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63 第二章 连续时间系统的时域分析 2 . 1 学习重点 1、 建立系统的数学模型微分方程，描述系统激励( )tf与响应( )ty的关系，对连续 时间系统进行时域分析。 2、 学会应用经典时域分析法求解微分方程。 3、 深刻理解系统的零状态响应为( )tyzs，零输入响应为( )tyzi，以及全响应， 会根据微分方程的特征根与已知系统的初始条件求解。 4、 深刻理解系统的冲激响应( )th以及阶跃响应( )tg的意义，掌握其求解方法。 5、掌握卷积积分的定义、 性质和运算， 会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状 态响应( )tyzs。 6、 利用 MATLAB进行 LTI 连续系统的时域分析 2 . 2 教材习题同步解析 2- 1 列写图2.1所示中( )( )( )tutiti 021 ,的微分方程。 【 知识点窍】 本题考察系统方程的基尔霍夫定 律。 【 逻 辑 推 理 】 对 任 一 点 有 KCL： ( ) =0ti 对任一回路有 KVL： ( ) = 0tu 解：因 LR uu= 1 ，根据 VCR,有: 图 2.1 64 ( ) ( ) dt tdi LtRi 2 1 = 即 ( ) ( ) dt tdi ti 2 1 2= 根据 KVL： ( )( )( )( )tututute cRR += 21 根据 VCR： ( )( )( )titiRtuR 1111 2= ( )( )( )()( )( )titititiRtuR 212122 22+=+= ( )( )( ) ( )( ) dt tdu dt tdu Ctititi cc c 2 1 21 =+= 式和式代入式中，有： ( )( )( )( )tutitite c += 21 24 将式代入式中，得到： ( ) ( ) ( )( )tuti dt tdi te c += 2 2 22 对式求一阶导，有： ( )( )( )( ) dt tdu dt tdi dt tid dt tde c += 2 2 2 2 22 将式代入式中，有： ( )( )( ) ( )( )titi dt tdi dt tid dt tde 21 2 2 2 2 2222+= 再将式代入式中，得到( )ti2的微分方程为： ( )( ) ( ) ( ) dt tde ti dt tdi dt tid =+ 2 2 2 2 2 232 对式求一阶导，得到： ( )( )( )( ) dt tdu dt tdi dt tdi dt tde c += 21 24 将式、式代入式中，得到： ( )( ) ( )( )titi dt tdi dt tde 21 1 264+= 对式求导，得到： ( )( )( )( ) dt tdi dt tdi dt tid dt ted 21 2 1 2 2 2 264+= 再将式代入式中，得到( )ti1的微分方程为： 65 ( )( )( ) ( )ti dt tdi dt tid dt ted 1 1 2 1 2 2 2 464+= 根据 KVL，有： ( )( )( )( )( )tutitutute R0101 2+=+= 对式求一阶导和二阶导，得到： ( )( )( ) dt tdu dt tdi dt tde 01 2+= ( )( )( ) 2 0 2 2 1 2 2 2 2 dt tud dt tid dt ted += 式子2式3式2，消去( )ti1，整理后得到( )tu0的微分方程为： ( )( ) ( ) ( )( ) ( )te dt tde dt ted tu dt tdu dt tud 23232 2 2 0 0 2 0 2 +=+ 2- 2 已知描述系统的微分方程如下： （1）( )( )( )023 =+tytyty （2）( )( )( )022 =+tytyty （3）( )( )( )02 =+tytyty 当初始条件为( )( )00, 10=yy时，求零输入响应。 【知识点窍】本题考察常系数微分方程经典解法。 【逻辑推理】利用系统的特征方程，求出齐次解，代入初始状态求解。 解： （1）由原微分方程可得其特征方程为 023 2 =+ 可解得特征根为 2, 1 21 = 微分方程齐次解为 ( ) tt h eAeAty 2 21 += 由初始状态为( )( )00, 10=yy，则有： = =+ 02 1 21 21 AA AA 66 由联立方程可得 1, 2 21 =AA 故系统的零输入响应为： ( ) tt zi eety 2 2 = （2）由原微分方程可得其特征方程为 022 2 =+ 可解得特征根为 i= 1 2, 1 微分方程齐次解为 ( )()tCtCety t h sincos 21 += 由初始状态为( )( )00, 10=yy，则有： =+ = 0 1 21 1 CC C 由联立方程可得 1, 1 21 =CC 故系统的零输入响应为： ( )()ttety t zi sincos += （3）由原微分方程可得其特征方程为 012 2 =+ 可解得特征根为 1 2, 1 = 微分方程齐次解为 ( ) tt h teCeCty += 21 由初始状态为( )( )00, 10=yy，则有： =+ = 0 1 21 1 CC C 由联立方程可得 1, 1 21 =CC 故系统的零输入响应为： ( ) tt zi teety += 2- 3 已知描述系统的微分方程如下： （1）( )( )( )02 3 =+tytyty 67 （2）( )( )( )0 2 =+tytyty 当初始状态为( )( )( )10 00=yyy时，求零输入响应。 【知识点窍】本题考察常系数微分方程经典解法。 【逻辑推理】利用系统的特征方程，求出齐次解，代入初始状态求解。 解： （1）由原微分方程可得其特征方程为 023 23 =+ 可解得特征根为 2, 1, 0 321 = 微分方程齐次解为 ( ) tt h eCeCCty 2 321 += 由初始状态为( )( )( )10 00=yyy，则有： =+ = =+ 14 12 1 32 32 321 CC CC CCC 由联立方程可得 1 , 3 , 3 321 =CCC 故系统的零输入响应为： ( ) tt zi eety 2 33 += （2）由原微分方程可得其特征方程为 02 23 =+ 可解得特征根为 1, 0 3, 21 = 微分方程齐次解为 ( ) 321 CteCeCty tt h += 由初始状态为( )( )( )10 00=yyy，则有： = =+ =+ 12 1 1 21 21 31 CC CC CC 由联立方程可得 4 , 2 , 3 321 =CCC 故系统的零输入响应为： ( )423+= tt zi teety 68 2- 4 已知某 LTI 系统的微分方程模型为 ( )( )( )( )tftytyty=+2 （1）用两种方法（微分方程法和卷积积分法）求该系统的阶跃响应( )tg； （2）求系统对输入( )( )ttetf t 3cos 2 =的零状态响应。 【知识点窍】本题考察 L T I系统的微分方程的单位冲激响应和单位阶跃响应，及其关系；零状 态响应的卷积求解法。 【逻辑推理】求阶跃响应时可采取两种方法：直接求解微分方程零状态条件下的阶跃响应，或 利用冲激响应积分。 零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到。 解： （1）方法一：微分方程法 由微分方程得特征根为 1, 2 21 = 由此可得阶跃响应形式为 ( )( )teCeCtg tt += 2 1 2 2 1 对上式求一阶、二阶导数，得 ( )()( )( )teCeCteCeCtg tttt += 2 1 2 2 2 12 2 1 ( )()( )()( ) ()( )( )teCeCteCeC teCeCteCeCtg tttt tttt 2 2 12 2 1 2 2 12 2 1 2 1 2 24 + += 将阶跃响应( )tg及其一阶、二阶导数代入原方程，得： ( )( )( )( )tteCeCteCeCt tttt = + + 2 1 2 1 33 2 2 12 2 1 利用单位冲激函数的性质，得： ( )0 2 1 33 2 1 33 212 2 1 =+= + CCteCeC tt ( )( ) () ( )02 2 1 2 1 21212 2 1 =+ += + tCCtCCteCeC tt 69 得 =+ =+ 02 0 2 1 21 21 CC CC 则得系数 3 1 , 6 1 21 =CC。将其代入得阶跃响应( )th ( )( )teetg tt += 2 1 3 1 6 1 2 方法二：卷积积分法 由微分方程求得特征根，进而可得冲激响应形式为 ( )()( )teCeCth tt 2 2 1 += 对上式求一阶、二阶导数，得 ( )()( )()( )teCeCteCeCth tttt 2 2 12 2 1 2+= ( )()( )()( ) ()( )()( )teCeCteCeC teCeCteCeCth tttt tttt 2 2 12 2 1 2 2 12 2 1 2 24 + += 将冲激响应( )th及其一阶、二阶导数代入原方程，即 ()( )()( )( )tteCeCteCeC tttt =+ 33 2 2 12 2 1 利用单位冲激函数的性质，得： () ( ) () ( ) () ( )( )ttCCtCCtCC=+ 212121 233 得 =+ =+ 12 0 21 21 CC CC 则得系数 3 1 , 3 1 21 =CC。 将其代入得冲激响应 ( )( )teeth tt += 3 1 3 1 2 则系统的阶跃响应为 ( )( )( ) ( ) () ( )tdee dtee tthtg t += += = 0 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 70 ( ) ( )tee tee tt t tt += += 2 1 3 1 6 1 3 1 6 1 2 0 2 （2）当输入( )( )ttetf t 3cos 2 =时，系统的零状态响应为： ( )( )( ) ( ) () () () ()() ()() tetee tetee tteete dteete dteedte dtteee tfthty ttt ttt ttt t t t t tt tt t zs 3sin3cos1 18 1 3sin 18 1 3cos 18 1 18 1 3sin 6 1 3cos 6 1 6 1 3 1 3sin 9 1 3cos 3 1 3sin 3 1 3 1 3cos 3 1 3cos 3 1 3cos 3 1 3 1 33 22 322 0 32 0 2 00 322 22 = = += += + = += = 2- 5 设一个 LTI 系统的输入和输出分别为( )tf和( )ty，试用两种方法证明：当系统的输入为( )tf 时，输出为( )ty。 【知识点窍】本题考察 L T I 系统的性质。 【逻辑推理】利用零状态响应与冲激响应的卷积关系或系统的时不变性。 证明：方法一： 令系统的单位响应为( )th，则有( )( )( )thtfty= 当系统的输入为( )tf 时 ( )( )( )()( ) ()( )( )tyty dt d dtfh dt d dtf dt d hthtf= 即证明当系统的输入为( )tf 时，输出为( )ty。 方法二： 根据倒数定义有： ( ) ()( ) 0 0 0 0 lim t tfttf tf t = 71 根据 LTI 系统的时不变性，可得： ()() 00 ttyttf 则有： ( ) ()( )()( ) ( )ty t tytty t tfttf tf tt limlim 0 0 0 0 0 0 00 = = 即证明当系统的输入为( )tf 时，输出为( )ty。 2- 6 已知函数波形如图 2.2 所示，计算下面的卷积积分、并画出其波形。 （1）( )( )tftf 21 （2）( )( )tftf 31 （3）( )( )( )tftftf 321 （4）( )( )tftf 42 （5）( )( )tftf 54 （6）( )( )tftf 64 （7）( )( )tftf 52 （8）( )( )tftf 76 （9）( )( )tftf 85 （10）( )( )tftf 87 图 2.2 【知识点窍】本题考察卷积求解法。 【逻辑推理】函数( )tfi与函数( )tf j 相卷积后的值( )ty，就是在变量由到+范围内， 对某一t值时乘积( )()tff ji 曲线下的面积。或利用卷积积分的微分和积分性质以及冲激函数卷 积性质求解。即若 72 ( )( )( )( )( )tftftftftf 1221 = 则其微分 ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) tftftftftf 1 212 1 1 1 = 积分 ()( )()( ) ( )( ) ()( ) tftftftftf 1 212 1 1 1 = 含有冲激函数的卷积有： ( )( )( )tfttf= ( )()() 00 ttftttf= ( )( )( )tfttf= ( )( ) ()( ) ( ) = t dftfttf 1 解： （1 ）如图可知，( )()()11 2 +=tttf 由含有冲激函数的卷积可得 ( )( )( )()() ()()11 11 11 121 += += tftf tttftftf 其波形如图 2.3 所示。 图 2.3 图 2.4 （2）如图可知，( )()()()321 3 +=ttttf 由含有冲激函数的卷积可得 ( )( )( )()()() ()()()3211 321 111 131 += += tftftf ttttftftf 其波形如图 2.4 所示。 （3）由卷积积分性质可知， ( )( )tftf 21 t 4 3 2 1 - 1 1 0 ( )( )tftf 21 1 t 2 1 - 2 - 1 0 73 ( )( )( )( )()()()()() ()()()()() ( )()()()()() ( )()()()()43221 43221 32111 32111 11111 111111 11 1321 += += += += tftftftftf tftftftftftf ttttftf ttttttftftftf 其波形如图 2.5 所示。 图 2.5 （4）如图可知，( )()()11 2 +=tttf 由含有冲激函数的卷积可得 ( )( )( )( )( )()() ()()11 11 44 42442 += += tftf tttftftftftf 其波形如图 2.6 所示。 图 2.6 （5）由卷积积分的积微性可知： ( )( )( ) ()( ) ( )() ()( ) ()( )()( )1 1 1 5 1 5 1 5 1 5 ) 1( 454 = = tftf tftttftftftf ( )( )( )tftftf 321 t - 2 - 1 1 5 4 3 2 1 0 - 1 2 ( )( )tftf 42 t 1 1 0 - 1 74 由图可知 ( ) = 11 10 5 t tt tf 即可求得 ()( ) = 1 2 1 10 2 1 2 1 5 tt tt tf 其波形如图 2.7 所示。 图 2.7 （6）由卷积积分的积微性可知： ( )( ) ()( )( )( )()( ) ( )()()() ()( )()( ) ()( ) ()( )3212 3222122 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 6 1 464 += += tftftftf tttttftftftftf 由图可知： ()( ) ( ) () ()11 1 4 = tttttf 即得：( )( )( )() ()() ()() () () ()443322221122 64 +=tttttttttttftf 其波形如图 2.8 所示。 图 2.8 （7）由图可知：( )( )()()( )()()1111 55552 +=+=tftftftttftf 其波形如图 2.9 所示。 （8）由图可知， ( )( ) ( )( )()( )()( ) ( )()()() ()( )()( ) ()( ) ()( )3212 3222122 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 676 += += tftftftf tttttftftftftf ( )( )tftf 64 2 t 4 3 0 1 2 t ( )( )tftf 54 1 2 1 0 75 图 2.9 由图可知： ()( ) () () () ()2233 1 7 += tttttf 即得：( )( )() ()() ()() ()( ) () ()112112222332 76 +=tttttttttttftf 其波形如图 2.10 所示。 图 2.10 图 2.11 （9）由卷积积分的积微性可知： ( )( )( )( )( ) ()( ) ( )()() ()( ) ()( )()( ) ()( )221 221 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 ) 1( 85885 += += tftftf tfttttftftftftftf 由图可知 ( ) = 11 10 5 t tt tf 即可求得 ()( ) = 1 2 1 10 2 1 2 1 5 tt tt tf 其波形如图 2.11 所示。 （10）由卷积积分的积微性可知： ( )( ) ()( )( )( )()( ) ( )()() ()( )()( ) ()( )221 221 1 7 1 7 1 7 1 7 1 8 1 787 += += tftftf ttttftftftftf ( )( )tftf 85 t 3 2 1 0 3 2 1 2 ( )( )tftf 76 2 t 1 0 - 3 - 2 - 1 ( )( )tftf 52 t 2 2 1 - 1 0 76 由图可知： ()( ) () () () ()2233 1 7 += tttttf 即得： ( )( )() ()() ()( )tttttttftf211333 87 += 其波形如图 2.12 所示。 图 2.12 2- 7 利用冲激函数的取样性质，计算下列积分： （1）tdttsin 4 （2）()dtet t +3 （3）()()dttt +41 2 （4）( )dt t t t 2sin （5）()()dtttt + 10 10 2 5232 （6）()dtttt52 4 1 2 10 10 + + （7）()dttt t t 0 0 2 （8）() 1 1 2 4 dtt 【知识点窍】本题考察冲激函数的取样性质。 【逻辑推理】 ( ) ()( ) () 000 tttftttf=；( ) ()( ) 00 tfdttttf= ； ( )() ( )( ) () ( )( ) ()() 0 0 1 tttt tt tt n n n = = = ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ()( ) ()( ) () 00 0 00 00 tttftttftttf tftfttf = = ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) () ( )( ) 01 0 n n n fdtttf fdtttf = = ( )( )tftf 87 t 2 0 - 1 - 3 1 77 ( ) ()( ) ( ) ( )( )() ( )( ) 00 0 0 1tfdttttf tfdttttf n n n = = 解： （1） 2 2 4 sinsin 4 = tdtt （2）() 3 3edtet t =+ （3）()()()()544141 1 222 =+=+=+ = t tdtttdttt （4）( )( )2 2 2sin 2 2sin = dt t t tdt t t t （5）()()()dttttdtttt + =+ 10 10 2 10 10 2 52 2 3 2 1 5232 2 1 5 2 3 2 3 2 2 1 2 = + = （6）()()()0145252 4 1 4 1 4 1 22 10 10 =+=+ + = tt ttt dt d dtttt （7）()1 22 0 0 0 = = t dttt t t （8）()()()0224 1 1 1 1 2 =+= dtttdtt 2- 8 求图 2.13（a）所示系统的零状态响应( )ty，并画出其波形。已知( )=tf ()( )tfkkTt k , 2, 1, 0,2L= = 的波形如图 2.13（b）所示。 图 2.13 【知识点窍】本题考察系统的零状态响应求解法。 【逻辑推理】零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到。 解：系统的单位冲激响应为 78 ( )( )()( )()TttdtTth t = ( )th的波形如图 2.14（a）所示。故得零状态响应为 ( )( )( )()( )()12= = =kk zs kTththkTtthtfty ( )ty的波形如图 2.14（b）所示。 （a） （b） 图 2.14 2- 9 图 2.15 电路，已知( )( ) ( )( )sAiAittf/20 ,10,= 。求全响应( )ti。 图 2.15 【知识点窍】本题考察系统的全响应求解法。 【逻辑推理】基尔霍夫定律列出系统的微分方程，系统的全响应是由零输入响应与零状态响应 组成；零输入响应通过经典法求取，零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到。 解： （1）电路的微分方程为 ( )( )tfti p p= + 6 5 即 ()( )( )tpftipp=+65 2 故 ( )( )( ) ( )tfpHtf pp p ti= + = 65 2 故得转移算子为 79 ( ) ()()3 3 2 2 3265 2 + + + = + = + = pppp p pp p pH （2）零输入响应的通解为( ) tt x eAeAti 3 2 2 1 += 将初始条件( )( )sAiAi/20,10=代入上式可得5 1 =A，4 2 =A。 故得零输入响应为 ( )()( )teeti tt x 32 45 = （A） （3）电路的单位冲激响应为( )()( )teeth tt 32 32 += （A） （4）电路的零状态响应为 ( )( )( )( )()( )teetthtfti tt f 32 32 += ( )()( )( )()( )tettet tt 32 32 += ()( )tee tt 32 = （A） （5）全响应为 ( )( )( )()( )teetititi tt fx 32 56 =+= （A） 2- 10 图 2.16（a）所示电路，激励( )tf的波形如图 2.16（b）所示。求零状态响应( )tuc，并画出波 形。 图 2.16 【知识点窍】系统的零状态响应可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到。 【逻辑推理】先求取系统的冲激响应，再通过冲激响应与激励函数相卷积即可求得。 解：该电路的微分方程为 80 ( )tfu dt ud c c =+ 2 2 即 ()( )tfup c =+1 2 转移算子为 ( ) 1 1 2 + = p pH 故得单位冲激响应为 ( )( )ttthsin= 故得 ( )( )( )( )( )dtfthtftu t c =sin ( )()dtt t = 0 sin6 ( )() ttt 0 cos6= ( )() ( )ttttcos16= ( )()()66cos1cos1=tttt ( )tuc的波形如图 2.17 所示。 图 2.17 2- 11 已知一线性时不变系统对激励( )( )tttfsin=的零状态响应( )ty的波形如图 2.18 所示。 求该系 统的单位冲激响应( )th，并画出其波形。 图 2.18 81 【知识点窍】系统的零状态响应可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到。 【逻辑推理】零状态响应由由冲激响应与激励函数相卷积求得，由此利用卷积的积分与微分性 质求取冲激响应。 解： ( )( )( )( )( )thttthtfty=sin ( ) ( )( )( )( )thttthtt dt d dt tdy =cossin ( ) ( )( )( )( )( )thtttthtt dt d dt tyd =sincos 2 2 ( )( )( )thttth=sin 式式即得： ( )( ) ( ) ( )( )()()212 2 2 +=+=tttty dt tyd tyth ( )th的波形如图 2.19（c）所示。图 2.19（a） （b）分别为 ( ) dt tdy ， ( ) 2 2 dt tyd 的波形。 （a） （b） （c） 图 2.19 2- 12 图 2.20 所示系统是由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为 ( )( )tth= 1 （积分器） ( )()1 2 =tth （单位延时器） ( )( )tth= 3 （倒相器） 求总系统的冲激响应( )th。 【知识点窍】线性系统的性质。 【逻辑推理】线性系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。 82 图 2.20 解：( )( )( )( )( )( )thththtthth 3121 += ( )( )()( )( )ttttt+=1 ( )()1=tt 2- 13 在图 2.21 所示系统中，( )()1 1 =tth，( )( )()3 2 =ttth，( )=tf ( )()1tt。求响应( )ty，并画出其波形。 图 2.21 图 2.22 【知识点窍】线性系统的性质。 【逻辑推理】线性系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。 解：( )( )( )( )( )( )( )ththtfthtftftf 1111 += ( )()( )()()( )()()()111111+=ttttttttt ( )()()()()()32211+=tttttt ( )()3=tt ( )( )( )( )()( )()33 21 =ttttthtfty ( )() () () ()66332+=tttttt ( )ty的波形如图 2.22 所示。 2- 14 求图 2.23 所示系统的单位冲激响应( )th。 【知识点窍】系统模拟图与微分方程之间变换。 83 【逻辑推理】由系统模拟图求取系统的微分方程。 图 2.23 解： ( )( )( )dhtth t = ( )( )( )thtth= 即 ( )( )( )tthth =+ 即 ()( )( )tpthp=+1 2 故得 ( ) 1 2 1 1 2 1 1