Ch2轴向拉压8节-2003《材料力学》课件

材 料 力 学,第二章 轴向拉伸和压缩 Ch2. Axial Tension and Compression,作业:2-21,2-23,2-28,2-33,2-38,2-41,8 拉、压超静定问题 Statically Indeterminate Problem of Axial Forced Bars .超静定问题及其解法,.装配应力(assembly stress) 温度应力,.综合问题,8 拉、压超静定问题 Statically Indeterminate Problem of Axial Forced Bars 超静定问题及其解法,基本概念Conception: 静定问题SDP: 结构(杆件或杆系)的内力和支反力仅用静力学平衡条件就能 唯一确定的问题。相应的结构叫静定结构(SDS) 与之对应: 超静定问题SIP:结构(杆件或杆系)的内力和支反力仅用静力学平衡条件不能唯一确定的问题。相应的结构叫超静定结构 (SIS) 实例:如图,8 拉、压超静定问题 超静定问题及其解法 基本概念,由上可见,SIP的未知力个数(内力+未知反力)超过了独立的平衡方程的个数。其差值叫超静定次数（阶数: the order of statical indeterminacy）。解SIP需补充一些方程才能唯一确定未知力。这些补充方程一般是根据变形后,约束条件不被破坏来建立的。由于约束条件的限制,各杆件(or 杆件的各部分)之间的变形必存在一些联系变形协调条件(con-dition of displaced compatibility构件体系的变形协调原则:杆件不破坏,彼此不相分离,结构的一部分对另一部分不发生未预见的、影响结构形状的相对位移。),由此可建立相应的变形几何方程(geometrical equation of deformation) 在线弹性范围内，我们可由胡克定律将变形与杆件的内力联系起来，得到以内力为未知量的变形几何方程补充方程,然后与静力学平衡方程一起求解，即可求出结构的所有未知力。,8 拉、压超静定问题 超静定问题及其解法,思路： 静力+变形几何+物理关系 物理关系即本构关系(Constitutive Relation) 理论（弹性力学中方程的封闭性和解的唯一性定理）和实践证明:无论超静定次数为多少，总能找到相应数量的补充方程来求解 。 （比较：流体基本方程的非封闭性）。,8 拉、压超静定问题 超静定问题及其解法,例 图(a)所示为两端固定的钢杆,已知l1=1.0m,l2=0.5m, A=20cm2,P=300kN,E=200GPa。试求钢杆各段应力和变形。 解1,列静力平衡方程 以整根杆为研究对象,画出受力图如图(b),静力平衡方程为,RA+RB=P (a) 2,建立补充方程,(杆受力后,C截面下移至C1截面,结果AC段伸长D l1,而CB段缩短D l2,杆两端固定总长不变,即 D l0 。因此,有: D l1|D l2| 这就是本例的几何方程。 变形和内力有关。用截面法求得两段内力分别为: N1=RA, N2=RB(压) 。,8 拉、压超静定问题 超静定问题及其解法,由虎克定律式(3.18)求得各段变形为:,以上两式称为物理方程。将此代入式 D l1|D l2| 即得补充方程:,RA+RB=P (a),(b)联解(a),(b)两式,得:,3,求各段应力和变形(反力求出以后,就按静定问题求各段内力、应力和变形):,2,建立补充方程(原结构下端铰接于A点,受到P力作用变形之后仍应铰接于A点。作出A节点变位图(d)。由于结构的对称性,有:Dl1=Dl2 ,A点应在杆3的轴线上。根据变位图,几何方程为: Dl1=Dl3cosa (b) 物理方程为:,8 拉、压超静定问题 超静定问题及其解法,例:图(a)所示三杆铰接组成的结构, 1,2两杆横截面刚度为E1A1,3杆为E3A3。求在P力作用下三杆的内力。 解:1,列静力平衡方程(取节点A为研究对象(图(c),其静力平衡方程为: N1=N2 2N1cosa+N3=P (a) 未知力有三个,而平衡条件只有两个,故为一次超静定结构,需建立一个补充方程。,由前述超静定问题的解法及例题可见，在综合应用变形的几何方面、变形与力之间的物理方面以及静力学方面来解超静定问题时，根据问题的变形相容条件写出变形几何方程（几何方面），并通过胡克定律（物理方面）而得到补充方程，这是整个解题步骤中的主要环节。抓住了这一环，超静定问题就迎刃而解了。,(c) 将式(c)代入式(b),得补充方程:,联立求解式(a)和(d),并注意到l1cosa =l3得:,结果均为正,说明原假定三杆轴力均为拉力是正确的。由解可见:在超静定杆系问题中,各杆轴力与该杆本身刚度和其它杆的刚度之比有关。刚度越大的杆,其轴力也越大。这是超静定结构的一个特性。,(d),28 拉、压超静定问题 超静定问题及其解法,例:桁架如图所示,由三根抗拉压刚度均为EA的杆 AD、BD和CD在D点铰接而成。试求:1,在力作用下各杆的内力。 解:1,计算P力作用下三杆的内力,(1) (2),(1)作节点的受力图 用截面将AD、BD及CD杆截 开,取节点部分为考察对象,并设三杆轴力为N1、 N2及N3且均为拉力,如受力图所示。则平衡条件为:,可见仅有二个独立的平衡方程,但包含三个未知量,故为一次静不定问题。,(2)作变形位移图 因为各杆轴力均设为拉力,故均产生伸长变形:,过D1、D2及D3各点作各杆垂直线,相交于D点(如位移图所示)。在位移图中过D点作铅垂线,延长D1D及DD3与此铅垂线交于F、E点,由几何关系可得:,8 拉、压超静定问题 超静定问题及其解法,若b=90o,则有:,比较上面二式，得变形协调条件为:,(3)物理关系为:,将此式代入变形协调条件,得补充方程:,(3),联解平衡方程式(1)、(2)及补充方程式(3),得:,讨论:若b=0,则有:,8 拉、压超静定问题 超静定问题及其解法,也可以选取结构的节点位移作为基本未知量首先求出,再求内力和应力。这种以位移作为基本未知量的方法称为位移法。位移法在现代结构分析中有广泛的应用,具有方法规范,便于编制结构通用计算机程序的特点。,在结构分析中,以内力作为基本未知量的方法称为力法。即先求出内力,进而求应力和变形。,8 拉、压超静定问题 .装配应力(assembly stress) 温度应力,一，装配应力(Assembly Stress): 预应力Prestress 预应变效应Prestrain Effect SDS因杆件尺寸误差,会使结构空间形状与原设计相比发生偏差。但不会产生内力(不会引起各杆的变形)。 SIS因杆件尺寸误差,不仅会使空间结构、形状与原设计相比发生偏差。而且会产生内力(引起各杆的变形,相应的应力叫装配应力)。 即: SDS的杆件尺寸误差各杆的刚体位移 引起 SIS的杆件尺寸误差各杆的刚体位移+变形位移,8 拉、压超静定问题 .装配应力 温度应力,解:由于中间杆短了D,为装配在一起,显然,2杆要拉长一些,而1、3杆则要缩短一些,图中实线为装配前的情况,虚线为装配在一起时的情况。 设1、3杆缩短Dl1及Dl3 ，2杆伸长Dl2 ，此时1、3杆的轴力N1及N3为压力，2杆轴力N2为拉力，,例:桁架如图所示,由三根抗拉压刚度均为EA的杆AD、BD和CD在D点铰接而成。试求: 2,由于中间杆BD短了D而引起的各杆内力。,由受力图可得平衡条件为:,由变形图得 变形协调关系为:,物理关系为:,得补充方程:,联解平衡方程和补充方程得:,杆件的伸长（T0）OR缩短（T0)变形。 在SDS中，与(28.一,)类似,只引起结构的变温位移。但在SIS中,与(28.一,)类似,会引起结构的变温位移和内力-变形位移。,8 拉、压超静定问题 .装配应力 温度应力,一,装配应力(Assembly Stress): 由于装配应力是在SIS受载之前就已存在构件内的,因此可称为预应力(Prestress)。它对某些构件会产生不利影响(减低承载力),而对某些构件又可能产生有利效应(提高承载力)。 二,温度应力Thermal Stress(变温应力): T在杆内均匀变化,=t,热应力OR变温应力,8 拉、压超静定问题 .装配应力 温度应力 二,变温应力,附注：由轴向受力杆的内力N求应力的过程实质上也是解超静定问题的过程。,初应力 0 = + t P、T、d共同存在的SIP:解法1. 直接求解; 解法2. 叠加法: =P +T +d,解:3,计算由温度升高D而引起的温度应力 (若温度升高D,D节点位移至D点(如右图),8 拉、压超静定问题 .装配应力 温度应力,联立式(13)、(7)解得各杆横截面上的轴力、正应力为:,例:桁架如图所示,由三根抗拉压刚度均为EA的杆AD、BD和CD在D点铰接而成。试求: 3,由于温度升高DT而引起的温度应力。,设N1、N3为压力,N2为拉力,则平衡条件仍为:,由右图f得变形协调关系为:,物理关系:杆件变形包括荷载引起的弹性变形和温度引起的热变形。即:,式中a为线膨胀系数；等式右边第二项之符号按轴力为拉、压而定。 将式(12)代入式(11)得补充方程:,可见,变温应力一般与杆件的横截面面积无关!,8 拉、压超静定问题 .综合问题,4,讨论 试求在P、Dd、DT三种因素共同作用下,图示三杆的内力。 因为在弹性小变形情况下,可应用叠加原理,所以杆件的内力是三种因素分别引起的内力的代数和(拉力为正,压力为负)。叠加式(6)、(10)、(14)得:,第二章 轴向拉伸和压缩Ch2. Axial Tension and Compression 小 结,本章介绍了材料力学许多重要概念,展示了材料力学许多重要方法,不仅给出了工程中拉(压)构件分析的基本理论和方法,而且是掌握材料力学后继内容的基础,应予以足够重视。 主要内容: 1,轴向受力特点:荷载和支反力的合力沿杆轴作用,横截面上内力仅为轴力N。 2,应力分布:应力在横截面上均匀分布(只在外力作用点附近或杆的截面突变处附近,应力才成非均匀分布)。 3,拉(压)虎克定律:这个定律建立了杆件受力在线弹性范围内,内力(或应力)与变形(或应变)的关系。两种表达式:,注意变形和位移的区别和联系!,横截面应力,斜截面应力,应用虎克定律可计算杆件的位移和变形, 也用于解超静定问题时列补充方程。,第二章 轴向拉伸和压缩Ch2. Axial Tension and Compression 小 结,4,强度条件:拉