概论综合习题课件综合习题1

综合习题一,1.写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点： （1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和。A-”点数之和大于10”，B-”点数之和小于15”。,解：,（2）一盒中由5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5。从中任取3只，A-”最小号码为1”。,解：,2.下列各式在什么条件下成立？,解：,3.设A,B,C表示三个事件，试将下列事件用A,B,C表示出来： （1）仅A发生； （2）A,B,C都发生； （3）A,B,C都不发生； （4）A,B,C不都发生； （5）A不发生，且B,C中至少有一事件发生； （6）A,B,C中至少有一事件发生； （7）A,B,C中恰有一事件发生； （8）A,B,C中至少有二事件发生； （9）A,B,C中最多有一事件发生；,解：,4.设P(A)=0.5,P(B)=0.6,问：（1）在什么条件下P(AB)取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P(AB)取得最小值，最小值是多少？,解：,5.设P(A)0，P(B)0，将下列四个数：P(A)，P(AB)，P(A)+P(B)，P(AB)按由小到大的顺序排列，用符号联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。,解：,6.设A,B,C为三个事件，证明： P (AB C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC) -P(BC)+P(ABC),证明：,P (ABC)=P(AB)+P(C) P(AB)C =P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(ACAB) = P(A)+P(B)-P(AB) +P(C)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),7.设P(A)=P(B)=P(C)=1/3，P(AB)=P(AC)=0，P(BC)=1/4，求A、B、C至少有一事件发生的概率。,解：,P (ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =1-1/4=3/4.,8.一批产品只有200件，其中6件废品，求： （1）任取3件产品中恰有一件是废品的概率； （2）任取3件产品中没有废品的概率； （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率。,解：,（1）设事件A=“任取3个产品中恰有一件是废品” 事件A中的基本事件数： P(A) （2）设事件B=“任取3件产品中没有废品” 事件B中的基本事件数： P(B),（3）设事件C=“任取3件产品中废品不少于2件” P(C) =,9.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率（设后面四个数字中的每一个数字都等可能地取自0,1,2,9）。,解：,设事件A=“后面四个数字全不相等”。 基本事件总数： 事件A中的基本事件数：,10.从1-2000的整数中随机地取出一个数，求：（1）这个数能被5整除的概率；（2）这个数能被4和6整除的概率。,解：,基本事件总数： （1）设事件A=“这个数能被5整除” 事件A中的基本事件数： （2）设B=“这个数能被4和6整除” 事件B 中的基本事件数：,11.从0,1,2,9这10个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率：A “这三个数字中不含0和5”，B “这三个数字中包含0或5”，C“这三个数字中含0但不含5”。,解：,基本事件总数： 事件A的基本事件数：,P(B)=1-P(A)=8/15 事件C的基本事件数：,12.将一枚均匀的骰子掷两次，已知出现的点数之和能被3整除，求恰好是两次都出现3点的概率。,解：试验的基本事件 ij 为“出现点数对”，其中i是第一次出现的点数 i=1,2,3,4,5,6 ，j是第二次出现的点 j=1,2,3,4,5,6.,13.某种集成电路使用到2000h还能正常工作的概率是0.94，使用到3000h还能正常工作的概率是0.87，求已经工作了2000h的集成电路能继续工作到3000h的概率。 解：设事件A=“使用到2000h还能正常工作”，B=“使用到3000h还能正常工作”。,14.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码，求他拨号不超过两次而接通的概率。 解：设A=“他拨号不超过两次而接通”.,解：,16.一盒里有10个电子元件，其中7个正品，3个次品，从中每次抽取一个，不放回地连续抽取四次。求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率。 解：,17.猎人在距离100m处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150m；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这是距离变为200m。假定击中的概率与距离成反比，求猎人最多射击三次的情况下击中动物的概率。 解：设A=“猎人最多射击三次的情况下击中动物”. 由题意，猎人击中动物的概率与距离成反比，不妨设概率为P,距离为S. 则 P=k/S （k为常数）。 当S=100时，P=0.6,得k=60. 故 P=60/S.,18.某射击小组共20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔而进入比赛的概率分别为0.9，0.7，0.5，0.2。求任取一位射手能通过选拔进入比赛的概率。 解：设A=“任取一位射手能通过选拔进入比赛”, Bi=“这位射手是 i 级射手”,i=1,2,3,4 。,19.某种新产品投放市场出现下列三种情况：A”无销路”，B”销路一般”，C”畅销”，由以往的经验得知，同类产品投放市场后，而面临各种情况的概率为P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.5;而在这种情况下工厂能得到别人大量投资（设为事件D）的概率为P(D|A)=0.05,P(D|B)=0.3, P(D|C)=0.98.为得到别人投资以使进行新产品试制，求该厂能获大量投资的概率。 解：P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C) 代入数据，得 P(D)=0.59.,20.袋中有a个白球与b个黑球，每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。 解：设A=“第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同”.,21. 试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的。任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确答案；如果不会解这道题，则不妨任选1个答案。设考生会解这道题的概率为0.8，求： （1）考生选出正确答案的概率； （2）已知某考生所选答案是正确的，他确实会解这道题的概率。,22.设机器正常时生产合格品的概率为98%，当机器发生故障时生产合格品的概率为30%，而机器正常（即不发生故障）的概率为95%。某天，工人使用该机器生产的第一件产品是合格品，求机器是正常的概率。,24 .对同一靶子进行三次独立射击，第一、二、三次击中的概率分别为p1 =0.4,p2 =0.5,p3 =0.7.求：（1）这三次射击中恰有一次击中的概率；（2）这三次射击中至少有一次击中的概率。 解： （1）设A=“这三次射击中恰有一次击中”, Bi = “第i次击中”,i=1,2,3.,（2）设B=“这三次中至少有一次击中”.,25.甲、乙两个实验员各自独立地做同一个实验，且知甲、乙实验成功的概率分别为0.6,0.8。求实验取得成功的概率。 解：设A=“实验取得成功”, B1 =“甲取得成功”，B2 =“乙取得成功”.,26.设一系统由三个元件联结而成（如图），各个元件独立地工作，且每个元件能正常工作的概率均为p（0p1）,求系统能正常工作的概率。 解：设A=“系统能正常工作”. =“第 个元件能正常工作”,27.甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别是0.4，0.5，0.7,如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有二人击中，则飞机被击中的概率是0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。,解:设A=飞机被击落, Bi=飞机被i人击中, Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3 .,28.一批产品中有20%的次品，进行放回抽样检查，共取5件样品，计算： （1）这5件样品中恰有2件次品的概率； （2）这5件样品中最多有2件次品的概率。 解： （1）n=5，k=2，p=0.2, （2）n=5，k=0、1、2，p=0.2,29.设有四门高射炮