数值分析第五版习题答案清华大学出版社.pdf

第一章绪论 1设0x, x 的相对误差为，求ln x的误差。 解：近似值 * x的相对误差为 * * * r exx e xx = 而ln x的误差为 1 ln*ln*ln* * exxxe x 进而有(ln*)x 2设 x 的相对误差为2%，求 n x的相对误差。 解：设() n fxx，则函数的条件数为 () | () p xfx C fx 又 1 () n fxnx, 1 | n p x nx Cn n 又(*)(*) rpr xnCx 且(*) r ex为 2 (*)0.02 n r xn 3下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字： * 1 1.1021x, * 2 0.031x, * 3 385.6x, * 4 56.430x, * 5 71.0.x 解： * 1 1.1021x是五位有效数字； * 2 0.031x是二位有效数字； * 3 385.6x是四位有效数字； * 4 56.430x是五位有效数字； * 5 71.0.x是二位有效数字。 4利用公式 (2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * 124 xxx,(2) * 123 x x x,(3) * 24 /xx. 其中 * 1234 ,xxxx均为第 3 题所给的数。 解： *4 1 *3 2 *1 3 *3 4 *1 5 1 ()10 2 1 ()10 2 1 ()10 2 1 ()10 2 1 ()10 2 x x x x x * 124 * 124 433 3 (1)() ()()() 111 101010 222 1.0510 xxx xxx * 123 * 123231132 143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.6101.1021385.610 222 0.215 x x x x xxx xxx xx * 24 * 2442 2 * 4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.43010 22 56.43056.430 10 xx xxxx x 5 计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为 3 4 3 VR 则何种函数的条件数为 2 3 4 3 4 3 p R VRR C V R (*)(*)3(*) rprr VCRR 又(*)1 r V 故度量半径R 时允许的相对误差限为 1 (*)10.33 3 r R 6设 0 28Y，按递推公式 1 1 783 100 nn YY（n=1,2,） 计算到 100 Y。若取78327.982（ 5 位有效数字） ，试问计算 100 Y将有多大误差？ 解： 1 1 783 100 nn YY 10099 1 783 100 YY 9998 1 783 100 YY 9897 1 783 100 YY 10 1 783 100 YY 依次代入后，有 1000 1 100783 100 YY 即 1000 783YY， 若取78327.982, 1000 27.982YY *3 1000 1 ()()(27.982)10 2 YY 100 Y的误差限为 3 1 10 2 。 7求方程 2 5610xx的两个根，使它至少具有4位有效数字（78327.982） 。 解： 2 5610xx， 故方程的根应为 1,2 28783x 故 1 287832827.98255.982x 1 x具有 5 位有效数字 2 111 287830.017863 2827.98255.98228783 x 2 x具有 5 位有效数字 8当 N 充分大时，怎样求 1 2 1 1 N N dx x ？ 解 1 2 1 arctan(1)arctan 1 N N dxNN x 设arctan(1),arctanNN。 则tan1, tan.NN 1 2 2 1 1 arctan(tan() tantan arctan 1tantan 1 arctan 1(1) 1 arctan 1 N N dx x NN NN NN 9正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 2 1cm？ 解：正方形的面积函数为 2 ()A xx (*)2*(*)AAx. 当*100x时，若(*)1A, 则 2 1 (*)10 2 x 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过 2 1cm 10设 2 1 2 Sgt，假定 g 是准确的，而对t 的测量有0.1秒的误差，证明当t 增加时 S 的 绝对误差增加，而相对误差却减少。 解： 2 1 ,0 2 Sgtt 2 (* )(* )Sg tt 当*t增加时，*S的绝对误差增加 2 *2 * (*) (*) * ( *) 1 () 2 ( *) 2 r S S S gtt g t t t 当*t增加时，( *)t保持不变，则*S的相对误差减少。 11序列 n y 满足递推关系 1 101 nn yy(n=1,2,), 若 0 21.41y（三位有效数字） ，计算到 10 y时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解： 0 21.41y 2 0 1 (*)10 2 y 又 1 101 nn yy 10 101yy 10 (*)10(*)yy 又 21 101yy 21 (*)10(*)yy 2 20 (*)10(*) yy 10 100 102 8 (*)10(*) 1 1010 2 1 10 2 yy 计算到 10 y时误差为 8 1 10 2 ，这个计算过程不稳定。 12计算 6 (21)f，取 2，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？ 6 1 (21) , 3 (322 ), 3 1 (322 ) ，99702。 解：设 6 (1)yx， 若2x， * 1.4x，则 *1 1 10 2 x。 若通过 6 1 (21) 计算 y 值，则 * *7 * *7 * 1 (1) 6 (1) yx x yx x yx 若通过 3 (322)计算 y 值，则 *2* * * * (32) 6 32 yxx yx x yx 若通过 3 1 (322 ) 计算 y 值，则 * *4 * *7 * 1 (32) 1 (32) yx x yx x yx 通过 3 1 (322) 计算后得到的结果最好。 13 2 ()ln(1)fxxx,求(30)f的值。若开平方用6 位函数表，问求对数时误差有多 大？若改用另一等价公式。 22 ln(1)ln(1)xxxx 计算，求对数时误差有多大？ 解 2 ()ln(1)fxxx, (30)ln(30899 )f 设899 ,(30)uyf 则 * u *4 1 2 u 故 * * * 3 1 0.0167 yu u u 若改用等价公式 22 ln(1)ln(1)xxxx 则(30)ln(30899 )f 此时， * * * 7 1 59.9833 yu u u 第二章 插值法 1当1,1, 2x时，()0,3, 4fx,求()fx的二次插值多项式。 解： 012 012 12 0 0102 02 1 1012 01 2 2021 1,1,2, ()0,()3,()4; ()()1 ()(1)(2) ()()2 ()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 xxx fxfxfx xxxx lxxx xxxx xxxx lxxx xxxx xxxx lxxx xxxx 则二次拉格朗日插值多项式为 2 2 0 ()() kk k Lxy lx 02 2 3()4() 14 (1)(2)(1)(1) 23 537 623 lxlx xxxx xx 2给出()lnfxx的数值表 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144 用线性插值及二次插值计算ln 0.54的近似值。 解：由表格知， 01234 01 23 4 0.4,0.5,0.6,0.7,0.8; ()0.916291,()0.693147 ()0.510826,()0.356675 ()0.223144 xxxxx fxfx fxfx fx 若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f， 则0.50.540.6 2 1 12 1 2 21 11122 ()10(0.6) ()10(0.5) ()()()()() xx lxx xx xx lxx xx Lxfxlxfxlx 6 . 9 3 1 4 7 (0 . 6 )5 . 1 0 8 2 6 (xx 1(0.54) 0.62021860.620219L 若采用二次插值法计算ln 0.54时， 12 0 0102 02 1 1012 01 2 2021 2001122 ()() ()50(0.5)(0.6) ()() ()() ()100(0.4)(0.6) ()() ()() ()50(0.4)(0.5) ()() ()()()()()()() xxxx lxxx xxxx xxxx lxxx xxxx xxxx lxxx xxxx Lxfxlxfxlxfxlx 5 00 . 9 1 6 2 9 1 (0 . 5 ) (0 . 6 )6 9 . 3 1 4 7 (0 . 4 ) (0 . 6 )0 . 51 0 8 2 65 0 (0 . 4 ) (0 . 5xxxxxx 2 ( 0 . 5 4 )0 . 6 1 5 3 1 9 8 40 . 6 1 5 3 2 0L 3给全cos,090xx 的函数表， 步长1(1 / 60),h若函数表具有5 位有效数字， 研 究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。 解：求解 cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5 位有效数 字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似 值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综 合以上两方面的因素。 当090x时， 令()cosfxx 取 0 11 0,() 606018010800 xh 令 0 ,0,1,., 5400 i xxih i 则 5400 90 2 x 当 1 , kk xxx时，线性插值多项式为 1 11 11 ()()() kk kk kkkk xxxx Lxfxfx xxxx 插值余项为 11 1 ()cos()()()() 2 kk R xxLxfxxxx 又在建立函数表时，表中数据具有5 位有效数字，且 cos0,1x，故计算中有误差传播 过程。 *5 * 11 21 11 * 11 11 * 1 * 1 ()10 2 ()()() ()() 1 ()() () k kk kk kkkk kk k kkkk kkk k fx xxxx Rxfxfx xxxx xxxx fx xxxx fxxxxx h fx 总误差界为 12 * 1 * 1 2* 85 5 ()() 1 (cos)()()() 2 1 ()()() 2 11 ()() 22 1 1.061010 2 0.5010610 kkk kkk k RRxRx xxxxfx xxxxfx hfx 4设为互异节点，求证： （1） 0 () n kk jj j x lxx(0 , 1 ,)kn （2） 0 ()()0 n k jj j xxlx(0 , 1 ,)kn 证明 （1）令() k fxx 若插值节点为,0,1, j xjn，则函数()fx的 n 次插值多项式为 0 ()() n k njj j Lxx lx。 插值余项为 (1) 1 () ()()()() (1)! n nnn f RxfxLxx n 又,kn (1) ()0 ()0 n n f Rx 0 () n kk jj j x lxx(0 , 1 ,)kn 0 00 00 (2)()() ()() ()() n k jj j nn jiki kjj ji nn ikii kjj ij xxlx Cxxlx Cxx lx 0in又由上题结论可知 0 () n ki jj j x lxx 0 () () 0 n ikii k i k Cxx xx 原 式 得证。 5 设 2 (),fxCa b且()()0,fafb求证： 2 1 m ax()()m ax() . 8 axbaxb fxbafx 解：令 01 ,xa xb，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101 010 ()()() xxxx Lxfxfx xxxx =()() xbxa fafb abxa 1 ()()0 ()0 fafb Lx 又 插值余项为 101 1 ()()()()()() 2 R xfxLxfxxxxx 01 1 ()()()() 2 fxfxxxxx 01 2 01 2 10 2 ()() 1 ()() 2 1 () 4 1 () 4 xxxx xxxx xx ba 又 2 1 m ax()()m ax() . 8 ax baxb fxbafx 6在44x上给出() x fxe的等距节点函数表，若用二次插值求 x e的近似值，要使 截断误差不超过 6 10，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：若插值节点为 1,ii xx和 1i x，则分段二次插值多项式的插值余项为 211 1 ()()()()() 3! iii Rxfxxxxxx 211 44 1 ()()()() m ax() 6 iii x Rxxxxxxxfx 设步长为h，即 11 , iiii xxhxxh 4343 2 123 (). 62733 Rxehe h 若截断误差不超过 6 10，则 6 2 436 ()10 3 10 27 0.0065. Rx e h h 7若 44 2 ,. n nnn yyy求及， 解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。 2 n n y 44 (1) nn yEy 4 4 0 4 4 0 4 4 0 4 4 (1 ) 4 (1 ) 4 (1 )2 ( 21 ) 2 jj n j j nj j jj n j n n n Ey j y j y j y y 11 44 22 () nn yEEy 1 44 2 24 2 2 () (1) 2 n n n n EEy Ey y 8如果()fx是m 次多项式，记()()()fxfxhfx，证明()fx的k 阶差分 ()(0) k fxkm是m k次多项式，并且 1 ()0 m fx（l为正整数）。 解：函数()fx的Taylor展式为 2()(1)1 111 ()()()()()() 2!(1)! mmmm fxhfxfx hfx hfx hfh mm 其中(,)x xh 又()fx是次数为 m 的多项式 (1) ()0 ()()() m f fxfxhfx 2()11 ()()() 2! mm fx hfx hfx h m ()fx为1m阶多项式 2 ()()fxfx 2 ()fx为 2m阶多项式 依此过程递推，得() k fx是mk次多项式 () m fx是常数 当l为正整数时， 1 ()0 m fx 9证明 1 () kkkkkk f gfggf 证明 11 () kkkkkk f gfgf g 1111 111 1 1 ()() kkkkkkkk kkkkkk kkkk kkkk fgf gf gf g gfffgg gffg fggf 得证 10证明 11 001 00 nn kknnkk kk fgf gf ggf 证明：由上题结论可知 1 () kkkkkk fgf ggf 1 0 1 1 0 11 1 00 () () n kk k n kkkk k nn kkkk kk fg f ggf f ggf 11 1 0 1100221111 00 () () ()()() kkkkkk n kk k nnnn nn f gfgf g f g f gf gf gf gf gfg f gf g 11 001 00 nn kknnkk kk fgf gf ggf 得证。 11证明 1 2 0 0 n jn j yyy 证明 11 2 1 00 () nn jjj jj yyy 10211 0 ()()() nn n yyyyyy yy 得证。 12若 1 011 () nn nn fxaa xaxa x有 n 个不同实根 12 , n xxx， 证明： 1 1 0 0, 02; (),1 k n j j j knx fxnkn 证明：()fx有个不同实根 12 , n xxx 且 1 011 () nn nn fxaa xaxa x 12 ()()()() nn fxaxxxxxx 令 12 ()()()() nn xxxxxxx 则 11()() kk nn jj jj jnnj xx fxax 而 2313 ()()()()()()() nnn xxxxxxxxxxxxx 121 ()()() n xxxxxx 1211 ()()()()()() njjjjjjjjn xxxxxxxxxxx 令(), k gxx 12 1 , () k n j n j nj x gxxx x 则 12 1 , () k n j n j nj x gxxx x 又 12 1 1 , () k n j n j jn x gxxx fxa 1 1 0 0, 02; (),1 k n j j j knx fxnkn 得证。 13证明 n 阶均差有下列性质： （1）若()()Fxcfx，则 0101 ,; nn Fxxxcfxxx （2）若()()()Fxfxg x，则 010101 ,. nnn Fxxxfxxxgxxx 证明： （1） 12 0 011 () , ()()()() j n n j jjjjjjn fx fxxx xxxxxxxx 12 0 011 () , ()()()() j n n j jjjjjjn Fx Fxxx xxxxxxxx 0 011 () ()()()() j n j jjjjjjn cfx xxxxxxxx 0 011 () () ()()()() j n j jjjjjjn fx c xxxxxxxx 01 , n cfxxx 得证。 (2)()()()Fxfxgx 0 0 011 () , ()()()() j n n j jjjjjjn Fx Fxx xxxxxxxx 0 011 ()() ()()()() jj n j jjjjjjn fxgx xxxxxxxx 0 011 () ) ()()()() j n j jjjjjjn fx xxxxxxxx + 0 011 () ) ()()()() j n j jjjjjjn g x xxxxxxxx 00 , nn fxxgxx 得证。 14 74 ()31,fxxxx求 017 2 , 2 , 2F及 018 2 ,2 , 2F。 解： 74 ()31fxxxx 若2 ,0,1, 8 i i xi 则 () 01 () , ! n n f fxxx n (7) 017 ()7! ,1 7!7! f fxxx (8 ) 018 () ,0 8! f fxxx 15证明两点三次埃尔米特插值余项是 ( 4)22 311 ()() ()()/ 4 ! ,(,) kkkk Rxfxxxxxx 解： 若 1 , kk xxx，且插值多项式满足条件 33 ()(),()() kkkk HxfxHxfx 311311 ()(),()() kkkk HxfxHxfx 插值余项为 3 ()()()R xfxHx 由插值条件可知 1 ()()0 kk R xR x 且 1 ()()0 kk RxRx ()R x可写成 22 1 ()()() () kk R xgxxxxx 其中()g x是关于 x 的待定函数， 现把 x 看成 1 , kk xx上的一个固定点，作函数 22 31 ( )( )( )()() () kk tftHtgxtxtx 根据余项性质，有 1 ()0,()0 kk xx 22 31 3 ()()()()() () ()()() 0 kk xfxHxgxxxxx fxHxR x 22 311 ( )( )( )()2()()2()() kkkk tftHtgxtxtxtxtx ()0 k x 1 ()0 k x 由罗尔定理可知，存在(,) k xx和 1 (,) k x x，使 12 ()0,()0 即()x在 1 , kk xx上有四个互异零点。 根据罗尔定理，( )t在( )t的两个零点间至少有一个零点， 故( )t在 1 (,) kk xx内至少有三个互异零点， 依此类推， ( 4) ( )t在 1 (,) kk xx内至少有一个零点。 记为 1 (,) kk xx使 ( 4)( 4)(4) 3 ()()()4!()0fHgx 又 (4 ) 3 ( )0Ht ( 4) 1 () (),(,) 4! kk f gxxx 其中依赖于 x ( 4) 22 1 () ()() () 4! kk f R xxxxx 分段三次埃尔米特插值时，若节点为(0,1,) k xkn，设步长为h，即 0 ,0,1, k xxkh kn在小区间 1 , kk xx上 ( 4) 22 1 ( 4)22 1 () ()() () 4! 1 ()() () () 4! kk kk f R xxxxx R xfxxxx 22(4) 1 22( 4) 1 4(4 ) 4 4 (4 ) 1 () ()max() 4 ! 1 () m ax() 4 !2 11 max() 4!2 max() 384 kk axb kk axb axb axb xxxxfx xxxx fx hfx h fx 16 求一个次数不高于4次的多项式P （ x），使它满足 (0)(0)0,(1)(1)0,(2)0PPPPP 解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4 的多项式 01 01 01 0,1 0,1 0,1 xx yy mm 11 3 00 2 01 0 0101 2 ()()() ()(12)() (12)(1) jjjj jj Hxyxmx xxxx x xxxx xx 2 10 1 1010 2 ()(12)() (32) xxxx x xxxx x x 2 0 2 1 ()(1) ()(1) xx x xxx 2232 3( )(32)(1)2Hxx xxxxx 设 22 301 ()()() ()P xHxA xxxx 其中， A 为待定常数 3222 (2)1 ()2(1) P P xxxAxx 1 4 A 从而 22 1 ()(3) 4 P xxx 17 设 2 ( )/ ( 1)f xx， 在 55x上取10n， 按等距节点求分段线性插值函数 () h Ix， 计算各节点间中点处的() h Ix与()fx值，并估计误差。 解： 若 010 5,5xx 则步长1,h 0 ,0,1,10 i xxih i 2 1 () 1 fx x 在小区间 1 , ii xx上，分段线性插值函数为 1 1 11 ()()() ii hii iiii xxxx Ixfxfx xxxx 1 22 1 11 ()() 11 ii ii xxxx xx 各节点间中点处的() h Ix与()fx的值为 当4.5x时，()0.0471,()0.0486 h fxIx 当3.5x时，()0.0755,()0.0794 h fxIx 当2.5x时，()0.1379,()0.1500 h fxIx 当1.5x时，()0.3077,()0.3500 h fxIx 当0.5x时，()0.8000,()0.7500 h fxIx 误差 1 2 55 m ax()()m ax() 8 ii h xxxx h fxIxf 又 2 1 () 1 fx x 22 2 23 3 24 2 (), (1) 62 () (1) 2424 () (1) x fx x x fx x xx fx x 令()0fx 得()fx的驻点为 1,2 1x和 3 0x 1,23 55 1 (),()2 2 1 max()() 4 h x fxfx fxIx 18求 2 ()fxx在,a b上分段线性插值函数() h Ix，并估计误差。 解： 在区间,a b上， 01 ,0,1,1, niii xa xb hxxin 01 2 max () i in hh fxx 函数()fx在小区间 1 , ii xx 上分段线性插值函数为 1 1 11 22 11 ()()() 1 ()() ii hii iiii iiii i xxxx Ixfxfx xxxx xxxxxx h 误差为 1 2 2 2 1 m ax()()m ax() 8 () ()2,()2 max()() 4 ii hi xxxab h axb fxIxfh fxx fxxfx h fxIx 19求 4 ()fxx在,a b上分段埃尔米特插值，并估计误差。 解： 在,a b区间上， 01 ,0,1,1, niii xa xb hxxin 令 01 m ax i in hh 43 (),()4fxxfxx 函数()fx在区间 1 , ii xx上的分段埃尔米特插值函数为 2 1 11 2 1 1 11 2 1 1 2 11 1 ()() (12)() () (12)() () ()() () ()() ii hi iiii ii i iiii i ii ii i ii ii xxxx Ixfx xxxx xxxx fx xxxx xx xxfx xx xx xxfx xx 4 2 1 3 4 2 1 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 2 () (22) () (22) 4 () () 4 () () i iii i i iii i i ii i i ii i x xxhxx h x xxhxx h x xxxx h x xxxx h 误差为 ( 4 )22 1 (4)4 ()() 1 () () () 4! 1 m ax() () 242 h ii i axb fxIx fxxxx h f 又 4 ()fxx (4) 44 01 ()4!24 max()()m ax 1616 i h axbin fx hh fxIx 20给定数据表如下： Xj 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 Yj 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条插值，并满足条件： (1)(0.25)1.0000,(0.53)0.6868; (2)(0.25)(0.53)0. SS SS 解： 010 121 232 343 0.05 0.09 0.06 0.08 hxx hxx hxx hxx 1 11 1234 , 533 ,1 1457 jj jj jjjj hh hhhh 1230 10 01 10 12 23 34 924 ,1 1457 ()() ,0.9540 ,0.8533 ,0.7717 ,0.7150 fxfx fxx xx fxx fxx fxx 04 0120 0 1201 1 01 2312 2 12 3423 3 23 4434 3 (1)()1.0000,()0.6868 6 (,)5.5200 , 64.3157 , 63.2640 , 62.4300 6 (,)2.1150 SxSx dfxxf h fxxfxx d hh fxxfxx d hh fxxfxx d hh dffxx h 由此得矩阵形式的方程组为 2 1 M0 5.5200 5 14 2 9 14 M1 4.3157 3 5 2 2 5 M2 3.2640 3 7 2 4 7 M3 2.4300 1 2 M4 2.1150 求解此方程组得 01 234 2.0278,1.4643 1.0313,0.8070,0.6539 MM MMM 三次样条表达式为 33 1 1 22 11 1 ()() () 66 ()()(0,1,1) 66 jj jj jj jjjjjj jj jj xxxx S xMM hh MhxxMhxx yyjn hh 将 01234 ,MMMMM代入得 33 33 33 6.7593(0.30)4.8810(0.25)10.0169(0.30)10.9662(0.25) 0.25, 0.30 2.7117 (0.39)1.9098(0.30)6.1075(0.39)6.95 44(0.30) 0.30, 0.39 () 2.8647 (0.45)2.2422(0.39)10.4186(0.45 xxxx x xxxx x S x xxx 33 )10.9662(0.39) 0.39, 0.45 1.6817 (0.53)1.3623(0.45)8.3958(0.53)9.10 87 (0.45) 0.45, 0.53 x x xxxx x 04 0012 344 04 (2)()0,()0 20,4.3157,3.2640 2.4300,20 0 SxSx dfdd ddf 由此得矩阵开工的方程组为 04 1 2 3 0 9 20 14 4.3157 32 23.2640 55 2.4300 3 02 7 MM M M M 求解此方程组，得 01 234 0,1.8809 0.8616,1.0304,0 MM MMM 又三次样条表达式为 33 1 1 22 11 1 ()() () 66 ()() 66 jj jj jj jjjjjj jj jj xxxx S xMM hh MhxxMhxx yy hh 将 01234 ,MMMMM代入得 3 33 33 6.2697 (0.25)10(0.3)10.9697(0.25) 0.25, 0.30 3.4831(0.39)1.5956(0.3)6.1138(0.39)6.951 8(0.30) 0.30, 0.39 () 2.3933(0.45)2.8622(0.39)10.4186(0.45)11.1903(0.39) 0.3 xxx x xxxx x S x xxxx x 3 9, 0.45 2.1467 (0.53)8.3987 (0.53)9.1(0.45) 0.45, 0.53 xxx x 21若 2 (),()fxCa bS x是三次样条函数，证明： 22 22 (1)()() ()()2()()() bb aa bb aa fxdxSxdx fxSxdxSxfxSxdx (2)若()()(0,1,) ii fxS xin，式中 i x为插值节点，且 01n axxxb，则 ()()() ()()()()()() b a SxfxSxdx SbfbSbSafaSa 证明： 2 22 22 (1)()() ()()2()() ()()2()()() b a bbb aaa bbb aaa fxSxdx fxdxSxdxfx Sx dx fxdxSxdxSxfxSxdx 从而有 22 2 ()() ()()2()()() bb aa bb aa fxdxSxdx fxSxdxSxfxSxdx 第三章 函数逼近与曲线拟合 1()sin 2 fxx，给出0,1上的伯恩斯坦多项式 1( ,)Bfx及 3( ,)Bfx。 解： ()sin, 2 fx0,1x 伯恩斯坦多项式为 0 (,)()() n nk k k BfxfPx n 其中()(1) knk k n Pxxx k 当1n时， 0 1 ()(1) 0 Pxx 1 101 () (,)(0)()(1)() 1 (1) sin(0)sin 022 Pxx BfxfPxfPx xx x 当3n时， 3 0 22 1 22 2 33 3 1 ()(1) 0 1 ()(1)3(1) 0 3 ()(1)3(1) 1 3 () 3 Pxx Pxxxxx Pxxxxx Pxxx 3 3 0 223 223 32 23 (,)()() 03(1)sin3(1) sinsin 632 333 (1)(1) 22 5333363 222 1.50.4020.098 k k k BfxfPx n xxxxx xxxxx xxx xxx 2 当()fxx时，求证(,) n Bfxx 证明： 若()fxx，则 0 (,)()() n nk k k BfxfPx n 0 0 1 1 1(1)(1) 1 1 (1) (1)(1) (1) ! (1)(1)(1)1 (1) (1)! 1 (1) 1 1 (1) 1 (1) n knk k n knk k n knk k n knk k n knk k n n k xx kn k n nnk xx nk nnk xx k n xx k n xxx k x xx x 3证明函数1, n xx线性无关 证明： 若 2 012 0, n n aa xa xa xxR 分别取(0,1, 2,) k xkn，对上式两端在0,1上作带权()1x的内积，得 0 1 0 1 0 1 0 21 1 1 1 1 n a a a n n n 此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异， 只有零解a=0。 函数1, n xx线性无关。 4。计算下列函数()fx关于0,1C的 1 ,ff 与 2 f： 3 (1)()(1) ,0,1 1 (2)(), 2 fxxx fxx (3)()(1) , mn fxxxm 与 n 为正整数， 10 (4)()(1) x fxxe 解： (1)若 3 ()(1) ,0,1fxxx，则 2 ()3(1)0fxx 3 ()(1)fxx在(0,1)内单调递增 01 m ax() m ax(0) ,(1) m ax0,11 x ffx ff 01 m ax() m ax(0) ,(1) m ax0,11 x ffx ff 1 1 6 2 2 0 1 7 2 (1) 1 1 (1) 07 7 7 fxdx x (2)若 1 (),0,1 2 fxxx，则 01 1 1 0 1 1 2 1 m ax() 2 () 1 2() 2 1 4 x ffx ffxdx xdx 1 1 2 2 2 0 1 1 2 2 0 () 1 () 2 3 6 ffx dx xdx (3)若()(1) , mn fxxxm 与 n 为正整数 当0,1x时,()0fx 11 11 ()(1)(1)(1) (1)(1) mnmn mn fxmxxxnx nm xxmx m 当(0,) m x nm 时,()0fx ()fx在(0,) m nm 内单调递减 当(,1) m x nm 时,()0fx ()fx在(,1) m nm 内单调递减。 01 (,1)()0 m ax() m ax(0) ,() () x mn mn m xfx nm ffx m ff nm mn mn 1 1 0 1 0 222 2 0 22 2 0 () (1) (sin)(1sin)sin sincoscos2 sin ! (1)! mn mn mn ffxdx xxdx ttdt ttttdt n m nm 1 1 22 2 2 0 1 442 22 0 1 4141 22 0 (1) sincos(sin) 2 sincos (2)!(2)! 2()1! mn mn mn fxxdx ttdt ttdt nm nm (4)若 10 ()(1) x fxxe 当0,1x时，()0fx 910 9 ()10(1)(1)() (1)(9) 0 xx x fxxexe xex ()fx在0,1内单调递减。 01 10 1 1 0 1 10 0 1 109 0 1 1 202 2 2 0 2 m ax() m ax(0) ,(1) 2 () (1) 1 (1)10(1) 0 10 5 (1) 34 7() 4 x x xx x ffx ff e ffxdx xedx xexedx e fxedx e 5。证明fgfg 证明： () f fgg fgg fgfg 6。对 1 (),(),fxgxCa b，定义 (1)(,)()() (2)(,)()()()() b a b a fgfx gx dx fgfx gx dxfa g a 问它们是否构成内积。 解： (1)令()fxC（ C 为常数，且0C） 则()0fx 而(,)()() b a fffxfx dx 这与当且仅当0f时，(,)0ff矛盾 不能构成 1 ,Ca b上的内积。 (2)若(,)()()()() b a fgfx gx dxfa g a ，则 (,)()()()()(,), (,)()()()() ()()()() (,) b a b a b a gfgxfx dxg afafgK fgfxgx dxafa g a fx gx dxfag a fg 1 ,hCa b,则 (,)()()()()()() ()()()()()()()() (,)(,) b a bb aa fg hfxgxhx dxfa g ah a fx hx dxfa h afx hx dxg a h a fhh g 22 (,)()()0 b a fffxdxfa 若(,)0ff，则 2 ()0 b a fxdx,且 2 ()0fa ()0,()0fxfa ()0fx 即当且仅当0f时，(,)0ff. 故可以构成 1 ,Ca b上的内积。 7。令 * ()(21),0,1 nn TxTxx，试证 * () n Tx是在0,1上带权 2 1 ()x xx 的正交 多项式，并求 * 0123 (),(),(),()TxTxTxTx。 解： 若 * ()(21),0,1 nn TxTxx，则 1 * 0 1 2 0 ()()() 1 (21)(21) nm nm Tx Tx Px dx TxTxdx xx 令(21)tx，则1,1t，且 1 2 t x，故 1 * 0 1 1 2 1 2 1 ()()() 11 ( )( )() 211 () 22 1 ( )( ) 1 nm nm nm Tx Txx dx t Tt Ttd tt Tt Ttdt t 又切比雪夫多项式 * () k Tx在区间0,1上带权 2 1 () 1 x x 正交，且 1 2 1 0, ()(),0 2 1 ,0 nm nm x Tx Tx dnm t nm * () n Tx是在0,1上带权 2 1 ()x xx 的正交多项式。 又 0 ()1,1,1Txx * 00 1 * 11 ()(21)1,0,1 (),1,1 ()(21)21,0,1 TxTxx Txx x TxTxxx 2 2 * 22 2 2 ()21,1,1 ()(21) 2(21)1 881,0,1 Txxx TxTx x xxx 3 3 * 33 ()43,1,1 ()(21) Txxx x TxTx 3 32 4(21)3(21) 3248181,0,1 xx xxxx 8。 对权函数 2 ()1xx， 区间1,1， 试求首项系数为1 的正交多项式(),0,1, 2, 3. n xn 解： 若 2 ()1xx，则区间1,1上内积为 1 1 (,)()()()fgfx g xx dx 定义 0( )1x，则 11 ()()()() nnnnn xxxx 其中 11 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 32 1 1 22 1 1 1 22 1 1 2 1 (),() /(),() (),() /(),() (,1) /(1,1) (1) (1) 0 () (,) /(,) (1) (1) 0 (,) /(1,1) (1) (1) nnnnn nnnnn xxxxx xxxx x xxdx xdx xx xxx x xxdx xxdx x x xxdx x 2 2 16 2 15 8 5 3 2 () 5 dx xx 3222 2 1 322 1 1 222 1 22 2 1 222 1 1 22 1 323 3 2222 (,) /(,) 5555 22 ()()(1) 55 22 ()()(1) 55 0 22 (,) /(,) 55 22 ()()(1) 55 (1) 136 17 525 16 70 15 2179 () 57014 xx xxx xxxxdx xxxdx xxx x xxxdx xxdx xxxxxx 9。 试 证 明 由 教 材 式(2.14)给 出 的 第 二 类 切 比 雪 夫 多 项 式 族() n ux是0,1上 带 权 2 ()1xx的正交多项式。 证明： 若 2 sin(1) arccos () 1 n nx Ux x 令cosx，可得 1 2 1 1 21 0 2 0 ()()1 sin(1) arccos sin(1) arccos 1 sin(1)sin(1) 1cos sin(1)sin(1) mn Ux Uxx dx mxnx dx x mn d mnd 当 m n 时， 2 0 0 sin(1) 1cos2(1) 2 2 md m d 当mn时， 0 0 0 0 0 2 0 sin(1)sin(1) 1 sin(1)cos(1) 1 1 cos(1)sin(1) 1 1 cos(1)cos(1) 1 11 cos(1)sin(1) 11 1 sin(1)cos(1) (1) ( mnd mdn n ndm n m nmd n m mdn nn m ndm n m 2 0 1 )sin(1) sin(1) 1 0 nmd n 2 0 1 1() sin(1) sin(1)0 1 m nmd n 又mn，故 2 1 ()1 1 m n 0 sin(1)sin(1)0nmd 得证。 10。证明切比雪夫多项式() n Tx满足微分方程 22 (1)()()()0 nnn xTxxTxn Tx 证明： 切比雪夫多项式为 ()cos(arccos),1 n Txnxx 从而有 2 2 2 32 2 2 22 2 2 2 2 1 ()sin(arccos)() 1 sin(arccos) 1 ()sin(arccos)cos(arccos) 1