（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第十一章计数原理11.1排列、组合课件.pptx

第十一章 计数原理 11.1 排列、组合,高考理数 (课标专用),考点 排列、组合,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2017课标,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不 同的安排方式共有( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种,答案 D 本题主要考查排列、组合. 第一步:将4项工作分成3组,共有 种分法. 第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有 种分配方法,故共有 =36种安排方式,故选D.,2.(2016课标,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老 年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( ) A.24 B.18 C.12 D.9,答案 B 分两步,第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径;第二步,从FG,有3条可以选择 的最短路径.由分步乘法计数原理可知有63=18条可以选择的最短路径.故选B. 思路分析 小明到老年公寓,需分两步进行,先从E到F,再从F到G,分别求各步的最短路径条数, 再利用分步乘法计数原理即可得结果.,3.(2016课标,12,5分)定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对 任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有 ( ) A.18个 B.16个 C.14个 D.12个,答案 C 当m=4时,数列an共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k8,a1,a2,ak中0的 个数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:若a3=0, 则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有 =4种情况;若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可, 有 =3种情况;若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有 =2种情况;(2)当a2=1时,必 有a3=0,分以下2种情况:若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有 =3种情况;若a4=1,则a5必为 0,a6,a7中任一个为0均可,有 =2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14 个,故选C. 思路分析 根据题意可知a1=0,a8=1,进而对a2,a3,a4取不同值进行分类讨论(分类要做到不重不 漏),从而利用分类加法计数原理求出不同的“规范01数列”的个数.,4.(2018课标,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不 同的选法共有 种.(用数字填写答案),答案 16,解析 本题主要考查组合问题. 解法一:从2位女生,4位男生中选3人,且至少有1位女生入选的情况有以下2种:2女1男:有 =4种选法;1女2男:有 =12种选法,故至少有1位女生入选的选法有4+12=16种. 解法二:从2位女生,4位男生中选3人有 =20种选法,其中选出的3人都是男生的选法有 =4种, 所以至少有1位女生入选的选法有20-4=16种.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点 排列、组合,1.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有 ( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个,答案 B 数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数. 其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2 =48个;同理,以5开头的有3 =72个.于是共 有48+72=120个,故选B.,2.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答),答案 1 260,解析 本小题考查排列、组合及其运用,考查分类讨论思想. 含有数字0的没有重复数字的四位数共有 =540个,不含有数字0的没有重复数字的四 位数共有 =720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数. 易错警示 数字排成数时,容易出错的地方: (1)数字是否可以重复; (2)数字0不能排首位.,3.(2017天津,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四 位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答),答案 1 080,解析 本题主要考查计数原理及排列组合的应用. (1)有一个数字是偶数的四位数有 =960个. (2)没有偶数的四位数有 =120个. 故这样的四位数一共有960+120=1 080个. 思路分析 分两种情况:有一个数字是偶数的四位数; 没有偶数的四位数.,4.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务 队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答),答案 660,解析 本题考查计数原理、排列、组合,排列数、组合数计算,利用间接法解决“至少”类的 组合问题,考查推理运算能力. 从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为 - =55. 从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为 =12种. 故总共有5512=660种选法.,5.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么 全班共写了 条毕业留言.(用数字作答),答案 1 560,解析 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,全班共写了4039= 1 560条毕业留言.,C组 教师专用题组 考点 排列、组合,1.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个 医疗小组.则不同的选法共有 ( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种,答案 C 从6名男医生中选出2名有 种选法,从5名女医生中选出1名有 种选法,由分步乘 法计数原理得不同的选法共有 =75种.故选C. 思路分析 分两步,先选2名男医生,再选1名女医生,求出各步选法数,进而利用分步乘法计数 原理得结果.,2.(2018江苏,23,10分)设nN*,对1,2,n的一个排列i1i2in,如果当sit,则称(is,it)是排列 i1i2in的一个逆序,排列i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231, 只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,n的所有排列中逆序数为k的 全部排列的个数. (1)求f3(2),f4(2)的值; (2)求fn(2)(n5)的表达式(用n表示).,解析 本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力. (1)记(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有(123)=0,(132)=1,(213)=1,(231)=2, (312)=2,(321)=3,所以f3(0)=1, f3(1)=f3(2)=2. 对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三 个位置. 因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5. (2)对一般的n(n4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只 能是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-1. 为计算fn+1(2),当1,2,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置 只能是最后三个位置. 因此, fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n. 当n5时, fn(2)=fn(2)-fn-1(2)+fn-1(2)-fn-2(2)+f5(2)-f4(2)+f4(2)=(n-1)+(n-2)+4+f4(2)= . 因此,当n5时, fn(2)= .,疑难突破 要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“fn(k)”的含义,不妨从比较小的1,2, 3入手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列 的个数,可以通过与f3(2), f3(1),f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、f3(1)的 排列中的倒数第2个位置、f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到fn+1(2)与 fn(2),fn(1), fn(0)的关系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,从而得到fn(2)(n5)的表达式.,考点 排列、组合 1.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、 (3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑 位置),其中(1)班两名同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是 来自同一个班的乘坐方式共有 ( ) A.18种 B.24种 C.48种 D.36种,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 B 由题意知,有两类.第一类,一班的2名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的 班级,从3个班级中选两个,有 =3种,然后分别从选择的班级中再选择一名学生,有 =4种, 故有34=12种.第二类,一班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择一个班级的两 名同学在甲车上,有 =3种,再从剩下的两个班级中分别选择一人,有 =4种,这时共有34= 12种,根据分类加法计数原理得,共有12+12=24种不同的乘车方式,故选B.,2.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、 乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有 ( ) A.90种 B.180种 C.270种 D.360种,答案 B 根据题意,分3步进行分析:在6位志愿者中任选1位,安排到甲展区,有 =6种情况; 在剩下的5位志愿者中任选1位,安排到乙展区,有 =5种情况;将剩下的4位志愿者平均分 成2组,然后安排到剩下的2个展区,有 =6种情况,则一共有656=180种不同的安排方 案,故选B.,3.(2018河北唐山二模,6)用两个1,一个2,一个0可组成不同四位数的个数是 ( ) A.18 B.16 C.12 D.9,答案 D 根据题意,分3步进行分析:0不能放在千位,可以放在百位、十位和个位,有3种情 况;在剩下的3个数位中任选1个,安排2,有3种情况;在最后2个数位安排2个1,有1种情况.则 可组成33=9个不同四位数,故选D.,4.(2019安徽合肥二模,6)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务,要求是:任务A必须 排在前三项执行,且执行任务A之后需立即执行任务E,任务B、任务C不能相邻,则不同的执行 方案共有 ( ) A.36种 B.44种 C.48种 D.54种,答案 B 由题意知任务A、E必须相邻,且只能安排为AE,分三类: 当A,E分别排在第一、二位置时,有 =12种执行方案; 当A,E分别排在第二、三位置时,有 + =12+4=16种执行方案; 当A,E分别排在第三、四位置时,有 =16种执行方案. 根据分类加法计数原理得不同的执行方案有12+16+16=44种,故选B.,5.(2019河南郑州一模)如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用 3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的 涂色方案共有 ( ) A.6种 B.9种 C.12种 D.36种,答案 C 先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,有 种情况,然后涂三棱柱的三个侧面,有 种情况,共有 =321211=12种不同的涂法.故选C.,选择题(每题5分,共25分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：20分钟 分值：25分),1.(2018广东珠海模拟,7)将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同 放法共有 ( ) A.480种 B.360种 C.240种 D.120种,答案 C 将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则必须有2个球放入 1个盒子,其余的球各单独放入一个盒子,分2步进行分析:先将5个球分成4组,有 =10种分 法;将分好的4组全排列,放入4个盒子,有 =24种情况,则不同放法有1024=240种.故选C. 思路分析 根据题意,分2步进行分析:先将5个球分成4组,将分好的4组全排列,放入4个盒 子,由分步乘法计数原理计算可得答案. 方法总结 本题中涉及分组分配问题:先分组再分配.若涉及均匀分组问题,则在均匀分成n组 时,注意除以 .,2.(2019河北武邑中学3月月考,7)在高三下学期初,某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查 活动,已知现有3名教师对4名学生进行家庭问卷调查,若这3名教师每名至少到一名学生家中 进行问卷调查,这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查,那么不同的问卷调查 方案的种数为 ( ) A.36 B.72 C.24 D.48,答案 A 根据题意,分2步进行分析:先把4名学生分成3组,其中1组2人,其余2组每组各1人, 有 =6种分组方法;将分好的3组对应3名教师,有 =6种情况,则一共有66=36种不同 的问卷调查方案,故选A. 解后反思 本题考查排列、组合的应用,对于此类分配问题,要先分好组,再进行排列.,3.(2019广东揭阳一模,5)某班星期一上午安排5节课,若数学2节,语文、物理、化学各1节,且物 理、化学不相邻,2节数学相邻,则星期一上午不同课程安排种数为 ( ) A.6 B.12 C.24 D.48,答案 B 根据题意,分2步进行分析:将两节数学课“捆”在一起与语文课先进行排列,有 种排法;将物理课、化学课在第一步排后的3个空隙中选两个插进去,有 种方法,根据分 步乘法计数原理得不同课程安排种数为 =12,故选B.,4.(2019广东广州天河二模,7)安排5名学生去3个社区进行志愿服务,且每人只去一个社区,要求 每个社区至少有一名学生进行志愿服务,则不同的安排方式共有 ( ) A.360种 B.300种 C.150种 D.125种,答案 C 分2步分析:先将5名学生分成3组,有两种分组方法,若分成3、1、1的三组,则有 = 10种分组方法;若分成1、2、2的三组,则有 =15种分组方法,则一共有10+15=25种分组 方法.再将分好的三组全排列,对应三个社区,有 =6种情况,则有256=150种不同的安排方式, 故选C. 思路分析 分2步分析:先将5名学生分成3组,分2种情况分类讨论,再将分好的三组全排列,对 应三个社区,由分步乘法计数原理计算可得答案. 失分警示 本题考查排列、组合的应用,注意计算安排方式时分组涉及平均分组与不平均分 组,要用对公式.,5.(2017河南天一大联考,9)如图,图案共分9个区域,有6种不同颜色的涂料可供涂色,每个区域 只能涂一种颜色的涂料,其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且相邻区域的颜色 不相同,则涂色方法有 ( ) A.360种 B.720种 C.780种 D.840种,答案 B 由题意知2,3,4,5的颜色都不相同,先涂1,有6种方法,再涂2,3,4,5,有 种方法,故一共 有6 =720种涂色方法. 思路分析 特殊位置优先安排,先涂1,再涂2,3,4,5,进而利用分步乘法计数原理可得结果. 方法总结 应用两个计数原理解题时,首先,要明确题目中的事件是什么,怎样才算完成这一事 件;其次,要确定如何处理这一事件,是分类还是分步,或者是二者都涉及;最后,通过计算得出结 果.若既要分类又要分步,则通常先分类再分步.分类要全,分步要准,且应条理清晰,避免混淆.,1.(2019湖南娄底二模,8)若m,n均为非负整数,在做m+n的加法运算时各位均不进位(例如:2 019 +100=2 119),则称(m,n)为“简单的”有序对,而m+n称为有序对(m,n)的值,那么值为2 019的 “简单的”有序对的个数是 ( ) A.100 B.96 C.60 D.30,C组 20172019年高考模拟应用创新题组,答案 C m+n=2 019且各位均不进位,从高位分步处理:千位有2+0,1+1,0+2,共3种;百位有0+0, 共1种;十位有0+1,1+0,共2种;个位有0+9,1+8,2+7,3+6,4+5,5+4,6+3,7+2,8+1,9+0,共10种,由分步 乘法计数原理可知,值为2 019的“简单的”有序对的个数是31210=60.故选C. 解题关键 本题是新定义题目,充分理解题意,利用分步乘法计数原理解决问题是解题关键.,2.(2019安徽蚌埠一模,7)某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包,活动 规定每人可以依次点击4次,每次都会获得三种红包中的一种,若集全三种即可获奖,但三种红 包出现的顺序不同对应的奖次也不同.员工甲按规定依次点击了4次,直到第4次才获奖.则他获 得奖次的不同情形种数为 ( ) A.9 B.12 C.18 D.24,答案 C 根据题意,若员工甲直到第4次才获奖,则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬 业”三种红包,则甲第4次获得的红包有3种情况,前三次获得的红包为其余的2种,有23-2=6种 情况,则他获得奖次的不同情形种数为36=18,故选C. 思路分析 根据题意,分析可得甲第4次获得的红包有3种情况,进而可得前三次获得的红包为 其余的2种,分析前三次获得红包的情况,由分步乘法计数原理计算可得答案. 失分警示 本题考