微分方程试题及部分应用题答案整理版.doc

第十章 微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、 微分方程的阶数是 . 1-2-41、 微分方程的阶数是 . 1-3-42、 微分方程的阶数是 . 1-4-43、的阶数是 . 1-5-44、微分方程满足条件的特解是 . 1-6-45、微分方程的通解是 . 1-7-46、方程的通解是 . 1-8-47、 方程的通解是 . 1-9-48、方程的通解是 . 1-10-49、方程的通解是 . 1-11-50、方程的通解是 . 1-12-51、已知特征方程的两个特征根则二阶常系数齐次微分方程为 1-13-52、微分方程的通解为 . 1-14-53、微分方程的通解为 . 1-15-54、若是全微分方程, 则应满足 . 1-16-55、与积分方程等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程满足条件的特解是 . 1-19-59、方程化为可分离变量方程是 1-20-60、方程的通解是 1-21-61、 方程化为齐次方程是 1-22-62、 若是微分方程的解, 则 . 1-23-63、若满足, 则 . 1-24-64、的解是 1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数(万)和的积成正比, 则该城市人口所满足的微分方程为 1-26-66、 圆满足的微分方程是 1-27-67、 满足的微分方程是 1-28-68、一阶线性微分方程的通解是 . 1-29-69、已知特征方程的两个根, 则二阶常系数线性齐次微分方程为 . 1-30-70、方程是微分方程的 解. 1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 . 1-33-73、将微分方程写成齐次微分方程的标准形式为 二.选择题：（29）2-1-56、微分方程的通解是 ( ) A. B. C. D. 2-2-57、 微分方程的通解是 ( ) A. B. C. D. 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( ) A. B. C. D. 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( ) A. B. C. D.2-5-60、方程的通解是 ( ) A. B. C. D. 2-6-61、方程的通解是 ( ) A. B. C. D.2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( ) A. B. C. D. 2-8-63、 微分方程的通解是 ( ) A. B. C. D. 2-9-64、已知微分方程的通解为,则的值是 ( ) A.1 B.0 C. D.2-10-65、微分方程的通解是 ( ) A. B. C. D. 2-11-66、方程的通解是 ( ) A. B. C. D. 2-12-67、 的通解为( ) A. B. C. D. 2-13-68、微分方程满足的特解为 ( ) A. B. C. D.2-14-69、微分方程的通解是 ( ) A. B. C. D. 2-15-70、 微分方程的通解是 ( ) A. B. C. D. 2-16-71、 过点的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( ) A. B. C. D. 2-17-72、齐次方程化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. B. C. D. 2-18-73、 设方程有两个不同的解,若也是方程的解,则( ) A. B. C. D. 为任意常数2-19-74、 方程的通解是 ( ) A. B. C. D. 2-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( ) A. B. C. D.2-21-76、曲线上任一点P的切线均与OP垂直的曲线方程是 ( ) A. B. C. D. 2-22-77、方程的解是 ( ) A. B. C. D. 2-23-78、 微分方程的通解是 ( ) A. B. C. D. 2-24-79、下列哪个不是方程的解 ( ) A. B. C. D. 2-25-80、方程的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于，则这条曲线是( ) A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( ) A. B. C. D. 2-28-83、微分方程的通解是 ( ) A. B. C. D. 2-29-84、 已知微分方程的通解为,则的值( ) A. 1 B. 0 C. D. 三.计算题：（59）3-1-52、 3-2-53、 3-3-54、 3-4-55、 3-5-56、 3-6-57、 3-7-58、 , 3-8-59、 3-9-60、 3-10-61、 , 3-11-62、 3-12-63、 3-13-64、 3-14-65、 3-15-66、 3-16-67、 3-17-68、 , 3-18-69、 , 3-19-70、 3-20-71、 , 3-21-72、 3-22-73、 3-23-74、 3-24-75、 3-25-76、 , 3-26-77、 , 3-27-78、 , 3-28-79、 , 3-29-80、 3-30-81、 3-31-82、 3-32-83、 3-33-84、 3-34-85、 3-35-86、 3-36-87、 3-37-88、 3-38-89、, , 3-39-90、, , 3-40-91、 3-41-92、 3-42-93、 3-43-94、 3-44-95、, , 3-45-96、, , 3-46-97、, , 3-47-98、, , 3-48-99、, , 3-49-100、, , 3-50-101、3-51-102、 3-52-103、 3-53-104、3-54-105、 3-55-106、, , 3-56-107、, , 3-57-108、, , 3-58-109、, , 3-59-110、四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程. 4-2-10、已知, 求函数4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点处的切线斜率等于. 4-4-14、试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线. 4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程.4-6-16、已知某曲线经过点, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程. 4-7-17、设可导函数满足, 求. 4-8-10、已知某商品需求量Q对价格的弹性为, 最大需求量为, 求需求函数.4-9-11、设质量为的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率与时间的关系, 再求物体下落距离与时间的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L和交流电动势, 在时刻时接通电路, 求电流与时间的关系(, 为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于轴上点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数沿平行与轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为, 求鱼雷的航行曲线方程. 4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润与广告支出有如下关系 ，（其中）, 若不做广告, 即 时纯利润为, 且, 试求纯利润与广告费之间的函数关系. 4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入, 国民储蓄和投资 均是时间的函数, 且在任一时刻, 储蓄为国民收入的, 投资额是国民收入增长率的 . 设时国民收入为5(亿元), 假定在时刻的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数. 4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 五.证明题：（2）5-1-18、设 是二阶齐次线性方程的两个解,令证明: 满足方程5-2-19、设, , 是线性方程的3个相异特解, 证明 为一常数. 部分应用题答案487在串联电路中, 设有电阻R, 电感L和交流电动势, 在时刻时接通电路, 求电流与时间的关系(, 为常数).解. 设, 由回路电压定律, 即 = =将代入通解得488. 设质量为的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率与时间的关系, 再求物体下落距离与时间的关系解：. 物体重力为, 阻力为, 其中是重力加速度, 是比例系数. 由牛顿第二定律得,从而得线性方程, , 将代入通解得 , 再积分得, 将代入求得 489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于轴上点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数沿平行与轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为, 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为, 在时刻, 鱼雷的坐标巍巍, 敌舰的坐标为. 因鱼雷始终对准敌舰, 故, 又弧的长度为,从以上两式消去得, 即根据题意, 初始条件为, 令, 原方程化为, 它是可分离变量得方程, 解得, 即将代入上式得, 故而, 得积分得, 将代入上式得,所以鱼雷的航行曲线为490根据经验可知, 某产品的纯利润与广告支出有如下关系 ，（其中）, 若不做广告, 即 时纯利润为, 且, 试求纯利润与广告费之间的函数关系.解：依题意得, , 解可分离变量得微分方程, 得通解, 将代入通解, 得, 所以纯利润与广告费之间的函数关系为.491在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入, 国民储蓄和投资均是时间的函数, 且在任一时刻, 储蓄为国民收入的, 投资额是国民收入增长率的 . 设时国民收入为5(亿元), 假定在时刻的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数. 解：依题意: , , 解之得通解, 将代入通解得, 所以国民收入函数为492试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻, 商品的价格为, 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格, 又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格的变化率与需求和供给之差成正比. 记需求函数为, 供给函数为, 其中为参数. 于是得微分方程, , 其中为时商品的价格, 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, , , 则