《线性代数》第二章：矩阵

1,第二章 矩阵,【学习要求及目标】通过本章的学习使学生： （1）理解矩阵的概念及某些特殊矩阵-单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵及反对称矩阵，了解这些矩阵的性质. （2）熟练掌握矩阵的线性运算（即矩阵的加法及矩阵的数乘）、矩阵的乘法、转置、方阵的行列式、分块矩阵的运算，以及它们的运算规律. （3）理解逆矩阵的概念，了解逆矩阵的性质及其存在的充分必要条件，掌握求逆矩阵 的各种方法. （4）掌握矩阵的初等变换，理解初等矩阵及矩阵等价的概念. （5）理解矩阵的秩，会用初等变换法求矩阵的秩.,山西大学商务学院,线性代数,2,矩阵是代数研究的主要对象和工具它在数学以及自然科学、工程技术、经济学、管理学及社会科学中有着广泛的应用.著名的列昂节夫就是利用矩阵这一数学工具建立起投入产出模型，并在实践中取得了极大成功的.在本课程中，矩阵是研究线性变换、向量的线性相关性、线性方程组求解等有力且不可替代的工具，在线性代数中具有重要的地位.,山西大学商务学院,线性代数,3,2.1矩阵的概念,内容要点： 矩阵的定义及相关概念 两矩阵相等的概念 矩阵的定义 某市储蓄所开办了一年期、三年期、五年期、八年期四种档次的储蓄业务，1999年第一季度各月吸收各类储蓄存款的情况如表2.1.1所示：,山西大学商务学院,线性代数,4,表 2.1.1,山西大学商务学院,线性代数,种类,数额,月份,5,在生产实践和经济活动中经常使用上述这种表的方法解决一些实际问题.所以产生了矩阵的概念. 定义2.1.1 由 个数 排成的一个m行、n列的矩形表， 称为矩阵. 记为,山西大学商务学院,线性代数,6,其中每一横排和竖排分别称为矩阵的行和列， 称为矩阵的第 行第 列的元素.通常用大写字母A,B,C 表示矩阵.例如：,山西大学商务学院,线性代数,A=,是2X3矩阵,为了标明矩阵的行数m和列数n，可用表示 ，或记为 .,7,元素是实数的矩阵称为实矩阵.例如： 元素是复数的矩阵为复矩阵，本书中如不特别说明都是指实矩阵. 例如： 所有元素均为零的矩阵成为零矩阵，记为O； 例如： 所有元素均为非负数的矩阵称为非负矩阵； 例如：,山西大学商务学院,线性代数,8,若矩阵 A 的行数与列数都等于n，则称 A为n阶方阵，记为 就是三阶方阵 在n阶方阵A 中， 称为主对角线上的元素. 注意：矩阵与行列式是完全不同的两个概念.n阶方阵是由 个数排成的n行n 列的表，而n阶行列式是由 个数按一定运算规律所确定的数值.,山西大学商务学院,线性代数,9,把方阵A 中各元素变为相反数得到的矩阵，称为的A负矩阵，记为 A，那么 -A .例如： A 则-A 称为A的负矩阵. 如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数，则称这两个矩阵为同型矩阵,山西大学商务学院,线性代数,10,2.1.2矩阵的相等 定义2.1.2 如果矩阵A,B为同型矩阵，且对应元素相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B . 即 若 则A=B. 例2.1.2 设 已知 A=B, 求: X，Y，Z. 解 由于 所以,山西大学商务学院,线性代数,.,11,2.2矩阵的运算 内容要点： 矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 线性方程组的矩阵表示 几种特殊矩阵 转置矩阵及其性质 方阵的行列式 方阵的幂,山西大学商务学院,线性代数,12,2.2.1矩阵的加法 定义2.2.1 设有两个 矩阵 A与B之和记作A+B规定为,山西大学商务学院,线性代数,13,只有两个同性矩阵才能进行加法运算.两个同型矩阵的和即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 由此规定矩阵的减法为：,山西大学商务学院,线性代数,=,14,矩阵的加法满足下列运算规律： 设 都是 矩阵 交换律 结合律 若 则有 若 ，则有： 若 则有 . .,山西大学商务学院,线性代数,15,2.2.2.矩阵的数乘 定义2.2.2 设A是一个 矩阵， k是一个数，数kl与矩阵A的乘积记作 规定为,山西大学商务学院,线性代数,数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.,16,矩阵的数乘满足下列运算规律： 设 都是 矩阵，k,l是数，则 (1) (2) (3) (4) (5),山西大学商务学院,线性代数,17,例2.2.1 ， ， 求3A2B. 解 3A2B3 2 ,山西大学商务学院,线性代数,18,2.2.3矩阵的乘法 定义2.2.3,山西大学商务学院,线性代数,19,矩阵A与矩阵B的乘积记作AB, 规定为 其中,山西大学商务学院,线性代数,记号AB常读作A左乘B或B右乘 A,20,从定义可以看出矩阵乘法的两个要点： 只有 相乘只有左边矩阵A的列数与右边矩阵B的行数相等时才能相乘，得到的积矩阵AB的行数等于A的行数，列数等于B的列数； 的乘积 的第i行和第j列的元素 是A的第i行与的B第j列对应元素乘积之和.即,山西大学商务学院,线性代数,21,例2.2.2 若 求AB 解 = =,山西大学商务学院,线性代数,22,= = 矩阵乘法不适合交换律。,山西大学商务学院,线性代数,23,矩阵乘法不适合消去律 注意矩阵乘法满足下列运算规律（假设运算可行） 乘法结合律 分配率 ，这里K是一个数,山西大学商务学院,线性代数, 但 可能为零，,24,定义2.2.4 如果两矩阵相有 ，则称矩阵A与矩阵B可交换 我们可以看出：对于任何矩阵A有， ，可见在单位矩阵中类似于1的作用. 定理2.2.1 设B是一个n阶矩阵，则B是一个数量矩阵的充分必要条件B是与任何n阶矩阵可交换.,山西大学商务学院,线性代数,25,定理2.2.2 设A,B均为n阶矩阵，则下列命题等价： ； ,山西大学商务学院,线性代数,26,2.2.4线性方程组的矩阵表示 设有线性方程组 若记,山西大学商务学院,线性代数,27,则利用矩阵的乘法, 线性方程组(2.2.1)可表示为矩阵形式： (2.2.2) 其中矩阵A称为线性方程组(2.2.1)的系数矩阵.，方程(2.2.2)又称为矩阵方程. 如果是 方程组(2.2.1)的解, 记列矩阵 则,山西大学商务学院,线性代数,28,这时也称C是矩阵方程(2.2.2)的解; 反之, 如果列矩阵C是矩阵方程(2.2.2)的解, 即有矩阵AC=b等式成立, 则 即 也是线性方程组(2.2.1)的解. 这样, 对线性方程组(2.2.1)的讨论便等价于对矩阵方程(2.2.2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为 将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的,山西大学商务学院,线性代数,29,2.2.5 几种特殊矩阵 行矩阵，列矩阵 只有一行的矩阵 称为行矩阵或行向量.记为. 只有一列的矩阵 称为列矩阵或列向量. 为了书写的方便，记为,山西大学商务学院,线性代数,30,三角阵 如果n阶方阵A 中元素满足条件 （ij）（， 则称 A为n阶上三角矩阵. 即,山西大学商务学院,线性代数,这种记法表示没标明的元素全为零，下同.,31,如果n阶方阵A 中元素满足条件 （ij）（ ，则称 A为n阶下三角矩阵. 即 若为A,B同阶同型三角形矩阵，则A+B，kA(K为常数），AB一定是同型三角形矩阵.,山西大学商务学院,线性代数,32,(2)对角阵 在n阶方阵A 中元素满足 ，则称A为对角阵. 若A,B为同阶同型对角矩阵，则 ， 一定是同型对角矩阵,山西大学商务学院,线性代数,33,数量阵 在n阶对角阵A 中元素满足 ，则A称为数量阵.即 易见 n 阶数量矩阵A,山西大学商务学院,线性代数,34,数量阵有如下性质： 设 B= （i),山西大学商务学院,线性代数,（这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零），则,35,(ii) (iii),山西大学商务学院,线性代数,36,（）设 ，B为任意的n阶矩阵，则,山西大学商务学院,线性代数,37, 单位阵在n阶对角阵A 中元素满足 ，则称A为n阶单位阵.记作 或 ，简记为E或I. 即 易见对于任意一个矩阵 ，有 ，可见单位阵E在矩阵中的作用类似于数1.,山西大学商务学院,线性代数,38, 对称矩阵 设A为n阶方阵, 如果 即 则称A为对称矩阵. 例2.2.3 设A与B是两个n阶反对称矩阵, 证明: 当且仅当 时, AB是反对称矩阵. 证明 因为A与是BF反对称阵，故 若 时， 所以AB是反对称矩阵. 反之，AB若是反对称矩阵，据定义有 时，则 所以有,山西大学商务学院,线性代数,39, 共轭矩阵 设 为复矩阵, 记 其中 表示 的共轭复数, 称A为的共轭矩阵. 共轭矩阵满足以下运算规律： 设A,B为复矩阵,k为复数, 且运算都是可行的: (1) (2) (3),山西大学商务学院,线性代数,40,2.2.6矩阵的转置 定义2.2.5 把矩阵A的行变为相应的列得到的新矩阵, 称为A的转置矩阵, 记作 (或 ).即若 则,山西大学商务学院,线性代数,41,矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的): (1) (2) (3) (4),山西大学商务学院,线性代数,42,例2.2.4 已知 求 所以 解法1 解法2 =,山西大学商务学院,线性代数,43,2.2.7方阵的行列式 定义2.2.6 由n阶方阵A的元素且各元素的位置不变所构成的行列式，称为方阵A的行列式,记作 或 注意 方阵与行列式是两个不同的概念, n阶方阵是 个数按一定方式排成的数表,而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）. 方阵A的行列式 的性质 设A，B为n阶方阵, k为常数: (1) (2) (3) 且有：,山西大学商务学院,线性代数,44,证明 (1)，(2)显然，现证(3) 设 ，构造2n阶行列式 由拉普拉斯定理知 ，而在D，中以 乘第1列，以 乘第2列，以 乘第n列，都加到第 列上有,山西大学商务学院,线性代数,45,其中 ， ， 故有 再对D的行作 ，有 从而 所以,山西大学商务学院,线性代数,46,2.2.8方阵的幂 定义2.2.7 设方阵, 规定： 称为A的n次幂. 方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）： (1) (2) 一般地 m 为自然数 注意 设A.B均为n阶矩阵， 则有 m为自然数，反之不成立.,山西大学商务学院,线性代数,47,2.2.8方阵的幂 例2.2.5 求， 解,山西大学商务学院,线性代数,48,2.3 逆 矩 阵 内容要点： 逆矩阵的概念 伴随矩阵及其与逆矩阵的关系 逆矩阵的性质 矩阵方程,山西大学商务学院,线性代数,49,2.3.1逆矩阵的概念 上一节讨论了矩阵的加、减、数乘、乘法运算，大家可能要问矩阵运算中有没有除法运算呢？这一节我们来研究这个问题. 我们来看：在数的运算中，对于任意一个数 ，总存在唯一一个数 ，使得 .而上一讲我们讨论单位矩阵时得出，单位阵E在矩阵中相当于数1的作用，那么存在相当于数 作用的矩阵吗？ 即 ，相仿地我们引入了逆矩阵的概念. 定义2.3.1 设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B, 使得 （E为n阶单位矩阵）则称矩阵是A可逆的，简称A为可逆阵,而称矩阵B为A的逆矩阵，记作 注意 若方阵A可逆，则存在方阵 使得. 由定义可以看出A可逆，B也可逆，且互为逆矩阵，即 .同时 那么什么样的矩阵可逆呢？例如 是不可逆的，下面我们来研究这个问题.,山西大学商务学院,线性代数,50,定理2.3.1 若方阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的. 证明 设B,C均A是的逆矩阵，则有 . 故的A逆矩阵是唯一的.,山西大学商务学院,线性代数,51,例2.3.1 设 ，求A的逆矩阵. 解 利用待定系数法，设A的逆矩阵 则由逆矩阵定义有,山西大学商务学院,线性代数,即,52,山西大学商务学院,线性代数,得到,所以,又因为,故所求逆矩阵为,53,2.3.2伴随矩阵及其与逆矩阵的关系 下面要解决的问题是：在什么样的条件下，矩阵A是可逆的？如果A可逆，如何求 呢？ 定义2.3.2 若n阶方阵A的行列式 ,则称A为非奇导的（或称非退化阵）,否则称A为奇异的（或称为退化阵）. 定义2.3.3 行列式 的各个元素的代数余子式 按如下方式所构成的矩阵,山西大学商务学院,线性代数,称为A的伴随矩阵.,54,山西大学商务学院,线性代数,由定理1.4.1 可得出：,55,定理2.3.2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是其行列式 . 且当A可逆时, 有,山西大学商务学院,线性代数,其中A为伴随矩阵.,证明: 必要性 A可逆定义知，一定存在n阶方阵B满足 从而 . 因此， ，同时.,56,充分性 设 ， 则上式（2.3.1）知 当且仅当 时， 有 类似地可得 时， 有 ，由定义1知，矩阵A可 逆，且 由此也得到伴随矩阵的一个性质：,山西大学商务学院,线性代数,57,推论1 若 ，则 . 证明 由 ，得 ，得 ,故 ， 且,山西大学商务学院,线性代数,58,例2.3.2 求 的逆矩阵,山西大学商务学院,线性代数,解,59,山西大学商务学院,线性代数,60,2.3.3逆矩阵的性质 若方阵A可逆，则 也可逆，且 若方阵A可逆，k一个非零数，则kA也是可逆的，且 若A,B是同阶可逆矩阵，则AB也是可逆的，且 此性质可以推广至任意有限个同阶可逆矩阵的情形，即若 均是n阶可逆矩阵，则 也可逆,且 若方阵A可逆，则 也是可逆的，且,山西大学商务学院,线性代数,61,2.3.4矩阵方程 对标准矩阵方程 利用矩阵乘法的运算规律和逆矩阵的运算性质，通过在方程两边左乘或右乘相应矩阵的逆矩阵，可求出其解分别为,山西大学商务学院,线性代数,62,例2.3.3利用逆矩阵求解下列方程组,山西大学商务学院,线性代数,解 这个方程组的系数矩阵与例2.3.2相同，其逆矩阵已知,则这个线性方程组可写成矩阵方程：,其中,即,则,63,2.4 分 块 矩 阵 内容要点： 分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 2.4.1分块矩阵的概念 对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，使原矩阵的结构显得简单而清晰. 定义2.4.1 将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵，每个小矩阵称为大矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定,山西大学商务学院,线性代数,64,例如， 设矩阵 则A就是一个分块 矩阵. 若记,山西大学商务学院,线性代数,则A可表示为,这是一个分成了4块的分块矩阵.,65,2.4.2分块矩阵的运算 分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即内外都能运算. 1.分块矩阵的加法 设矩阵与的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若 其中 与 的行数相同、列数相同, 则,山西大学商务学院,线性代数,66,2.分块矩阵的数乘 设矩阵 ， k为一个数,则,山西大学商务学院,线性代数,67,3分块矩阵的乘法 设A为 矩阵, B为 矩阵, 分块成 其中 的列数分别等于 的行数, 则 其中,山西大学商务学院,线性代数,68,4.分块矩阵的转置 5 准对角阵 设A为n阶矩阵, 若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即,山西大学商务学院,线性代数,设,则,其中 都是方阵, 实际是分块矩阵的对角阵，定义为准对角阵,69,准对角矩阵具有以下性质： (1) 若 ，则 ，且 (2) (3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。即 设 ,山西大学商务学院,线性代数,70,山西大学商务学院,线性代数,则,71,6.分块三角阵 形如 或 的分块矩阵，分别称为上三角分块矩阵或下三角分块矩阵，其中 是方阵. 同结构的上（下）三角分块矩阵的和、差、积、商仍是上（下）三角分块矩阵.,山西大学商务学院,线性代数,72,2.5 矩阵的初等变换 内容要点： 矩阵的初等变换 初等矩阵 初等变换法求逆矩阵 用初等变换法解矩阵方程 2.5.1矩阵的初等变换 在计算行列式时，利用行列式的性质可以将给定的行列式化为上（下）三角形行列式，从而简化行列式的计算，把行列式的某些性质引用到矩阵上，会给我们研究矩阵带来很大方便，这些性质反映到矩阵上就是矩阵的初等变换. 定义2.5.1 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等行变换： 交换矩阵的两行； 以一个非零数k乘矩阵的某一行； 把矩阵的某一行的k倍加到另一行 同理，把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，初等行变换与初等列变换统称为初等变换.,山西大学商务学院,线性代数,73,我们为了书写的方便规定几种简化符号 交换行（列）记为. 第i行（列）乘以不为零的数k，记为的 以数k乘以第j行（列）加到第i行（列）记为 注意 初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同. 定义2.5.2 若矩阵过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价.记为 .矩阵之间的等价关系具有下列基本性质： 自反性： . 对称性： 若 ，则 传递性： 若 ， ，则,山西大学商务学院,线性代数,74,例2.5.1 已知矩阵 ，对其作如下初等行变换,山西大学商务学院,线性代数,75,这里的矩阵B依其形状的特征称为. 我们把满足下列条件的矩阵称为行阶梯形矩阵： 元素全为零的行（简称零行）依次位于矩阵的下方或最下方； 各非零行的手非零元（从左至右的第一个不为零的元素）的列标随着行的增大而严格增大（或者说列标一定不小于行标）.,山西大学商务学院,线性代数,76,对例2.5.1中矩阵 再作初等行变换,山西大学商务学院,线性代数,77,称这种特殊形状的阶梯矩阵C为行最简矩阵： 各非零行的收费零元都是1 每个首非零元所在列的其余元素都是零. 如果对上述矩阵作初等列变换： 这里的矩阵D称为原矩阵A的标准形,山西大学商务学院,线性代数,78,定理2.5.1 任意一个矩阵 与一形为 的矩阵等价，它被称为矩阵A的标准形.左上角是一个单位矩阵，其余元素全是零. 证明 如果A=0，那么它已经是标准形了.以下不妨 ，设经过初等变换，A一定可以变成一左上角元素不为零的矩阵.当 时，以 乘第一行加至第 行上，以 乘所得矩阵的第一列加至第 列上，然后以 乘第一行,A就变为,山西大学商务学院,线性代数,79,是一个 矩阵，对 重复以上步骤，这样下去就可得出所要的标准形了. 推论1 任一个矩阵总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并进而化为行最简形矩阵. 推论2 若A为n阶可逆阵，则A与单位 阵等价.即,山西大学商务学院,线性代数,80,例.将矩阵下列矩阵A为标准形,山西大学商务学院,线性代数,解：,81,2.5.2初等矩阵 定义2.5.3 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，三种初等变换对应着三种初等矩阵. E 的第 行（列）互换得到的矩阵,山西大学商务学院,线性代数,82, E的第i行（列）乘以非零数k得到的矩阵 E的第j行乘以数k加到第i行上,或E的第i列乘以数k加到第j列上得到的矩阵,山西大学商务学院,线性代数,83,初等矩阵具有以下性质： ; ， ， 定理2.5.2 设A是一个 矩阵, 对A施行一次某种初等行(列)变换, 相当于用同种的 阶初等矩阵左（右）乘A,山西大学商务学院,线性代数,84,.,山西大学商务学院,线性代数,在2.3中，给出了矩阵可逆的充分必要条件的同时，也给出了利用伴随矩阵求逆矩阵的方法，但对于较高阶的矩阵，用伴随矩阵的方法求逆计算量太大，下面计算一种较为简便的方法初等变换法.,定理2.5.3,阶方阵,可逆的充分必要条件是,2.5.3 初等变换法求逆矩阵,证明 因为初等矩阵是可逆的，充分条件是显然的,必要性 设矩阵,可逆，则由定理2.5.1的推论2,与,与,与,与,与,等价即：,.,经过有限次初等变换可以化为,即存在初等矩阵,使得,使得,所以,85,每一个初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵， 故 可以表示为若干初等矩阵的乘积.,山西大学商务学院,线性代数,若,可逆，则,也可逆，根据上述定理，则存在,初等矩阵,使得,因为,所以,（2.5.1）式表示对,施以若干次初等行变换可化为,可逆，则,可逆，则,施以若干次初等行变换可化为,（2.5.2）式表示对,施以相同的若干次初等行变换.,86,可化为 .于是得到初等变换求逆法：,山西大学商务学院,线性代数,于是得到初,等变换求逆法：,构造一个,阶矩阵,，然后对其施以初,等行变换将左一半矩阵,化为单位矩阵,，则这时,右一半单位矩阵,，则这时,，则这时,就化为,了.,例：设,求,等变换求逆法：,87,解,山西大学商务学院,线性代数,故，,88,2.5.4.用初等变换法解矩阵方程,山西大学商务学院,线性代数,设矩