（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列课件.pptx

6.3 等比数列,高考理数 (课标专用),考点一 等比数列的概念及运算,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 C 本题以等比数列的前n项和公式为载体考查学生的运算求解能力;考查了数学运算 的核心素养. 设等比数列an的公比为q.由题意知,an0,q0.由a5=3a3+4a1得a1q4=3a1q2+4a1,q2=4,q=2.由S4 = =15,解得a1=1.a3=a1q2=4,故选C. 易错警示 对通项公式an=a1qn-1和Sn= (q1)未能熟练掌握,从而导致失分.,1.(2019课标,5,5分)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3= ( ) A.16 B.8 C.4 D.2,2.(2017课标,3,5分)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光 点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两 层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 ( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏,答案 B 本题主要考查数学文化及等比数列基本量的计算. 由题意可知,由上到下灯的盏数a1,a2,a3,a7构成以2为公比的等比数列,S7= =381, a1=3.故选B.,3.(2019课标,14,5分)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1= , =a6,则S5= .,答案,解析 本题主要考查等比数列基本量的计算;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数 学运算. 设an的公比为q,由 =a6,得 =a4q2,a4=q2. 又a4=a1q3,a1q3=q2,又a1= ,q=3. 由等比数列求和公式可知S5= = . 解题关键 由an=a1qn-1=amqn-m求出公比q是关键.,4.(2018课标,17,12分)等比数列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式; (2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.,解析 本题考查等比数列的概念及其运算. (1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,则Sn= . 由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解. 若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6.,易错警示 解方程时,对根的检验易漏. 求解等比数列的公比时,要结合题意进行讨论、取值,避免产生错解. 解后反思 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略 (1)求通项公式.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项公式便可求出. (2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解. (3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解. (4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.,5.(2016课标,17,12分)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式; (2)若S5= ,求.,解析 (1)由题意得a1=S1=1+a1, 故1,a1= ,a10. (2分) 由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以 = . 因此an是首项为 ,公比为 的等比数列, 于是an= . (6分) (2)由(1)得Sn=1- . 由S5= 得1- = ,即 = . 解得=-1. (12分) 方法指导 (1)利用an+1=Sn+1-Sn可得到an+1与an的关系式,要证数列an是等比数列,关键是得出 An+1与an之比为常数,其中说明an0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论列方程即可求出.,1.(2015课标,4,5分)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7= ( ) A.21 B.42 C.63 D.84,考点二 等比数列的性质,答案 B 设an的公比为q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(负值舍去).a3+a5+a7= a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=212=42. 思路分析 用a1,q表示a3,a5,代入已知等式求出q2值,进而利用a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2得结果.,2.(2016课标,15,5分)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为 .,答案 64,解析 设an的公比为q,于是 解得a1=8,q= , an=24-n,a1a2an=23+2+1+(4-n)= = 26=64.a1a2an的最大值为64. 思路分析 用a1,q表示a2,a3,a4,列方程组解得a1,q,进而求出an=24-n,从而表示出a1a2a3an,由此即 可求出最大值. 解题关键 求出an,并会求- n2+ n的最大值是解题关键.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 等比数列的概念及运算,1.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半 音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得 到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 . 若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为 ( ) A. f B. f C. f D. f,答案 D 本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用. 由题意知,十三个单音的频率构成首项为f,公比为 的等比数列,设该等比数列为an,则a8= a1q7,即a8= f,故选D. 易错警示 本题是以数学文化为背景的应用问题,有以下几点容易造成失分:读不懂题意,不 能正确转化为数学问题.对要用到的公式记忆错误.在求解过程中计算错误.,2.(2017北京,10,5分)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则 = .,答案 1,解析 本题考查等差数列、等比数列的基础知识,考查运算求解能力. 设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q. a1=b1=-1,a4=b4=8, a2=2,b2=2. = =1.,3.(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3= ,S6= ,则a8= .,答案 32,解析 本题考查等比数列及等比数列的前n项和. 设等比数列an的公比为q. 当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意, q1,由题设可得 解得 a8=a1q7= 27=32.,4.(2015湖南,14,5分)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an= .,答案 3n-1,解析 设等比数列an的公比为q(q0),依题意得a2=a1q=q,a3=a1q2=q2,S1=a1=1,S2=1+q,S3=1+q+ q2.又3S1,2S2,S3成等差数列,所以4S2=3S1+S3,即4(1+q)=3+1+q+q2,所以q=3(q=0舍去).所以an=a1qn-1 =3n-1.,考点二 等比数列的性质 (2015安徽,14,5分)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等 于 .,答案 2n-1,解析 由已知得,a1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,则 或 又数列an是递增的等比数列,a1 a4,a1=1,a4=8,从而q3= =8,即q=2,则前n项和Sn= =2n-1.,C组 教师专用题组 考点一 等比数列的概念及运算,1.(2013课标,3,5分)等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1= ( ) A. B.- C. D.-,答案 C 由已知条件及S3=a1+a2+a3得a3=9a1,设数列an的公比为q,则q2=9. 所以a5=9=a1q4=81a1,得a1= ,故选C. 思路分析 由S3=a1+a2+a3及已知条件得a3=9a1,结合a3=a1q2得q2,利用a5=a1q4列等式,解得a1值.,2.(2012课标,5,5分)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10= ( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7,答案 D 由a5a6=a4a7,得a4a7=-8,解 得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4, q3=- 或q3=-2. 当q3=- 时,a1+a10= +a4q6= +4 =-7; 当q3=-2时,a1+a10= +a4q6= +(-2)(-2)2=-7,故选D.,3.(2014安徽,12,5分)数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= .,答案 11,解析 设an的公差为d,则a3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5). (a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)(a1+1)+4(d+1), (a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+2(d+1)2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1), d=-1,a3+3=a1+1,公比q= =1.,4.(2016四川,19,12分)已知数列an的首项为1,Sn为数列an的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,n N*. (1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列an的通项公式; (2)设双曲线x2- =1的离心率为en,且e2= ,证明:e1+e2+en .,解析 (1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1, 两式相减得到an+2=qan+1,n1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1, 故an+1=qan对所有n1都成立. 所以,数列an是首项为1,公比为q的等比数列. 从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得 2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0, 由已知,q0,故q=2.所以an=2n-1(nN*). (2)证明:由(1)可知,an=qn-1. 所以双曲线x2- =1的离心率en= = . 由e2= = ,解得q= . 因为1+q2(k-1)q2(k-1),所以 qk-1(kN*). 于是e1+e2+en1+q+qn-1= ,故e1+e2+en .,5.(2015山东,18,12分)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3. (1)求an的通项公式; (2)若数列bn满足anbn=log3an,求bn的前n项和Tn.,解析 (1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3, 当n1时,2Sn-1=3n-1+3, 此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即an=3n-1, 所以an= (2)因为anbn=log3an,所以b1= , 当n1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n. 所以T1=b1= ; 当n1时, Tn=b1+b2+b3+bn= +13-1+23-2+(n-1)31-n, 所以3Tn=1+130+23-1+(n-1)32-n, 两式相减,得 2Tn= +(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n,= + -(n-1)31-n= - , 所以Tn= - (n1). 经检验,n=1时也适合. 综上可得Tn= - (nN*).,6.(2014课标,17,12分)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1. (1)证明 是等比数列,并求an的通项公式; (2)证明 + + .,解析 (1)由an+1=3an+1得an+1+ =3 . 又a1+ = ,所以 是首项为 ,公比为3的等比数列. an+ = ,因此an的通项公式为an= . (2)证明:由(1)知 = . 因为当n1时,3n-123n-1,所以 . 于是 + + 1+ + = . 所以 + + .,1.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a11,则 ( ) A.a1a3,a2a4 D.a1a3,a2a4,考点二 等比数列的性质,答案 B 本小题考查等比数列的概念和性质,利用导数求函数的单调性和最值,不等式的性 质和分类讨论思想. 设f(x)=ln x-x(x0),则f (x)= -1= , 令f (x)0,得01, f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+)上为减函数, f(x)f(1)=-1,即有ln xx-1. 从而a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)a1+a2+a3-1, a41,公比q0,矛盾. 若q0,ln(a1+a2+a3) ln a10,也矛盾.-10,a1a3.,同理, =q2a2.选B.,思路分析 (1)由题中的选项可知要判断01. (2)由条件可知要利用不等式ln xx-1(x0),得a40,而a20,利用-1q0得结论.,2.(2014大纲全国,10,5分)等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lg an的前8项和等于 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 C 由题意知a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10,数列lg an的前8项和等于lg a1+lg a2+lg a8 =lg(a1a2a8)=lg(a4a5)4=4lg(a4a5)=4lg 10=4.故选C.,考点一 等比数列的概念及运算 1.(2019湖南郴州一模,6)在数列an中,满足a1=2, =an-1an+1(n2,nN*),Sn为an的前n项和,若 a6=64,则S7的值为 ( ) A.126 B.256 C.255 D.254,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 D 数列an中,满足 =an-1an+1(n2),则数列an为等比数列,设其公比为q,又由a1=2,a6= 64,得q5= =32,则q=2,则S7= =28-2=254,故选D.,2.(2019湖北荆州3月联考,4)已知数列an为等差数列,且 ,2, 成等比数列,则an前6项的和 为 ( ) A.15 B. C.6 D.3,答案 C 由 ,2, 成等比数列,可得4= = ,即a1+a6=2,又数列an为等差数列,所以 an前6项的和为 6(a1+a6)=6.故选C.,3.(2017福建漳州八校2月联考,3)等比数列an的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则 等于 ( ) A.-3 B.5 C.-31 D.33,答案 D 解法一:设等比数列an的公比为q,则由已知得q1. S3=2,S6=18, = ,得q3=8,q=2. = =1+q5=33,故选D. 解法二:an为等比数列,设其公比为q,S6=S3+q3S3,即18=2+2q3,解得q=2.S10=S5+q5S5=33S5, =33.,4.(2019安徽六安高三3月联考,17)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0, = -Sn+1,其中为 常数. (1)证明:Sn+1=2Sn+; (2)是否存在实数,使得数列an为等比数列?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.,解析 (1)证明:an+1=Sn+1-Sn, = -Sn+1, =(Sn+1-Sn)2-Sn+1, Sn+1(Sn+1-2Sn-)=0, an0,Sn+10, Sn+1-2Sn-=0, Sn+1=2Sn+. (2)存在.Sn+1=2Sn+, Sn=2Sn-1+(n2),相减得an+1=2an(n2), an从第二项起成等比数列, S2=2S1+,即a2+a1=2a1+,a2=1+0,得-1, an= 若使an是等比数列,则a1a3= , 2(+1)=(+1)2, =1,经检验,符合题意.,故存在实数,使得数列an为等比数列,的值为1.,5.(2019河南六市高三第一次联合调研检测,17)设数列an前n项和为Sn,且满足a1=r,Sn=an+1- (n N*). (1)试确定r的值,使an为等比数列,并求数列an的通项公式; (2)在(1)的条件下,设bn=log2an,求数列|bn|的前n项和Tn.,解析 (1)当n=1时,a1=S1=a2- .则a2=a1+ , (1分) 当n2时,Sn-1=an- ,与已知式作差,整理得an=an+1-an,即an+1=2an(n2),欲使an为等比数列,则a2 =2a1=2r,又a2=a1+ ,a1=r,r= , (4分) 故当r= 时,数列an是以 为首项,2为公比的等比数列, 此时an=2n-6. (6分) (2)由(1)知bn=n-6,|bn|= (8分) 若n6,则Tn=-b1-b2-bn= ; 若n6,则Tn=-b1-b2-b5+b6+bn= +30, Tn= (12分),6.(2018河南信阳模拟,17)已知数列an满足a1=1,an+1=2an+(为常数). (1)试探究数列an+是不是等比数列,并求an; (2)当=1时,求数列n(an+)的前n项和Tn.,解析 (1)因为an+1=2an+,所以an+1+=2(an+). 又a1=1, 所以当=-1时,a1+=0,数列an+不是等比数列, 此时an+=an-1=0,即an=1; 当-1时,a1+0,所以an+0, 所以数列an+是以1+为首项,2为公比的等比数列, 此时an+=(1+)2n-1,即an=(1+)2n-1-. (2)当=1时,由(1)知an=2n-1,所以n(an+1)=n2n, Tn=2+222+323+n2n, 2Tn=22+223+324+n2n+1, -得:-Tn=2+22+23+2n-n2n+1= -n2n+1=2n+1-2-n2n+1=(1-n)2n+1-2. 所以Tn=(n-1)2n+1+2.,1.(2018湖南湘潭三模,9)已知等比数列an的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=- ,则当Tn取最大值时,n 的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6,考点二 等比数列的性质,1.(2018湖南湘潭三模,9)已知等比数列an的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=- ,则当Tn取最大值时,n 的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6,考点二 等比数列的性质,答案 C 等比数列an中,由a1=-24,a4=- ,可得q3= = ,解得q= ,Tn=a1a2a3an=(-24)nq1+2+ +(n-1)=(-24)n ,当Tn取最大值时,可得n为偶数,当n=2时,T2=242 =192;当n=4时,T4=244 = ;当n=6时,T6=246 = ,则T66,且n为偶数时,TnT6,故n=4时,Tn取最大 值.故选C.,2.(2018福建厦门模拟,8)设等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=2n+1+,则= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2,答案 A 解法一:依题意,a1=S1=4+,a2=S2-S1=4,a3=S3-S2=8, 因为an是等比数列,所以 =a1a3,所以8(4+)=42,解得=-2.故选A. 解法二:Sn=2n+1+=22n+,易知q1,因为an是等比数列,所以Sn= - qn,据此可得=-2.故 选A.,3.(2019 53原创冲刺卷八,5)已知等比数列an满足a1+a2=12,a1-a3=6,则当a1a2an取到最大值 时,n的值为 ( ) A.3 B.4 C.3或4 D.5,答案 C 设等比数列an的公比为q,由a1+a2=12,a1-a3=6,可得 解得 an=8 = (nN*), a1a2an= = , 令f(n)= n(n-7)= (n2-7n)= - , 当n=3或n=4时, f(n)有最小值,且f(n)min=-6, 故当n=3或4时,a1a2an取得最大值,故选C.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:30分钟 分值:45分 一、选择题(每题5分,共20分),1.(2018河南开封一模,5)已知等比数列an的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1= ( ) A. B. C. D.2,答案 A 由题意知等比数列an的公比q1,9S3=S6,a2=1, = ,a1q=1,q= 2,a1= .故选A. 一题多解 设等比数列an的公比为q,9S3=S6,9S3=S3+q3S3,q3=8,则q=2.又a2=1,a1= = . 方法指导 在等比数列基本量的计算中,对于高次方的计算,常用作商的方法或是整体消元法 求解.,2.(2018山东菏泽一模,8)在等比数列an中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则 的值为 ( ) A.2 B.- C. D.- 或,答案 D 设等比数列an的公比为q,由a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,可得a2a16=2,即有 q16=2, 则有 =2,则 =a9= .故选D. 名师点拨 运用一元二次方程的根与系数的关系和等比数列的性质求解. 易错警示 等比数列an中,若m+n=2k(m,nN*),则aman= ,切不可用成aman=2ak.,3.(2019安徽合肥二模,8)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创,南 宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童 垛、三角垛等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:自上而下,第一层1件,以后每 一层比上一层多1件,最后一层是n件.已知第一层货物单价是1万元,从第二层起,货物的单价是 上一层单价的 .若这堆货物总价是 万元,则n的值为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10,答案 D 由题意知,茭草垛自上而下堆放的货物件数构成一个等差数列an,且an=n,货物单 价构成一个等比数列bn,且bn= ,所以每一层货物的总价为anbn=n 万元, 所以这堆货物的总价(单位:万元)为Sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn, 所以Sn=11+2 +3 +(n-1) +n . 两边同乘 得 Sn=1 +2 +3 +(n-1) +n , 两式相减得 Sn=1+ + + + -n =10-(10+n) , 所以Sn=100-10(10+n) , 由100-10(10+n) =100-200 ,整理得10(10+n)=200,解得n=10.故选D. 解后反思 本题考查了错位相减法求和,考查了运算能力,以及分析问题、解决问题的能力.,4.(2019湖南衡阳一模,8)在等比数列an中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是 ( ) A.6 B.-8,8 C.-8 D.8,答案 D a1a3= =4,a4=4,a2=2,q2= =2,a6=a2q4=24=8,故a6的所有可能值构成的集 合是8,故选D.,5.(2019湖南郴州一模,17)已知等差数列an中,首项a1=1,公差d为整数,且满足a1+1a3,a2+3a4,数列bn满足bn= ,其前n项和为Sn. (1)求数列an的通项公式; (2)若S1,S2,Sm(mN*)成等比数列,求m的值.,二、解答题(共25分),解析 (1)等差数列an中,首项a1=1,且满足a1+1a3,a2+3a4,可得2d1,且2d3, 即 d ,由d为整数,可得d=1, 则an=1+n-1=n. (2)bn= = = - , 则Sn=1- + - + - =1- = , 由S1,S2,Sm(mN*)成等比数列, 可得S1Sm= , 即 = , 解得m=8. 思路分析 (1)运用等差数列的定义及已知不等式可得公差d=1,即可得到所求通项公式;(2)求 得bn= = = - ,裂项相消求和可得Sn,再由等比数列的中项性质解方程可得所求 值.,6.(2019山西长治二模,17)Sn为等比数列an的前n项和,已知a4=9a2,S3=13,且公比q0. (1)求an及Sn; (2)是否存在常数,使得数列Sn+是等比数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.,解析 (1)由题意可得 解得a1=1,q=3, an=3n-1,Sn= = . (2)假设存在常数,使得数列Sn+是等比数列, S1+=+1,S2+=+4,S3+=+13, (+4)2=(+1)(+13),解得= ,此时Sn+ = 3n,则 =3, 故存在常数= ,使得数列 是等比数列. 思路分析 (1)由题意可得 解得a1=1,q=3,根据等比数列通项公式和前n项和公式 即可求出an及Sn;(2)假设存在常数,使得数列Sn+是等比数列,分别令n=1,2,3,根据等比数列,的性质求出的值,再根据定义证明即可.,1.(2019 53原创冲刺卷三,5)已知数列an为正项等比数