（课标专用）2020届高考数学一轮复习第九章直线与圆的方程9.1直线方程与圆的方程课件.pptx

第九章 直线与圆的方程 9.1 直线方程与圆的方程,高考文数 (课标专用),(2018课标全国,20,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A, B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0). 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. =16k2+160,故x1+x2= . 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)= . 由题设知 =8, 解得k=-1(舍去)或k=1. 因此l的方程为y=x-1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2), 所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3), 即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得 或 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.,方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应重视 利用根与系数的关系进行整体运算的方法和技巧.一般地,求直线和圆的方程,常利用待定系数 法.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 直线的方程与两直线的位置关系 (2016四川,10,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)= 图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直 相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+) D.(1,+),答案 A 设l1是曲线y=-ln x(01)的切线,切点P2(x2,y2), 则易知l1:y-y1=- (x-x1), l2:y-y2= (x-x2), -得x= , 易知A(0,y1+1),B(0,y2-1), l1l2,- =-1, x1x2=1, SPAB= |AB|x|= |y1-y2+2|,= = = = = , 又01,x1x2=1, x1+x22 =2, 0SPAB1.故选A.,考点二 圆的方程 1.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 ( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2,答案 D 由题意得圆的半径为 ,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.,2.(2019北京,11,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为 .,答案 (x-1)2+y2=4,解析 本题考查了圆的方程和抛物线的方程与性质;考查了直线与圆的位置关系. 抛物线的方程为y2=4x,其焦点坐标为F(1,0),准线l的方程为x=-1.又圆与直线l相切,圆 的半径r=2,故圆的方程为(x-1)2+y2=4.,易错警示 由抛物线方程求焦点坐标时出错,从而导致错解.,3.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A (-2,-1),则m= ,r= .,答案 -2;,解析 本题考查直线与圆的位置关系,两条直线的垂直关系等知识点.通过圆的切线的性质考 查学生的直观想象能力,考查学生的数学运算的核心素养. 设直线2x-y+3=0为l,则ACl,又kl=2, kAC= =- ,解得m=-2,C(0,-2), r=|AC|= = .,一题多解 由题知点C到直线的距离为 , r=|AC|= . 由直线与圆C相切得 = ,解得m=-2, r= = .,4.(2018天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .,答案 x2+y2-2x=0,解析 本题主要考查圆的方程. 解法一:易知以(0,0),(1,1),(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形,其外接圆的圆心为(1,0),半 径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0. 解法二:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由已知条件可得 解得 所以所求圆的方程为x2+y2-2x=0.,方法总结 常见的求圆的方程的方法: (1)利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,从而写出圆的标准方程. (2)利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长,则常用标准方程求解;若所给 条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,则常用一般方程求解.,5.(2016浙江,10,6分)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .,答案 (-2,-4);5,解析 方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,故a=-1或2.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+ 8y+10=0,即x2+y2+x+2y+ =0,亦即 +(y+1)2=- ,不成立,故舍去;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+ 8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5.,评析 本题重点考查了圆的一般方程.圆的一般方程除了要求x2,y2的系数相等以外,还要注意 求出的圆的半径的平方必须为正.(对于x2+y2+Dx+Ey+F=0,要求D2+E2-4F0),6.(2016天津,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, )在圆C上,且圆心到直线2x-y= 0的距离为 ,则圆C的方程为 .,答案 (x-2)2+y2=9,解析 设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a0), 由题意可得 解得 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.,方法总结 待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为设出圆的方程;列出关于系 数的方程组,并求出各系数的值;检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时 也可利用圆的几何性质进行求解.,7.(2015湖北,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上 方),且|AB|=2. (1)圆C的标准方程为 ; (2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 .,答案 (1)(x-1)2+(y- )2=2 (2)- -1,解析 (1)记AB的中点为D,在RtBDC中,易得圆C的半径r=BC= .因此圆心C的坐标为(1, ),所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y- )2=2.(2)因为点B的坐标为(0, +1),C的坐标为(1, ), 所以直线BC的斜率为-1,所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y=x+ +1,故切线在 x轴上的截距为- -1.,8.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标; (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程; (3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不 存在,说明理由.,解析 (1)由已知得,圆C1的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0). (2)由题意可知,直线l的斜率必存在, 设直线l的方程为y=tx,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),线段AB的中点M(x0,y0) , 将y=tx代入圆C1的方程, 整理得(1+t2)x2-6x+5=0. 则有x1+x2= , 所以x0= ,代入直线l的方程,得y0= . 因为 + = + = = =3x0, 所以 + = . 又因为方程(1+t2)x2-6x+5=0有两个不相等的实根, 所以=36-20(1+t2)0, 解得t2 ,所以 x03.,所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为 +y2= . (3)由(2)知,曲线C: +y2= . 如图,D ,E ,F(3,0),直线L过定点G(4,0). 由 得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0. 当直线L与曲线C相切时,判别式=0,解得k= . 结合图形可以判断,当直线L与曲线C只有一个交点时,有kDGkkEG或k=kGH或k=kGI, 即k .,1.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 ( ) A.1 B.2 C. D.2,C组 教师专用题组,答案 C 由题意知圆心坐标为(-1,0), 将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0, 故圆心到直线的距离d= = .故选C.,易错警示 在应用点到直线的距离公式d= 时,一定要将直线方程化成一般形式, 正确写出A,B,C的值,此处符号易出现错误.,评析 本题考查圆的标准方程及点到直线的距离公式,属中档题.,2.(2013课标,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2 ,在y轴上 截得线段长为2 . (1)求圆心P的轨迹方程; (2)若P点到直线y=x的距离为 ,求圆P的方程.,解析 (1)设P(x,y),圆P的半径为r. 由题设得y2+2=r2,x2+3=r2. 从而y2+2=x2+3. 故P点的轨迹方程为y2-x2=1. (2)设P(x0,y0),由已知得 = . 又P在双曲线y2-x2=1上, 从而得 由 得 此时,圆P的半径r= . 由 得 此时,圆P的半径r= . 故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.,思路分析 (1)利用垂径定理求出圆心P的轨迹方程;(2)设出点P的坐标,由点到直线的距离公 式找出点P的坐标满足的关系,再结合点P在双曲线y2-x2=1上,联立得方程组,解方程组得到圆的 半径及圆心坐标,据此即可得圆P的方程.,考点一 直线的倾斜角与斜率,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019河北衡水十三中质检(四),1)直线2xsin 210-y-2=0的倾斜角是 ( ) A.45 B.135 C.30 D.150,答案 B 由题意得直线的斜率k=2sin 210=-2sin 30=-1,故倾斜角为135.故选B.,2.(2018江西赣州十四县期中,14)记直线l:2x-y+1=0的倾斜角为,则 +tan 2的值为 .,答案 -,解析 直线l:2x-y+1=0的斜率为2, tan =2, sin 2= = = = , tan 2= = =- , +tan 2= - =- .,考点二 直线的方程与两直线的位置关系 1.(2019湖北黄冈元月调研,4)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程 为 ( ) A.y-x=1 B.y+x=3 C.y=2x或x+y=3 D.y=2x或y-x=1,答案 D 当直线过原点时,可得斜率为 =2,故直线方程为y=2x; 当直线不过原点时,设方程为 + =1,把点(1,2)代入可得 - =1,解得a=-1,则方程为x-y+1=0, 故所求直线方程为y=2x或y=x+1,故选D.,名师点睛 本题主要考查直线的截距式方程,以及分类讨论思想的应用,属基本知识的考查.利 用截距式方程解题时,一定要注意直线的截距是不是零.,2.(2018广东揭阳一模,3)若直线l1:x-3y+2=0与直线l2:mx-y+b=0关于x轴对称,则m+b= ( ) A. B.-1 C.- D.1,答案 B 直线l1:x-3y+2=0关于x轴对称的直线为x+3y+2=0.由题意知m0. 因为mx-y+b=0,即x- + =0,且直线l1与l2关于x轴对称, 所以有 解得 则m+b=- + =-1.,3.(2019安徽江南十校二联,6)已知直线l1:mx-3y+6=0,l2:4x-3my+12=0,若l1l2,则l1,l2之间的距离 为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由于两条直线平行,所以m(-3m)-(-3)4=0,解得m=2,当m=2时,两直线方程都是2x-3y +6=0,故两直线重合,不符合题意.当m=-2时,l1:2x+3y-6=0,l2:2x+3y+6=0,故l1,l2之间的距离为 = .故选A.,4.(2018全国一模,6)已知直线l1:xsin +y-1=0,直线l2:x-3ycos +1=0,若l1l2,则sin 2= ( ) A. B. C.- D.,答案 D 因为l1l2,所以sin -3cos =0,所以tan =3, 所以sin 2=2sin cos = = = .故选D.,6.(2018河北唐山模拟,13)若直线l与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称,则l的方程是 .,答案 x-2y+2=0,解析 由 得 即两直线的交点坐标为(2,2), 在直线2x-y-2=0上取一点A(1,0), 设A关于直线x+y-4=0的对称点的坐标为(a,b), 则 即 解得 即对称点的坐标为(4,3), 则l的方程为 = , 整理得x-2y+2=0.,7.(2019湖南长沙雅礼中学月考,14)函数y=loga(x-1)+2(a0且a1)的图象必过点A,则过点A且 与直线2x+y-3=0平行的直线方程是 .,答案 2x+y-6=0,解析 由题意可得A(2,2), 所求直线与直线2x+y-3=0平行,所求直线斜率为-2, 所求直线方程为y-2=-2(x-2),即2x+y-6=0.,思路分析 由题意可得函数y=loga(x-1)+2(a0且a1)的图象必过点A(2,2),结合点斜式得到 所求直线的方程.,考点三 圆的方程 1.(2019河北石家庄一模,8)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等,且圆C过点(-1,0)和(2,3),则圆C 的半径为 ( ) A.8 B.2 C.5 D.,答案 D 解法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0).圆C经过点(-1,0)和(2,3), a+b-2=0, 又圆C截两坐标轴所得弦长相等,|a|=|b|, 由得a=b=1,圆C的半径为 ,故选D. 解法二:圆C经过点M(-1,0)和N(2,3),圆心C在线段MN的垂直平分线 y=-x+2上,又圆C截两坐 标轴所得弦长相等,圆心C到两坐标的距离相等,圆心C在直线y=x上,直线y=-x和直线y =-x+2平行,圆心C为直线y=x和直线y=-x+2的交点(1,1),圆C的半径为 .故选D.,2.(2018湖北荆州二模,8)圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k的值是 ( ) A.2 B.-2 C.1 D.-1,答案 B 圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称, 直线y=kx+3过圆心(1,1),即1=k+3,解得k=-2.故选B.,3.(2018山西孝义一模,8)已知P为直线x+y-2=0上的点,过点P作圆O:x2+y2=1的切线,切点为M,N, 若MPN=90,则这样的点P有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个,答案 B 连接OM,ON,则OM=ON,MPN=ONP=OMP=90, 四边形OMPN为正方形, 圆O的半径为1, |OP|= , 原点(圆心)O到直线x+y-2=0的距离为 , 符合条件的点P只有一个,故选B.,6.(2019福建厦门一模,15)在ABC中,AB=4,AC=2,A= ,动点P在以点A为圆心,半径为1的圆上, 则 的最小值为 .,答案 5-2,解析 如图,以点A为原点,AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间:30分钟 分值:50分) 一、选择题(每题5分,共35分),1.(2018福建闽侯期末,8)若圆过点(0,-1),(0,5),且被直线x-y=0截得的弦长为2 ,则圆的方程 为 ( ) A.x2+(y-2)2=9或(x+4)2+(y-2)2=25 B.x2+(y-2)2=9或(x-1)2+(y-2)2=10 C.(x+4)2+(y-2)2=25或(x+4)2+(y-2)2=17 D.(x+4)2+(y-2)2=25或(x-4)2+(y-1)2=16,答案 A 由于圆过点(0,-1),(0,5), 所以圆心在直线y=2上, 设圆心坐标为(a,2), 由题意得 = , 解得a=0或a=-4. 当a=0时,圆心坐标为(0,2),半径为3; 当a=-4时,圆心坐标为(-4,2),半径为5, 所以圆的方程为x2+(y-2)2=9或(x+4)2+(y-2)2=25.故选A.,2.(2017河南安阳二模,5)若平面内A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)三点共线,则a= ( ) A.1 或0 B. 或0 C. D. 或0,答案 A 平面内A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)三点共线,kAB=kAC, 即 = ,即a(a2-2a-1)=0, 解得a=0或a=1 .故选A.,3.(2018安徽安庆模拟,8)设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0,已知a,b是关于x的方程x2+ x+c=0的两个实根,且0c ,则这两条直线间距离的最大值为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 因为a,b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根, 所以a+b=-1,ab=c.因为直线x+y+a=0和x+y+b=0之间的距离d= , 所以d2= = , 因为0c , 所以 1-4c1, 所以 , 即d2 , 所以这两条直线之间的距离的最大值为 .故选B.,关键点拨 利用a,b是关于x的方程x2+x+c=0的实根得出a+b=-1,ab=c,写出两平行线之间距离 的表达式,然后求解即可.,4.(2017广东广州一模,7)已知动直线l0:ax+by+c-2=0(a0,c0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l0 的最大距离为3,则 + 的最小值为 ( ) A. B. C.1 D.9,答案 B 动直线l0:ax+by+c-2=0(a0,c0)恒过点P(1,m),a+bm+c-2=0. 又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3, =3,解得m=0. a+c=2. 又a0,c0, + = (a+c) = = ,当且仅当c=2a= 时取等号.故选B.,思路分析 由题意可得a+bm+c-2=0.又由Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3,可得 = 3,解得m=0.则a+c=2.再利用“乘1法”与基本不等式即可得出答案.,5.(2019广东揭阳一模,12)已知点P在直线x+2y-1=0上,点Q在直线x+2y+3=0上,M(x0,y0)为PQ的 中点,且y02x0+1,则 的取值范围是 ( ) A. B. C.(-,0) D. ,答案 B 因直线x+2y-1=0与x+2y+3=0平行, 故点M的轨迹是与两直线距离相等且平行于两直线的直线, 其方程为x+2y+1=0, 即点M(x0,y0)满足x0+2y0+1=0,而满足不等式y02x0+1的点在直线y=2x+1的上方, 易得直线x+2y+1=0与y=2x+1的交点为 , 故问题转化为求射线(不含端点)x0+2y0+1=0 上的点M(x0,y0)与坐标原点(0,0)连线的斜 率, 即 的取值范围,故 =kOM .故选B.,6.(2018河北石家庄模拟,7)已知圆C:(x-1)2+(y-4)2=10和点M(5,t),若圆C上存在两点A,B,使得MA MB,则实数t的取值范围为 ( ) A.-2,6 B.-3,5 C.2,6 D.3,5,答案 C 过点M作圆C的两条切线MA与MB,切点为A,B,若满足圆C上存在两点A,B使得AM BM,则只需满足AMB90,即 ,|CM|2 ,即(5-1)2+(t-4)220,解得2t6, 故选C.,7.(2019安徽淮南一模,12)在平面直角坐标系中,设点P(x,y),定义OP=|x|+|y|,其中O为坐标原点, 对于下列结论: (1)符合OP=2的点P的轨迹围成的图形的面积为8; (2)设点P是直线: x+2y-2=0上任意一点,则OPmin=1; (3)设点P是直线:y=kx+1(kR)上任意一点,则使得“OP最小的点P有无数个”的充要条件是 k=1; (4)设点P是圆x2+y2=2上任意一点,则OPmax=2. 其中正确结论的序号为 ( ) A.(1)(2)(3) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(4),答案 D (1)由题意画出图形,如图, 则四边形ABCD是边长为2 的正方形,面积等于8, 故(1)正确. (2)P(x,y)为直线 x+2y-2=0上任一点,可得y=1- x, 可得|x|+|y|=|x|+ , 当x0时,OP=1- x1;,当0x 时,OP=1+ x ; 当x 时,可得OP=-1+ x , 综上可得OP的最小值为1,故(2)正确. (3)|x|+|y|=|x|+|kx+1|x+(kx+1)|, 当