《应用统计学》第8章：两个总体的假设检验

1,本章教学目标 掌握运用 Excel 的“数据分析”及其统计函数功能求解两个总体的假设检验问题。,第8章 两个总体的假设检验,2,本章主要内容：,8.1 案例介绍 8.2 两个独立正态总体均值的检验 8.3 成对样本试验的均值检验 8.4 两个正态总体方差的检验(F检验) 8.5 两个总体比例的检验 8.6 两个总体的假设检验小结,3,【案例1】新工艺是否有效？ 某厂生产的一种钢丝的平均抗拉强度为 10560 (kg/cm2)。 现采用新工艺生产了一种新钢丝，随机抽取 10 根，测得抗拉强度为： 10512, 10623, 10668, 10554, 10776 10707, 10557, 10581, 10666, 10670 求得新钢丝的平均抗拉强度为 10631.4(kg/cm2)。 是否就可以作出新钢丝的平均抗拉强度高于原钢丝，即新工艺有效的结论?,8.1 案例介绍,4,为分析甲、乙两种安眠药的效果，某医院将20个失眠病人分成两组，每组10人，两组病人分别服用甲、乙两种安眠药作对比试验。试验结果如下： 两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时),(1)哪种安眠药的疗效好？ (2)如果将试验方法改为对同一组10个病人，每人分别服用甲、乙两种安眠药作对比试验，试验结果仍如上表，此时结论如何？,案例1哪种安眠药的疗效好？,5,设总体 X1 N ( 1, 12)，,X2N ( 2, 22)，,且 X1和 X2 相互独立。,和 S12, S22 分别是,它们的样本的均值和样本方差，,样本容量分别为,n1和 n2。,原假设为,H0：1 = 2,8.2 两个独立正态总体均值的检验,6,可以证明，当 H0 为真时，统计量,其中：,完全类似地，可以得到如下检验方法：, t ( n1+n2-2 ),称为合并方差。,1. 12 = 22 = 2，,但 2 未知,( t 检验 ),7,测得甲, 乙两种品牌轿车的首次故障里程数数据如下： 甲品牌 X1：1200, 1400, 1580, 1700, 1900 乙品牌 X2：1100, 1300, 1800, 1800, 2000, 2400 设 X1和 X2 的方差相同。问在水平 0.05 下， (1)两种轿车的平均首次故障里程数之间有无显著差异? (2)乙品牌轿车的平均首次故障里程是否比甲品牌有显著提高?,【案例2】轿车质量差异的检验,8,解：,双边检验问题,S12=269.62，,S22=471.92,12 = 22 = 2 未知，,n1= 5，,H0：1= 2,H1：12。,由所给数据，可求得, | t | = 0.74, t/2 (n1+n2-2),= t0.025(9),故两种轿车的平均首次故障里程间无显著差异，,即两种轿车的该项质量指标是处于同一水平的。,n2= 6，,= 2.2622,9,(2)左边检验, t = - 0.74 -t(n1+n2-2) = -t0.05(9) = -1.833 故乙品牌轿车平均首次故障里程并不显著高于甲品牌。 显然，对给定的水平 ，若单边检验不显著，则双边检验肯定不显著。 但反之却不然，即若双边检验不显著，单边检验则有可能是显著的。,H1：12,10,用 Excel 检验两总体均值,可用 Excel 的【工具】“数据分析”“ t检验：双样本等方差假设”，检验 12=22= 2，但 2未知时两个总体的均值。,在Excel 的输出结果中： “P(T=t)单尾”,t (统计量),0,f (t),“P(T=t)单尾”的值(概率),单边检验达到的临界显著性水平；,“P(T=t)双尾”,双边检验达到的临界显著性水平。,由图可知：,P(T=t)双尾 = 2P(T=t)单尾,“P(T=t)单尾”和“P(T=t)双尾”统称为“ p 值 ”。,11,“P(T=t)单尾”与“P(T=t)双尾”的使用,从而，若 “P(T0.05，则结果为不显著； “P(T0.05； “P(T0.05， 故无论单边还是双边检验结果都不显著。,t,t,“P(T=t)单尾”,由图可知：,t t,等价于,“P(T=t)单尾” ,t t/2,等价于,“P(T=t)双尾” ,12,此时，可用 Excel 的【工具】“数据分析” “ t 检验：双样本异方差假设” 检验 1222且都未知时两个正态总体的均值。,2. 1222 且未知,13,为分析甲、乙两种安眠药的效果，某医院将20个失眠病人分成两组，每组10人，两组病人分别服用甲、乙两种安眠药作对比试验。试验结果如下： 两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时),(1)两种安眠药的疗效有无显著差异？ (2)如果将试验方法改为对同一组10个病人，每人分别服用甲、乙两种安眠药作对比试验，试验结果仍如上表，此时两种安眠药的疗效间有无差异？,【案例1】哪种安眠药的疗效好？,14,(1)设服用甲、乙两种安眠药的延长睡眠时间分别为X1, X2，,故不能拒绝H0，两种安眠药的疗效间无显著差异。 用Excel 求解本案例,S22=1.7892,S12=2.0022，,案例 1 解答,X1N( 1, 2)，,X2N( 2, 2)，,n1 = n2 =10。,由试验方法知 X1, X2 独立。,H0：1=2，H1：12 由表中所给数据，可求得：,15,故两种安眠药疗效间的差异是高度显著的！,= 4.0621,8.3 成对样本试验 案例 1 (2)解答,由于此时 X1, X2 为同一组病人分别服用两种安眠,药的疗效，,因此 X1, X2 不独立，,属于成对样本试验。,对于这类“成对样本试验”的均值检验，,应当化,为单个正态总体的均值检验。,方法如下：,设 X=X1-X2,(服用甲、乙两种安眠药延长睡眠时,间之差)，,则 XN ( , 2 )。,H0： = 0，,H1：0,由表中所给数据，可求得,S =1.23，,n =10, t 0.005(9) = 3.2498,16,可用 Excel 的【工具】“数据分析”“ t检验：平均值的成对二样本分析” 进行成对样本试验的均值检验。,用 Excel 求解,本例中“P(T=t)双尾”= 0.0028 0.01， 故两种安眠药的疗效间存在高度显著差异。,17,1. F 分布,设 X 2(n1)，,Y 2(n2)，,且 X 和 Y 相互独立，,则随机变量,服从自由度为( n1, n2 )的 F 分布，,记为,F F ( n1, n2 ),n1 为第一(分子的)自由度，,n2 为第二(分母的)自由度。,8.4 两个正态总体方差的检验,18,F 分布密度函数的图形,x,f (x),0,n1=20, n2=10,n1=20, n2=25,n1=20, n2=100,19,F 分布的右侧 分位点 F ( n1, n2 ),F 分布的右侧 分位点为满足 P F F ( n1, n2 ) = 的数值 F (n1, n2)。,F( n1, n2 ),F (n1, n2)有以下性质： F1- (n1, n2)=1/F(n2, n1) 利用上式可求得 F 分布表中未给出的 值的百分位点。,如 F0.95(10, 15) = 1/F0.05(15, 10),20,可用 Excel 的统计函数 FINV 返回 F(n1，n2)。 语法规则如下： 格式：FINV( , n1, n2 ) 功能: 返回 F ( n1, n2 )的值。,用 Excel 求 F( n1, n2 ),21,2. 两总体方差的检验 ( F 检验 ),原假设为 H0：12=22。,完全类似地，可以得到如下检验方法：, F ( n1-1, n2-1 ),当 H0为真时，,统计量,22,【例2】在 0.20下，检验【案例3】中两个正态总体的方差是否存在显著差异。,解：由题意，H0：12=22，H1：1222，n1=5，n2=6 由例5的计算结果，S12=269.62，S22=471.92,= 0.326,F/2(n1-1, n2-1),= F0.1(4, 5),= 3.52,F1-/2(n1-1, n2-1),= F1-0.1(4, 5),=1/F0.1(5, 4),=1/4.05,= 0.247,F = 0.326,F1-0.1(4, 5) = 0.247, F0.1(4, 5) = 3.52,故在水平 = 0.20下，,12 与 22 间无显著差异。,可知案例4 中关于 12 = 22 的假定是合理的。 思考题：本例中为什么要将 取得较大？,23,可用 Excel 的【工具】“数据分析” “F检验： 双样本方差” 检验两个正态总体是否是同方差的。 在 Excel 的输出结果中 “P(F=f)单尾”与“P(T=t)单尾”的含义是相同的，即 p 值。,用 Excel 求解,本例中“P(F 0.20 故在在水平 0.20下，12 与 22 间无显著差异。,24,8.5 大样本两个总体比例的检验,设 P1, P2 分别是两个独立总体的总体比例，,原假设为,H0： P1 = P2,设 p1, p2 分别是它们的样本比例，,n1, n2 分别是它们的,样本容量。,则在大样本的条件下，,统计量,由此，可以得到如下检验方法：,25,【案例3】女企业家对成功的理解是否不同,对女企业家进行了一项研究来看她们对成功的理解。给她们提供了几个备选答案，如快乐/自我实现，销售/利润，成就/挑战。根据她们业务的总销售额将其分为几组。销售额在100万500万元的为一组，少于100万元的为另一组，要研究的问题是：把销售/利润作为成功定义的比率，前一组是否高于后一组？ 假定我们以总销售额对女企业家进行定位。我们采访了100名总销售额低于100万元的女企业家，她们中有24个将销售/利润定义为成功。随后我们又采访了95名总销售额在100万500万元的女企业家，其中有39人把销售/利润定义为成功。问在显著性水平0.01下，两组中将销售/利润定义为成功的比率是否有显著的差异。,26,两个总体的假设检验小结,27,小样本总体比例值的参数检验问题（补充）,【案例】招聘测试问题 某公司人力资源部要要招聘若干名某专业领域的工程师。出了10道选择题，每题有4个备选答案，其中只有一个是正确地。或者说，正确的比率只有0.25。问至少应当答对几道，才能考虑录取？ 分析：总体是01分布，B(1,p)。应聘者答对了X取值为1；答错了，X取值为0。一个完全瞎猜的应聘者，答对的概率应当是0.25，即p=0.25。,28,29,课堂练习 1 解答,故 2 的 95% 置信区间为 (0.00016, 0.00114),30,课堂练习 2 解答,故 的 95% 置信区间为,31,课堂练习 3 解答,由所给数据，,可求得,S = 0.00554, H0： = 0.5，H1：0.5，, = 0.20，/2 = 0.10,拒绝 H0，,包装机重量设定不正确，,应重新调整。,由于对于本问题，,犯第一类错误,(包装机重量设定,正确但判定不正确),的损失很小；,而犯第二类错误,(包装机重量设定不正确但判定正确),的损失很大，,因此应控制犯第二类错误的概率，