概论综合习题课件综合习题2

综合习题二,1.一袋装有5只球，编号为1，2，3，4，5。在袋中同时取3只球，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的概率分布。,解：,2.已知一批产品共20个，其中有4个次品，按两种方式抽样：（1）不放回抽样，抽取6个产品，求抽得的次品数X的概率分布；（2）放回抽样，抽取6个产品，求抽得的次品数Y的概率分布。,解：,（1）不放回抽样 (服从超几何分布H(n,M,N),其中n=6 ,N=20,M=4.,其中，,（2）放回抽样（服从二项分布B(n,p)）,其中n=6, p=M/N=0.2.,其中，,3.对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为p，求射击次数的概率分布。,解：,X表示射击次数，显然，X的可能的取值是1,2,3。,这属于几何分布,4.某射手由5发子弹，连续射击直到击中或子弹用尽为止，每次射击击中率为0.9，求耗用的子弹数X的概率分布。（与3题类似，但也有不同）,解：,第5次射击有两种情况：子弹用完但未击中，子弹用完并击中。,解：,6.一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，且各个设备的使用是相互独立的。求在同一时刻被使用的设备数的概率分布，并求在同一时刻：（1）恰有两个设备被使用的概率；（2）至少有3个设备被使用的概率； （3）最多有3个设备被使用的概率；（4）至少有1个设备被使用的概率。,解：设X表示被使用的设备数，XB(5,0.1)，则X的概率函数：,解1：,解2：,8.在一繁忙的汽车站，有大量汽车通过，设每辆车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆车通过，问出事故的次数不少于2的概率。(此题可用二项分布计算，由于n很大p很小(p0.1)，二项分布B(n,p)的概率函数近似等于泊松分布的概率函数P().,解： 设X为出事故的次数，由题意，由于n很大，p很小(p0.1),故XP()。 因为n=1000，p=0.0001，则=np=0.1.,解：设X为出事故的次数，由题意，由于n很大，p很小(p0.1),故XP()。 因为n=1000，p=0.0001，则=np=0.1.,9.电话站为300个电话用户服务。在1小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在1小时内恰有4个用户使用电话的概率：先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算。并求相对误差。,解：,故f(x)不是连续随机变量X的概率密度函数。,解：因为,解：,解：,解：,（1）由随机变量X的分布函数F(x)可知其概率密度为：,（2）随机变量X的概率密度为：,或,14.公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过3分钟的概率。,解：设上一辆公共汽车于t1时刻开出，而下一辆公共车在t2时刻到达且t2-t1=5 。t是t1t2上一点，且tt2长等于3。显然，乘客只有在时刻t以后到达，乘客候车时间不会超过3分钟,设随机变量X表示乘客到汽车站的时间，由题意知，XU(t1 , t2) ，则X的概率密度为：,解：设上一辆公共汽车于t1时刻开出，而下一辆公共车在t2时刻到达且t2-t1=5 。t是t1t2上一点，且tt2长等于3。显然，乘客只有在时刻t以后到达，乘客候车时间不会超过3分钟,设随机变量X表示乘客到汽车站的时间，由题意知，XU(t1 , t2) ，则X的概率密度为：,15.盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从其中任取4个球，设X表示取得黑球的个数，Y表示取得红球的个数，求(X,Y)的联合概率分布。,解：,16.把一颗均匀的骰子随机地抛两次，设随机变量X表示第一次出现的点数，随机变量Y表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量(X,Y)的联合概率分布及Y的边缘分布。,解：,Y的边缘分布如表所示：,解：,18.某种晶体管的使用寿命X（单位：h）的概率密度为： 求在150h内： （1）3只晶体管中没有1只损坏的概率；（2）3只晶体管中只有1只损坏的概率；（3）3只晶体管全坏的概率。,解：,设晶体管在150h内损坏的概率为p，随机变量Y表示晶体管损坏的个数，由于晶体管之间损坏与否是相 互独立的，对3只晶体管的观察就是3次独立试验，因 此YB(3,p).,设晶体管在150h内损坏的概率为p，随机变量Y表示晶体管损坏的个数，由于晶体管之间损坏与否是相互独立的，对3只晶体管的观察就是3次独立试验，因此YB(3,p).,19.设二维随机变量(X,Y)在矩形区域：axb,cyd 上服从均匀分布，求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度。随机变量X与Y是否相互独立？,解：,20.设随机变量X与Y独立，XU(0，2)，Ye(2)，求： （1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度；（2）概率P(XY)。,解：,由于 XU(0，2)，Ye(2)，且X与Y相互独立，所以它们的概率密度分别为：,21.在某一分钟内的任何时刻，信号进入收音机是等可能的，若收到两个独立的时间间隔小于0.5S，则信号将产生互相干扰，求两个信号互相干扰的概率。,解：,解：,因为随机变量X的概率函数如下表：,解：,解：,25.设X与Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为： 求随机