)直线l的参数方程为 (t为参数), 消去参数t得直线l的普通方程为x-y-6=0. (2分) 曲线C的极坐标方程化为2+22sin2-12=0, 曲线C的直角坐标方程为x2+3y2-12=0,即 + =1. 曲线C的参数方程为 (为参数). (5分) (2)设N(2 cos ,2sin )(02),点M的极坐标 化成直角坐标为(4,4),则P( cos + 2,sin +2), 点P到直线l的距离d= = 2 ,当cos =1时,等号成立. 点P到l的距离的最小值为2 . (10分),2.(2019广东揭阳二模,22)以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的 极坐标方程为2cos 2=a2(aR,a为常数),过点P(2,1),倾斜角为30的直线l的参数方程满足x=2 + t(t为参数). (1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程; (2)若直线l与曲线C相交于A、B两点(点P在A、B之间),且|PA|PB|=2,求a和|PA|-|PB|的值.,解析 (1)由2cos 2=a2得2(cos2-sin2)=a2, (1分) 又x=cos ,y=sin ,得x2-y2=a2, 曲线C的普通方程为x2-y2=a2. (2分) 过点(2,1),倾斜角为30的直线l的普通方程为y= (x-2)+1, (3分) 由x=2+ t得y=1+ t, 直线l的参数方程为 (t为参数). (5分) (2)将 代入x2-y2=a2,得t2+2(2 -1)t+2(3-a2)=0, (6分) 依题意知=2(2 -1)2-8(3-a2)0, 则方程的根t1、t2就是交点A、B对应的参数, t1t2=2(3-a2),由参数t的几何意义知|PA|PB|=|t1|t2|=|t1t2|, 得|t1t2|=2, 点P在A、B之间,t1t20), a=2. (8分) |PA|-|PB|=|t1|-|t2|=|t1+t2|, 又t1+t2=-2(2 -1), |PA|-|PB|=4 -2. (10分),3.(2018河南郑州二模,22)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立 极坐标系,点A的极坐标为 ,直线l的极坐标方程为cos =a,且l过点A,曲线C1的参 数方程为 (为参数). (1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值; (2)过点B(-1,1)与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M,N两点,求|BM|BN|的值.,解析 (1)由直线l过点A可得 cos =a,故a= ,则易得直线l的直角坐标方程为x+y-2= 0. (2分) 根据点到直线的距离公式可得曲线C1上的点到直线l的距离d= = ,其中满足sin = ,cos = , dmax= = . (5分) (2)由(1)知直线l的倾斜角为 ,则直线l1的参数方程为 (t为参数),即 (t为参数). 又易知曲线C1的普通方程为 + =1, (7分),把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得 t2+7 t-5=0,设M、N对应的参数分别为t1,t2, t1t2=- , 依据直线参数方程中参数的几何意义可知|BM|BN|=|t1t2|= . (10分),解答题(共40分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：30分钟 分值：40分),1.(2019河南十所名校尖子生第二次联考,22)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方 程为2-2cos =3. (1)求曲线C的直角坐标方程,并说明它为何种曲线; (2)设点P的坐标为(3,3),直线l交曲线C于A,B两点,求|PA|+|PB|的取值范围.,解析 (1)将 代入2-2cos =3中得x2+y2-2x=3,即(x-1)2+y2=4, (2分) 故曲线C是一个以(1,0)为圆心,2为半径的圆. (4分) (2)由直线l的参数方程知直线l过定点P(3,3),由于直线l与曲线C相交,故其倾斜角为锐角. (5 分) 联立 与(x-1)2+y2=4,整理得到关于t的二次方程t2+(4cos +6sin )t+9=0. 由0知(4cos +6sin )2-360, 则4cos +6sin 6或4cos +6sin 0而使取值范围扩大,从而导致求解 错误.,2.(2019湖南长沙一中第三次模拟,22)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半 轴为极轴建立极坐