变化率与导数导数的计算ppt课件

第十节 变化率与导数、导数的计算,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数: 定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 _= 为y=f(x)在x=x0处的导数，记作 f(x0)或 即f(x0)= =_.,几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(x0,f(x0)处的_.相应地,切线方程为_ _. (2)函数y=f(x)的导函数: 称函数f(x)=_为函数y=f(x)的导函数,导函数有时也记作y.,切线的斜率,y-f(x0),=f(x0)(x-x0),(3)基本初等函数的导数公式:,0,x-1,cosx,-sinx,axlna,ex,(4)导数四则运算法则: f(x)g(x)=_. f(x)g(x)=_. _(g(x)0).,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),(5)复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx=_.,yuux,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以f(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0)不一定是切点. (2)函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢, |f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:利用导数求切线的方法. (2)数学思想:转化与化归、数形结合. (3)记忆口诀: 导数概念要理清,专门刻画变化量, 放大放大再放大,逼近逼近再逼近. 几何意义在切线,物理应用求速度. 常见函数的导数,定义证明会推导. 导数的四则运算,记住法则计算巧. 简单函数的复合,记住公式会运算.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)求f(x0)时,可先求f(x0)再求f(x0).( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (4)若f(x)=f(a)x2+ln x(a0),则f(x)=2xf(a)+ .( ),【解析】(1)错误.应先求f(x),再求f(x0). (2)正确.如y=1是曲线y=sin x的切线,但其交点个数有无数个. (3)错误.如y=0与抛物线y2=x只有一个公共点,但是y=0不是抛物线y2=x的切线. (4)正确.f(x)=(f(a)x2+ln x)=(f(a)x2)+(ln x) =2xf(a)+ . 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(选修2-2P11T1改编)在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度(单位:m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10.则运动员的速度v= ,加速度a= . 【解析】v=h(t)=-9.8t+6.5,a=v(t)=-9.8. 答案:-9.8t+6.5 -9.8,(2)(选修2-2P18T3改编)已知函数r(V)= ,则r( )=_. 【解析】因为r(V)= 所以r( )= 答案：,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014广东高考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为 . 【解析】因为y=-5ex,y|x=0=-5,即在点(0,-2)处的切线斜率为-5,所以切线方程为y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0. 答案:5x+y+2=0,(2)(2013江西高考)若曲线y=x+1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则= . 【解析】因为y=x-1,所以在点(1,2)处的切线斜率k=,则切线方程为y-2=(x-1),又切线过原点,故0-2=(0-1),解得=2. 答案:2,(3)(2015阳泉模拟)直线y= x+b是曲线y=ln x(x0)的一条切线,则实数b= . 【解析】y= ,令 = ,得x=2, 因此切点为(2,ln2),代入直线方程 y= x+b得b=ln2-1. 答案:ln2-1,考点1 导数的计算 【典例1】求下列函数的导数: (1)y=exsin x.(2)y=x( ). (3)y=x- (4)y=ln(1-2x).,【解题提示】(1)利用积的导数运算法则求解. (2)(3)先化简再求导.(4)y=ln(1-2x)是由y=ln u与u=1-2x复合而成.,【规范解答】(1)y=(ex)sin x+ex(sin x)=exsin x+excos x. (2)因为 所以y= (3)因为y=x- sin x, 所以y=1- cos x. (4)设y=ln u,则y=ln(1-2x)是由y=ln u,与u=1-2x复合而成. 所以yx=yuux=(ln u)(1-2x)= (-2),【易错警示】解答本题有三点容易出错： (1)解答本题(2)时，若直接使用积的运算法则求导,则运算烦琐，易出错. (2)解答本题(3)时，若不先化简，直接使用积的运算法则求导，易导致错误答案. (3)解答(4)时，易因搞不清复合函数的构成而解答失误.,【规律方法】导数计算的原则和方法 (1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导. (2)方法： 连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； 分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； 对数形式：先化为和、差的形式，再求导；,根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； 三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； 复合函数：由外向内，层层求导.,【变式训练】求下列各函数的导数. (1)y=(3x2-4x)(2x+1). (2)y=x2sin x. (3)y= (4),【解析】(1)因为y=(3x2-4x)(2x+1) =6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x， 所以y=18x2-10x-4. (2)y=(x2)sin x+x2(sin x)=2xsin x+x2cos x. (3)y=,(4) 所以y=,【加固训练】求下列函数的导数. (1)y=3xex-2x+e. (2)y= (3)y=,【解析】(1)y=(3xex)-(2x)+(e)=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xln3ex+3xex-2xln2=(3e)xln(3e)-2xln2. (2)先化简, 所以 (3)设u=1-3x，则y=u-4， 则yx=yuux=,考点2 导数几何意义的应用 知考情 导数的几何意义是高考重点考查的内容,主要考查求曲线的切线斜率、切线方程或已知曲线的切线斜率、切线方程求参数的值或范围等问题.,明角度 命题角度1:求切点坐标或切线方程 【典例2】(2014江西高考)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 . 【解题提示】切线问题运用导数的几何意义求解.,【规范解答】设点P(x0,y0),因为y=-e-x, 所以曲线在点P处的切线的斜率为 又因为切线平行于直线2x+y+1=0,所以 解得x0=-ln2,代入y=e-x得y0=2, 所以点P(-ln2,2). 答案:(-ln2,2),命题角度2:求参数的值 【典例3】(2014陕西高考)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( ),【解题提示】根据已知图像可以得到函数图像在与x轴交点处的导数,再利用导数及函数的零点列出三元一次方程组,解之即得所求.,【规范解答】选A.由已知可得此函数为三次函数且过原点,故可设函数解析式为y=f(x)=ax3+bx2+cx,所以f(x)=3ax2+2bx+c, 由题意知f(0)=-1,f(2)=3,f(2)=0,即c=-1, 12a+4b+c=3,8a+4b+2c=0, 解之得a= ,b=- ,c=-1. 所以y= x3- x2-x.,悟技法 导数几何意义的应用及解法 (1)已知切点A(x0,y0)求斜率k,即求该点处的导数值k=f(x0). (2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k. (3)求过某点M(x1,y1)的切线方程时,需设出切点A(x0,f(x0),则切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0),再把点M(x1,y1)代入切线方程,求x0.,(4)根据导数的几何意义求参数的值时,一般是利用切点P(x0,y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解. 提醒:当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时,则切线恒过定点.,通一类 1.(2015昆明模拟)若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】选C.f(x)=-asin x,g(x)=2x+b,由题意知f(0)=a=g(0) =1,且f(0)=0=g(0)=b,即a=1,b=0,所以a+b=1.,2.(2014江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+ (a，b为常数)过点P(2,-5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是_.,【解析】曲线y=ax2+ (a，b为常数)过点P(2,-5), 则有4a+ =-5, 又该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行， 由y=2ax- 得 联立两式得 则a+b=-3. 答案：-3,3.(2014广东高考)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为_. 【解析】因为y=-5e-5x,y|x=0=-5, 即在点(0,3)处的切线斜率为-5, 所以切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0. 答案:5x+y-3=0,4.(2015无锡模拟)抛物线y=x2上的点到直线:x-y-2=0的最短距离为_. 【解析】y=2x,根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短，设切点坐标为(x0,x02)，则 所以x0= ,所以切点坐标为( ),切点到直线x-y- 2=0的距离d= ,所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的 最短距离为 答案：,创新体验2 导数几何意义应用的创新问题 【创新点拨】 1.高考考情:导数几何意义的应用中的创新问题是近几年高考命题的一个增长点,此类问题以新定义、新情境为依托,考查学生理解问题、解决创新问题的能力. 2.命题形式:常见的有新概念、新情境、新法则等.,【新题快递】 1.(2014陕西高考)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则函数的解析式为( ),【解题提示】根据函数的图象可以得到函数的极值点,再利用导数求得解析式的极值点,二者能够统一的即为所求.,【解析】选A.由函数图象可得函数的极值点为5,对四个选项中函数解析式进行求导,只有选项A的函数解析式求导得y=3 x2- ,令y=0得x=5,所以只有选项A的解析式与图象相统一.,2.(2014安徽高考)若直线l与曲线C满足下列两个条件: (1)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切. (2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C. 下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). 直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3; 直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2; 直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=s