（课标Ⅰ卷）2020届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数与积分课件.pptx

第三章 导数及其应用 3.1 导数与积分,高考理数 (课标专用),1.(2019课标,6,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 D 本题考查导数的几何意义,常见函数的导数,导数的运算法则,通过对常见函数的导 数的求解考查学生对公式的运用能力.考查了数学运算的核心素养. y=aex+ln x+1,y|x=1=ae+1, 2=ae+1,a=e-1.切点为(1,1), 将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b, b=-1,故选D. 解题关键 正确理解导数的几何意义是解决本题的关键.,2.(2018课标,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线 方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x,答案 D 本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,解得a=1,f(x)=x3+x,f (x)=3x2+1,f (0)=1, 故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D. 解后反思 求曲线的切线方程需注意的几个问题: (1)首先应判断所给的点是不是切点,如果不是,那么需要设出切点. (2)切点既在原函数的图象上,又在切线上,可先设出切线方程,再将切点坐标代入两者的解析 式建立方程组. (3)切点处的导数值等于切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.,3.(2019课标,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .,答案 y=3x,解析 本题考查导数的几何意义;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算. y=3(x2+3x+1)ex,曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y|x=0=3, 曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x. 解题关键 掌握导数的运算法则与导数的几何意义是求解的关键.,4.(2016课标,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切 线方程是 .,答案 y=-2x-1,解析 令x0,则-x0),则f (x)= -3(x0),f (1)=-2,在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y= -2x-1. 思路分析 根据函数f(x)是偶函数,求出x0时函数f(x)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜 式求出切线方程.,5.(2016课标,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .,答案 1-ln 2,解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得 y= ,由y=ln(x+1)得y= ,k= = ,x1= ,x2= -1,y1=-ln k+2,y2=-ln k.即A ,B .A、B在直线y=kx+b上, 思路分析 先设切点坐标,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,利 用切点在切线上列方程组,进而求解.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 导数的概念及其几何意义 1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相 垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3,答案 A 设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1x2,则由题意知只需函数y=f(x) 满足f (x1)f (x2)=-1即可.y=f(x)=sin x的导函数为f (x)=cos x,则f (0)f ()=-1,故函数y=sin x具有T 性质;y=f(x)=ln x的导函数为f (x)= ,则f (x1)f (x2)= 0,故函数y=ln x不具有T性质;y=f(x)=ex 的导函数为f (x)=ex,则f (x1)f (x2)= 0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f (x)= 3x2,则f (x1)f (x2)=9 0,故函数y=x3不具有T性质.故选A.,2.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经 过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .,答案 (e,1),解析 本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为数 学运算. 设A(x0,y0),由y= ,得k= , 所以在点A处的切线方程为y-ln x0= (x-x0). 因为切线经过点(-e,-1), 所以-1-ln x0= (-e-x0).所以ln x0= , 令g(x)=ln x- (x0), 则g(x)= + ,则g(x)0, g(x)在(0,+)上为增函数.,又g(e)=0,ln x= 有唯一解x=e.x0=e. 点A的坐标为(e,1). 方法总结 求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤: 设切点为(x0, f(x0); 求k=f (x0); 得出切线的方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0); 由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.,3.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线垂直,则P的 坐标为 .,答案 (1,1),解析 函数y=ex的导函数为y=ex, 曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00), 函数y= 的导函数为y=- , 曲线y= (x0)在点P处的切线的斜率k2=- , 由题意知k1k2=-1,即1 =-1, 解得 =1,又x00, x0=1. 又点P在曲线y= (x0)上, y0=1,故点P的坐标为(1,1).,考点二 定积分的运算及应用 1.(2015湖南,11,5分) (x-1)dx= .,答案 0,解析 (x-1)dx= =(2-2)-0=0.,2.(2015天津,11,5分)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 .,答案,解析 曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,由 解得x=0或x=1,所 以S= (x-x2)dx= = - = .,C组 教师专用题组 考点一 导数的概念及其几何意义 1.(2014课标,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 D y=a- ,当x=0时,y=a-1=2,a=3,故选D. 思路分析 根据导数的几何意义得y|x=0=2,由此可求得a. 方法总结 已知曲线在某点处的切线,求曲线方程中的参数时,常利用“切线的斜率等于曲线 所对应的函数在该点处的导数值”列方程求解.,2.(2012课标,12,5分)设点P在曲线y= ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为 ( ) A.1-ln 2 B. (1-ln 2) C.1+ln 2 D. (1+ln 2),答案 B 由y= ex得ex=2y,所以x=ln(2y),所以y= ex的反函数为y=ln(2x),所以y= ex与y=ln(2x) 的图象关于直线y=x对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的 切点之间的距离,令ln(2x)= =1,解得x=1,令 =1,解得x=ln 2,所以两点为(1,ln 2)和(ln 2, 1),故d= (1-ln 2),故选B.,3.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间.,解析 (1)因为f(x)=xea-x+bx, 所以f (x)=(1-x)ea-x+b. 依题设,知 即 解得a=2,b=e. (2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f (x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知, f (x)与1-x+ex-1同号. 令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1. 所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值, 从而g(x)0,x(-,+). 综上可知, f (x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).,4.(2014课标,21,12分)设函数f(x)=aexln x+ ,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求a,b; (2)证明:f(x)1.,解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)=aexln x+ ex- ex-1+ ex-1. 由题意可得f(1)=2, f (1)=e.故a=1,b=2. (2)证明:由(1)知, f(x)=exln x+ ex-1, 从而f(x)1等价于xln xxe-x- . 设函数g(x)=xln x,则g(x)=1+ln x. 所以当x 时,g(x)0. 故g(x)在 上单调递减,在 上单调递增,从而g(x)在(0,+)上的最小值为g =- . 设函数h(x)=xe-x- ,则h(x)=e-x(1-x). 所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.,思路分析 (1)利用导数的几何意义及切线过切点求a,b的值; (2)利用(1)得f(x)的解析式,将f(x)1等价转化为xln xxe-x- ,构造函数g(x)=xln x,h(x)=xe-x- ,再利 用导数分别求出g(x)min,h(x)max,进而得g(x)h(x),从而证得原不等式成立. 方法总结 证明不等式,可构造函数,转化为求解函数最值的问题.,考点二 定积分的运算及应用 1.(2014陕西,3,5分)定积分 (2x+ex)dx的值为 ( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1,答案 C (2x+ex)dx=(x2+ex) =1+e1-1=e,故选C.,2.(2014山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( ) A.2 B.4 C.2 D.4,答案 D 由 得x=0或x=2或x=-2(舍). S= (4x-x3)dx= =4. 评析 本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.,3.(2011课标,9,5分)由曲线y= ,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为 ( ) A. B.4 C. D.6,答案 C 如图阴影部分面积即为所求,求得曲线y= 与直线y=x-2的交点为A(4,2), S阴影= = . 错因分析 由被积函数求原函数时出错是致错的主要原因. 评析 本题考查定积分运算及定积分的几何意义,属容易题.,4.(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物 线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .,答案 1.2,考点一 导数的概念及其几何意义 1.(2018福建福州八县联考,11)已知函数f(x)的导函数是f (x),且满足f(x)=2xf (1)+ln ,则f(1)= ( ) A.-e B.2 C.-2 D.e,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 B 由已知得f (x)=2f (1)- ,令x=1,得 f (1)=2f (1)-1,解得f (1)=1,则f(1)=2f (1)=2.,2.(2019湖南娄底二模,5)已知f(x)是奇函数,当x0时, f(x)=- ,则函数图象在x=-1处的切线方 程是 ( ) A.2x-y+1=0 B.x-2y+2=0 C.2x-y-1=0 D.x+2y-2=0,答案 A 当x0,f(-x)=- ,f(x)= (x0),又f (-1)=2,f(-1)=-1,切线方程为y+1 =2(x+1),即2x-y+1=0.故选A.,3.(2019湖北黄冈模拟,4)已知直线y= 是曲线y=xex的一条切线,则实数m的值为 ( ) A.- B.-e C. D.e,答案 B 设切点坐标为 ,对y=xex求导得y=(xex)=ex+xex,若直线y= 是曲线y=xex的一条 切线,则有y|x=n=en+nen=0,解得n=-1,此时有 =nen=- ,m=-e.故选B.,4.(2019广东深圳二模,5)已知函数f(x)=ax2+(1-a)x+ 是奇函数,则曲线y=f(x)在x=1处的切线的 倾斜角为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由函数f(x)=ax2+(1-a)x+ 是奇函数,得f(-x)=-f(x),可得a=0,则f(x)=x+ ,f (x)=1- ,故 曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率k=1-2=-1,可得所求切线的倾斜角为 ,故选B.,5.(2019湖南湘潭模拟,5)经过(2,0)且与曲线y= 相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) A.2 B. C.1 D.3,答案 A 设切点为 ,m0,y= 的导数为y=- ,可得切线的斜率k=- ,切线方程为y- =- (x-m),代入(2,0),可得- =- (2-m),解得m=1,则切线方程为y-1=-x+1,切线与坐标轴的 交点坐标为(0,2),(2,0),则切线与坐标轴围成的三角形面积为 22=2.故选A.,6.(2018安徽淮南一模,21)已知函数f(x)=x2-ln x. (1)求曲线f(x)在点(1, f(1)处的切线方程; (2)在函数f(x)=x2-ln x的图象上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横 坐标都在区间 内?若存在,求出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.,解析 (1)由题意可得f(1)=1,且f (x)=2x- , f (1)=2-1=1,则所求切线方程为y-1=1(x-1),即y=x. (2)假设存在两点满足题意,设切点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2 ,不妨设x1x2,结合题意和 (1)中求得的导函数解析式可得 =-1, 又函数f (x)=2x- 在区间 上单调递增,函数的值域为-1,1, 故-12x1- 2x2- 1,据此有 解得x1= ,x2=1 , 故存在两点 ,(1,1)满足题意.,考点二 定积分的运算及应用 1.(2018湖北孝感模拟,5)已知 dx= ,则m的值为( ) A. B. C.- D.-1,答案 B 由微积分基本定理得 dx=(ln x-mx) =m+1-me,结合题意得m+1-me= ,解 得m= .故选B.,2.(2017河南百校联盟4月模拟,7)已知 + =2 ,若 ,则 = ( ) A. B.- C. D.-,答案 C 由 + =2 sin +cos =2 sin cos sin = sin 2,因为 ,所以= ,所以tan =1,故 = = = .,3.(2019广东汕头二模,6)已知函数f(x)= 则 f(x)dx= ( ) A.1+ B. + C.1+ D. +,答案 B f(x)dx= (x+1)dx+ dx= + = + ,故选B.,4.(2019湖南醴陵模拟,5) (3x2+k)dx=10,则k= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 A (3x2+k)dx=(x3+kx) =23+2k.由题意得23+2k=10,k=1.故选A.,5.(2019湖北黄冈模拟,7) dx= ( ) A.8 B.4 C.2 D.,答案 A cos =-sin x,令y= (y0),两边平方得y2=16-x2,则有x2+y2=16,所以函数y= 在x-4,4上的图象是圆x2+y2=16的上半部分,所以 = = dx- sin xdx=8+cos x =8,故选A.,6.(2019安徽合肥模拟,14) ( +x)dx= .,答案 +2,解析 ( +x)dx= dx+ xdx,令y= (y0),得x2+y2=4,又圆x2+y2=4的面积为4, 由定积分的几何意义可得, dx=,又 xdx= x2 =2, =+2.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:30分钟 分值:35分 一、选择题(每题5分,共20分),1.(2018湖南株洲二模,9)设函数y=xsin x+cos x的图象在点(t, f(t)处的切线斜率为g(t),则函数y= g(t)图象的一部分可以是 ( ),答案 A 由y=xsin x+cos x可得y=sin x+xcos x-sin x=xcos x.则g(t)=tcos t,y=g(t)是奇函数,排除 选项B,D;当x 时,y0,排除选项C.故选A. 思路分析 求出函数的导函数,得到切线斜率的解析式,然后判断图象. 易错警示 求导时注意不要计算错误.,2.(2017江西南昌联考,11)已知函数f(x)是定义在(0,+)上的可导函数, f (x)为其导函数,当x0 且x1时, 0,若曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为- ,则f(1)= ( ) A.0 B.1 C. D.,答案 C 当x0且x1时, 0,可得x1时,2f(x)+xf (x)0;01时,g(x)0;00构造函数g(x)=x2f(x),进而判断出x=1是g(x)的极值点是解题的关键.,3.(2019江西吉安一模,7)过点P(1,1)且与曲线y=x3相切的直线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案 C 当点P为切点时,y=3x2,y|x=1=3,则曲线y=x3在点P处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x -y-2=0.当点P不是切点时,设直线与曲线切于点(x0,y0)(x01),则k= = = +x0+1.y=3x2, y =3 ,2 -x0-1=0,x0=1(舍)或x0=- ,过点P(1,1)与曲线y=x3相切的直线方程为3x-4y+1=0.综上,过点P的切线有2条,故选C. 方法总结 有关切线问题的处理方法:1.判断切点,有切点可直接用,无切点则设出切点;2.斜率 k=f (x0),则切线l:y-y0=f (x0)(x-x0);3.必要时要根据y0=f(x0)以及(x0,y0)在切线上求x0.,4.(2019河南洛阳二模,10)已知a0,曲线f(x)=3x2-4ax与g(x)=2a2ln x-b有公共点,且在公共点处的 切线相同,则实数b的最小值为 ( ) A.0 B.- C.- D.-,答案 B 设曲线y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点P(x0,y0)处的切线相同,因为f (x)=6x-4a,g(x)= ,由题意得f(x0)=g(x0),f (x0)=g(x0),所以3 -4ax0=2a2ln x0-b,6x0-4a= ,得x0=a或x0=- a(舍去), 即有b=a2+2a2ln a.令h(t)=t2+2t2ln t(t0),则h(t)=4t(1+ln t),当4t(1+ln t)0,即t 时,h(t)0,当4t(1+ ln t)0,即0t 时,h(t)0.故h(t)在 上为减函数,在 上为增函数,于是h(t)在(0,+)上 的最小值为h =- ,故b的最小值为- .故选B.,二、填空题(每题5分,共5分) 5.(2019湖北汉阳模拟,14)考虑函数y=ex与函数y=ln x的图象关系,计算 ln xdx= .,答案 e2+1,解析 如图所示,函数y=ln x与函数y=ex的图象关于直线y=x对称,结合图象可知,图中两个阴影 部分区域的面积相等,所以 ln xdx= (e2-ex)dx=(e2x-ex) =e2+1. 思路分析 作出函数y=ln x、y=ex以及y=x的图象,利用函数y=ln x与函数y=ex的图象关于直线y =x对称,得出 ln xdx= (e2-ex)dx,利用定积分公式进行计算可得出答案. 解题关键 本题考查定积分的计算,解决本题的关键在于利用函数图象的对称性进行转化,考 查计算能力与推理能力.,三、解答题(共10分),6.(2019安徽黄山二模,21)已知函数f(x)=ln x+x,直线l:y=2kx-1. (1)设P(x,y)是y=f(x)图象上一点,O为原点,直线OP的斜率k=g(x),若g(x)在x(m,m+1)(m0)上存 在极值,求m的取值范围; (2)是否存在实数k,使得直线l是曲线y=f(x)的切线?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由; (3)试确定曲线y=f(x)与直线l的交点个数,并说明理由.,解析 (1)g(x)= = (x0),g(x)= ,令g(x)=0,解得x=e. 由题意得00),得k= (x0). 令h(x)= (x0),h(x)= , 由h(x)=0,解得x=1.,h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减, h(x)max=h(1)=1,又x0时,h(x)-,x+时,h(x)= + , k 1时,曲线y=f(x)与