（课标专用）2020届高考数学一轮复习第十五章坐标系与参数方程课件.pptx

第十五章 坐标系与参数方程,高考文数 (课标专用),考点一 极坐标方程,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2019课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 在极坐标系中,O为极点,点M(0,0)(00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂 足为P. (1)当0= 时,求0及l的极坐标方程; (2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.,解析 本题主要考查了极坐标的概念和求极坐标方程的基本方法,考查了数学运算能力和数 形结合的思想方法,主要体现了直观想象和数学运算的核心素养. (1)因为M(0,0)在C上,当0= 时,0=4sin =2 . 由已知得|OP|=|OA|cos =2. 设Q(,)为l上除P的任意一点. 在RtOPQ中,cos =|OP|=2. 经检验,点P 在曲线cos =2上. 所以,l的极坐标方程为cos =2. (2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos =4cos ,即=4cos . 因为P在线段OM上,且APOM,故的取值范围是 . 所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos , .,思路分析 (1)由极坐标的定义,通过解直角三角形建立l上动点横纵坐标,的等式求解;(2)在 RtOAP中,解三角形求点P的轨迹方程,利用点P在线段OM上确定的取值范围. 易错警示 忽视了点P在线段OM上的条件,没有限制的取值范围而导致错解.,2.(2019课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B ,C ,D(2,),弧 , , 所在圆的圆心分别是 (1,0), ,(1,),曲线M1是弧 ,曲线M2是弧 ,曲线M3是弧 . (1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程; (2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|= ,求P的极坐标.,解析 本题考查极坐标的概念,求极坐标方程等知识点,通过极坐标的应用考查学生的运算求 解能力,以求点的极坐标为背景考查数学运算的核心素养. (1)由题设可得,弧 , , 所在圆的极坐标方程分别为=2cos ,=2sin ,=-2cos . 所以M1的极坐标方程为=2cos ,M2的极坐标方程为=2sin ,M3的极坐 标方程为=-2cos . (2)设P(,),由题设及(1)知 若0 ,则2cos = ,解得= ; 若 ,则2sin = ,解得= 或= ; 若 ,则-2cos = ,解得= . 综上,P的极坐标为 或 或 或 .,3.(2018课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.,解析 (1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两 个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以 =2,故k=- 或k=0. 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点; 当k=- 时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点. 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以 =2,故k=0或k= . 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点; 当k= 时,l2与C2没有公共点. 综上,所求C1的方程为y=- |x|+2.,方法技巧 极坐标方程与直角坐标方程的互化技巧: (1)巧用极坐标方程两边同乘或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有cos ,sin ,2的 形式,然后利用公式代入化简得到直角坐标方程. (2)巧借两角和、差公式转化成sin()或cos()的结构形式,进而利用互化公式得到直角 坐标方程. (3)将直角坐标方程中的x转化为cos ,将y转化为sin ,即可得到其极坐标方程.,4.(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极 坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.,解析 (1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1= . 由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程为=4cos (0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0). (2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面积S= |OA|Bsin AOB =4cos =2 2+ . 当=- 时,S取得最大值2+ . 所以OAB面积的最大值为2+ .,5.(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为 (t为参数),直线l2 的参数方程为 (m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )- =0,M为l3与C的交 点,求M的极径.,解析 (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y= (x+2). 设P(x,y),由题设得 消去k得x2-y2=4(y0). 所以C的普通方程为x2-y2=4(y0). (2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(02,). 联立 得cos -sin =2(cos +sin ). 故tan =- , 从而cos2= ,sin2= , 代入2(cos2-sin2)=4得2=5, 所以交点M的极径为 .,6.(2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数,a 0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos . (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.,解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆. (2分) 将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0. (4分) (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 (6分) 若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0, (8分) 由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0, 从而1-a2=0, 解得a=-1(舍去)或a=1. a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1. (10分),易错警示 对“互化”过程不熟悉,对参数和极坐标的几何意义理解不透彻是失分的主要原因.,考点二 参数方程 1.(2019课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos + sin +11=0. (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值.,解析 本题考查了参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化,通过整 体运算消参数和利用三角函数求最值,考查了数学运算能力和转化的思想方法,核心素养体现 了数学运算. (1)因为-1 1,且x2+ = + =1, 所以C的直角坐标方程为x2+ =1(x-1).l的直角坐标方程为2x+ y+11=0. (2)由(1)可设C的参数方程为 (为参数,-).C上的点到l的距离为 = . 当=- 时,4cos +11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为 . 注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的 “求C和l的直角坐标方程”更改为“求C的普通方程和l的直角坐标方程”更合适.,思路分析 (1)观察、分析参数方程的特征,应通过平方运算消去参数t;直线l的极坐标方程只 需直接利用互化公式即可求解;(2)由点到直线的距离公式,利用椭圆的参数方程转化为三角函 数求最值.,2.(2018课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数),直线l的参数方程为 (t为参数). (1)求C和l的直角坐标方程; (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.,解析 (1)曲线C的直角坐标方程为 + =1. 当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0. 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0. 又由得t1+t2=- ,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2. 注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的 “直角坐标方程”更改为“普通方程”更合适.,方法总结 以角为参数的参数方程,一般利用三角函数的平方关系sin2+cos2=1化为普通方 程;而弦的中点问题常用根与系数的关系或“点差法”进行整体运算求解.,3.(2018课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为 (为参数),过点(0,- )且倾斜角为的直 线l与O交于A,B两点. (1)求的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程.,解析 本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系. (1)O的直角坐标方程为x2+y2=1. 当= 时,l与O交于两点. 当 时,记tan =k, 则l的方程为y=kx- . l与O交于两点当且仅当 1, 即 或 . 综上,的取值范围是 . (2)l的参数方程为 . 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP= ,且tA,tB满足t2-2 tsin +1=0. 于是tA+tB=2 sin ,tP= sin . 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 .,思路分析 (1)将O的参数方程化为普通方程分直线斜率存在与不 存在两种情况讨论由点到直线的距离公式 得到关于斜率的不等式得出斜率的取值范围,进而得 到倾斜角的取值范围 (2)利用中点坐标公式建立A、B、P坐标的关系,即可求P的轨迹方程.,易错警示 容易忽略直线斜率不存在的情形,求倾斜角时要注意斜率是否存在.,解后反思 将参数方程化为普通方程的方法: (1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征选取适当的消参方法.常见的消参 方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三 角函数的基本关系式消参. (2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解.,4.(2017课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数),直线l的参数方程为 (t 为参数). (1)若a=-1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l距离的最大值为 ,求a.,解析 (1)解法一:曲线C的普通方程为 +y2=1. 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0. 由 解得 或 从而C与l的交点坐标为(3,0), . 解法二:设交点坐标为(x,y),当a=-1时, 直线l的参数方程为 将 代入 得 =1-sin ,5.(2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t为参数,t0),其中0.在 以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=2 cos . (1)求C2与C3交点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.,解析 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2 x=0. 联立 解得 或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和 .,(2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0), 其中0. 因此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(2 cos ,). 所以|AB|=|2sin -2 cos |=4 . 当= 时,|AB|取得最大值,最大值为4.,思路分析 (1)将曲线C2与C3的极坐标方程两边同乘,即可化为直角坐标方程,联立即可求出 交点的坐标;(2)将C1的参数方程化为普通方程,再转化为极坐标方程,从而得出|AB|的表达式,然 后求其最值即可.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 极坐标方程,1.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为(cos +sin )=-2,曲线C2的参数方程为 (t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为 .,答案 (2,-4),解析 曲线C1:cos +sin =-2的直角坐标方程为x+y=-2, 曲线C2: 的普通方程为y2=8x, 由 解得 则C1与C2交点的直角坐标为(2,-4).,评析 本题考查直线的极坐标方程向直角坐标方程的转化,及抛物线的参数方程向普通方程 的转化,考查基本运算能力、转化能力,属中档难度题.,2.(2019江苏,21B,10分)选修44:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知两点A ,B ,直线l的方程为sin =3. (1)求A,B两点间的距离; (2)求点B到直线l的距离.,解析 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力. (1)设极点为O.在OAB中,A ,B , 由余弦定理,得AB= = . (2)因为直线l的方程为sin =3, 则直线l过点 ,倾斜角为 . 又B ,所以点B到直线l的距离为(3 - )sin =2.,3.(2018江苏,21C,10分)选修44:坐标系与参数方程 在极坐标系中,直线l的方程为sin =2,曲线C的方程为=4cos ,求直线l被曲线C截得的弦长.,解析 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力. 因为曲线C的极坐标方程为=4cos , 所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆, 因为直线l的极坐标方程为sin =2, 所以直线l过点(4,0),倾斜角为 , 设A(4,0), 则A为直线l与圆C的一个交点. 设另一个交点为B,则OAB= .,连接OB,因为OA为直径, 所以OBA= ,所以AB=4cos =2 . 因此,直线l被曲线C截得的弦长为2 .,一题多解 把直线和曲线的极坐标方程化成直角坐标方程得到l:x- y-4=0,C:x2+y2-4x=0,则C: (x-2)2+y2=4,半径R=2,圆心C(2,0)到l的距离d= =1,因此,直线l被曲线C截得的弦长为2 = 2 .,考点二 参数方程 (2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参数),椭 圆C的参数方程为 (为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.,解析 由题意知椭圆C的普通方程为x2+ =1. 将直线l的参数方程 代入x2+ =1,得 + =1, 即7t2+16t=0, 解得t1=0,t2=- . 所以AB=|t1-t2|= .,评析 本小题主要考查直线和椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及直线与椭 圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.,C组 教师专用题组 考点一 极坐标方程,1.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标 系.若曲线C的极坐标方程为=2sin ,则曲线C的直角坐标方程为 .,答案 x2+y2-2y=0,解析 由=2sin ,得2=2sin ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.,2.(2015课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极 点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为= (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.,解析 (1)因为x=cos ,y=sin , 所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0. (5分) (2)将= 代入2-2cos -4sin +4=0, 得2-3 +4=0, 解得1=2 ,2= . 故1-2= , 即|MN|= . 由于C2的半径为1, 所以C2MN的面积为 . (10分),3.(2013课标,23,10分)已知曲线C1的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2sin . (1)把C1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C1与C2交点的极坐标(0,02).,解析 (1)将 消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 将 代入x2+y2-8x-10y+16=0得 2-8cos -10sin +16=0. 所以C1的极坐标方程为2-8cos -10sin +16=0. (2)C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0. 由 解得 或 所以C1与C2交点的极坐标分别为 , .,思路分析 (1)利用sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程;再利用互化公式得到C1的极坐标方 程;(2)先求出C2的直角坐标方程,再将两圆方程联立求出其交点坐标,最后利用互化公式求出 交点的极坐标.,4.(2011课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (为参数),M是C1 上的动点,P点满足 =2 ,P点的轨迹为曲线C2. (1)求C2的方程; (2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线= 与C1的异于极点的交点为A,与C2 的异于极点的交点为B,求|AB|.,解析 (1)设P(x,y),则由条件知M .由于M点在C1上,所以 即 从而C2的参数方程为 (为参数). (2)曲线C1的极坐标方程为=4sin ,曲线C2的极坐标方程为=8sin . 射线= 与C1的交点A的极径为1=4sin ,射线= 与C2的交点B的极径为2=8sin . 所以|AB|=|2-1|=2 .,评析 本题考查曲线的参数方程、极坐标方程及极径的几何意义,属中等难度题.,考点二 参数方程 1.(2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程; (2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|= ,求l的斜率.,解析 (1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程为2+12cos +11=0. (3分) (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R). 设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0. (6分) 于是1+2=-12cos ,12=11. |AB|=|1-2|= = . (8分) 由|AB|= 得cos2= ,tan = . 所以l的斜率为 或- . (10分),方法总结 利用整体运算的技巧可以大大提高解题效率.,思路分析 (1)利用互化公式求出C的极坐标方程;(2)先把直线的参数方程化为极坐标方程,代 入圆的极坐标方程,建立关于的一元二次方程,再利用根与系数的关系及弦长公式即可解决问题.,2.(2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (为参数). 以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin = 2 . (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.,解析 (1)C1的普通方程为 +y2=1. C2的直角坐标方程为x+y-4=0. (5分) (2)由题意,可设点P的直角坐标为( cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2 的距离d()的最小值,d()= = . (8分) 当且仅当=2k+ (kZ)时,d()取得最小值,最小值为 ,此时P的直角坐标为 . (10分),解析 (1)C1的普通方程为 +y2=1. C2的直角坐标方程为x+y-4=0. (5分) (2)由题意,可设点P的直角坐标为( cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2 的距离d()的最小值,d()= = . (8分) 当且仅当=2k+ (kZ)时,d()取得最小值,最小值为 ,此时P的直角坐标为 . (10分),思路分析 求圆上一动点到直线上点的距离的最小值时,利用圆的参数方程化为三角函数的 最值问题,能极大提高解题效率.,3.(2015陕西,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以原点为极 点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=2 sin . (1)写出C的直角坐标方程; (2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.,解析 (1)由=2 sin ,得 2=2 sin ,从而有x2+y2=2 y, 所以x2+(y- )2=3. (2)设P ,又C(0, ), 则|PC|= = ,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3, 0).,4.(2014课标,23,10分)已知曲线C: + =1,直线l: (t为参数). (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.,解析 (1)曲线C的参数方程为 (为参数). 直线l的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离 d= |4cos +3sin -6|, 则|PA|= = |5sin(+)-6|,其中为锐角, 且tan = . 当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为 . 当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为 .,5.(2014课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标 系,半圆C的极坐标方程为=2cos , . (1)求C的参数方程; (2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的 坐标.,解析 (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1). 可得C的参数方程为 (t为参数,0t). (2)设D(1+cos t,sin t). 由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tan t= ,t= . 故D的直角坐标为 ,即 .,6.(2013课标,23,10分)已知动点P,Q都在曲线C: (t为参数)上,对应参数分别为t=与t =2(02),M为PQ的中点. (1)求M的轨迹的参数方程; (2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.,解析 (1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2). M的轨迹的参数方程为 (为参数,02). (2)M点到坐标原点的距离d= = (02).当=时,d=0,故M的轨迹过坐标原 点.,思路分析 (1)根据题意写出P,Q两点的坐标,再利用中点坐标公式得PQ中点M的坐标,从而得 出M的轨迹的参数方程;(2)利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离,再验证当=时,d =0,即可得M的轨迹过坐标原点.,7.(2012课标全国,23,10分)已知曲线C1的参数方程是 (为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且 A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为 . (1)求点A,B,C,D的直角坐标; (2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.,解析 (1)由已知可得A ,B 2cos + ,2sin + ,C 2cos + ,2 sin + ,D 2cos + ,2sin + , 即A(1, ),B(- ,1),C(-1,- ),D( ,-1). (2)设P(2cos ,3sin ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2+36sin2+16=32+20sin2. 因为0sin21,所以S的取值范围是32,52.,评析 本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法.正确“互化”是解 题的关键.难点是建立函数S=f().,考点一 极坐标方程,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2018河南安阳二模,22)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+ y=5 ,以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=4sin . (1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程; (2)射线OP:= 与圆C的交点为O,A,与直线l的交点为B,求线段AB的长.,解析 (1)因为x=cos ,y=sin ,直线l:x+ y=5 , 所以直线l的极坐标方程为cos + sin =5 , (2分) 化简得2sin =5 . (3分) 由=4sin ,得2=4sin , 所以x2+y2=4y,即x2+y2-4y=0, 故圆C的直角坐标方程为x2+y2-4y=0. (5分) (2)由题意得A=4sin =2, (7分) B= =5, (9分) 所以|AB|=|A-B|=3. (10分),2.(2019湖北黄冈模拟二,22)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点为极点,以x 轴正半轴为极轴,曲线C1的极坐标方程为=4cos ,曲线C2的参数方程为 (t为参数, 0),射线=,=+ ,=- 与曲线C1交于(不包括极点O)三点A、B、C. (1)求证:|OB|+|OC|= |OA|; (2)当= 时,B、C两点在曲线C2上,求m与的值.,解析 (1)证明:依题意知|OA|=4cos ,|OB|=4cos ,|OC|=4cos , 则|OB|+|OC|=4cos +4cos =2 (cos -sin )+2 (cos +sin ) =4 cos = |OA|. (5分) (2)当= 时,B、C两点的极坐标分别为 , , 化为直角坐标为B(1, ),C(3,- ), C2是经过点(m,0)且倾斜角为的直线, 又经过点B、C的直线方程为y=- (x-2), m=2,= . (10分),3.(2019河南豫南九校联考,22)在直角坐标系xOy中,直线l:y= x,曲线C1的参数方程为 (为参数),M是C1的动点,P点满足 =3 ,P点的轨迹为曲线C2. (1)求直线l与曲线C2的极坐标方程; (2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l与C1的异于极点的交点A,与C2的异 于极点的交点为B,求|AB|.,解析 (1)设P(x,y),则由条件知M . 由于M点在C1上,所以 (为参数), 即 (为参数), (2分) 从而C2的参数方程为 (为参数), (3分) 则C2的极坐标方程为=6sin .易知直线l的极坐标方程为= (R). (5分) (2)曲线C1的极坐标方程为=2sin , (6分) 又因为曲线C2的极坐标方程为=6sin ,直线l的极坐标方程为= (R), 所以直线l与C1的交点A的极径为1=2sin . (7分) 直线l与C2的交点B的极径为2=6sin , (8分) 所以|AB|=|2-1|=4sin =2 . (10分),4.(2019 53原创冲刺九,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (为参数), 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线C2:=0(R),C3:=0+ (R). (1)求曲线C1的极坐标方程; (2)求直线C2,C3截曲线C1所得弦长之和的最大值.,解析 (1)将曲线C1的参数方程化为普通方程为(x-1)2+ =4,即x2+y2-2x-2 y=0, (3分) 其极坐标方程为2-2cos -2 sin =0, 化简得=4sin . (5分) (2)由题意可得弦长之和为4sin +4sin =4 sin 4 . 故直线C2,C3截曲线C1所得弦长之和的最大值为4 . (10分),5.(2019河北衡水三模,22)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为 (为参 数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos +sin -2 =0. (1)写出圆C的普通方程与直线l的直角坐标方程,及圆心C到直线l的距离; (2)设点A(1,0)是直线l上的点,B 是圆C上的点,求SAOB.,解析 (1)将 (为参数)消去参数,得圆C的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2. (2分) 将x=cos ,y=sin 代入直线l的极坐标方程,得直线l的直角坐标方程为2x+y-2=0. (3分) 设圆心C到直线l的距离为d, 则d= = . (5分) (2)因为点A(1,0)是直线l上的点, 所以21cos 0+1sin 0-2=01=1, (6分) 又圆C:(x-1)2+(y-1)2=2的极坐标方程为=2cos +2sin , 所以由B 是圆C上的点, 得2=2cos +2sin = +1. (8分) 所以SAOB= |1|2|sinAOB= 1( +1)sin = . (10分),方法总结 解决极坐标方程、参数方程综合问题的方法:(1)求解的一般方法是将参数方程化 为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程;(2)运用数形结合思想,即充分利用参数方程中参 数的几何意义,或者利用极坐标方程中极径的几何意义直接求解.,6.(2019全国统一诊断卷A,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参 数).以原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2+(6cos -2sin ) +4=0. (1)求直线l的极坐标方程; (2)设直线l与圆C交于A,B两点,求 + 的值.,解析 (1)由 (t为参数)两式相加得x+y=0,将 代入得cos +sin =0, (2 分) 整理得= , (4分) 所以直线l的极坐标方程为= (R). (5分) (2)联立 得2+ +4=0. (6分) 即2-4 +4=0. (7分) 设A ,B ,则1+2=4 ,12=4, (8分) 所以 + = + = = = . (10分),考点二 参数方程,1.(2018河北正定模拟,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数), 以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为3cos -4sin -10=0. (1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程; (2)若点P在曲线C上,Q在直线l上,求|PQ|的最小值.,解析 (1)由 (为参数) 消去得(x+2)2+(y-1)2=4. (1分) 3cos -4sin -10=0, 由直角坐标与极坐标的互化公式可得3x-4y-10=0. (2分) 故曲线C的普通方程为(x+2)2+(y-1)2=4, 直线l的直角坐标方程为3x-4y-10=0. (4分) (2)由(1)知C:(x+2)2+(y-1)2=4, 得圆心为(-2,1),半径为2,l:3x-4y-10=0, (5分) (-2,1)到直线3x-4y-10=0的距离d= = =42, |PQ|的最小值即为圆心(-2,1)到直线3x-4y-10=0的距离减去圆的半径, (8分) |PQ|的最小值为4-2=2. (10分),思路分析 (1)由 消去能求出曲线C的普通方程,由直线的极坐标方程能求出 直线l的直角坐标方程. (2)曲线C是圆心为(-2,1),半径为2的圆,l:3x-4y-10=0,圆心到直线l的距离为4,判断出直线与圆相 离,所以|PQ|的最小值即为圆心(-2,1)到直线3x-4y-10=0的距离减去圆的半径,由此求出结果.,2.(2018广东肇庆二模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数,0 ),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是+ =4cos + 4sin . (1)当= 时,直接写出C1的普通方程和极坐标方程,直接写出C2的直角坐标方程; (2)已知点P ,且曲线C1和C2交于A,B两点,求|PA|PB|的值.,解析 (1)曲线C1的参数方程为 (t为参数,0), 消去参数t,得C1的普通方程为xsin -ycos +cos =0. (1分) = ,C1的普通方程为x=0, (2分) 曲线C1的极坐标方程为cos =0. (3分) 曲线C2的极坐标方程是+ =4cos +4sin , 即2+7=4cos +4sin , C2的直角坐标方程为x2+y2+7=4x+4y, 即(x-2)2+(y-2)2=1. (5分) (2)将 (t为参数)代入(x-2)2+(y-2)2=1中, 化简得t2-2(sin +2cos )t+4=0, (7分) 设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=4, (8分) |PA|PB|=|t1t2|=4. (10分),技巧点拨 对于距离的乘积问题,注意运用直线的参数方程中参数的几何意义及根与系数的 关系解决.,3.(2018广东茂名二模,22)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建 立极坐标系,曲线C的极坐标方程为= ,直线l的参数方程为 (t为参数,0 ). (1)若= ,求l的普通方程,直接写出C的直角坐标方程; (2)若l与C有两个不同的交点A,B,且P(2,1)为AB的中点,求|AB|.,4.(2019河南新乡二模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数).以坐 标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(cos -sin )=1. (1)求C的普通方程和l的直角坐标方程; (2)已知直线l与y轴交于点M,且与曲线C交于A,B两点,求 的值.,解析 (1)将直线l的极坐标方程(cos -sin )=1化为直角坐标方程为x-y-1=0. (2分) 将曲线C的参数方程 (为参数)化为普通方程为x2+y2=9. (5分) (2)由(1)知点M(0,-1), 故直线l的参数方程为 (t为参数), (7分) 代入圆的方程为t2- t-8=0,设A、B对应的参数为t1和t2, (8分) 所以t1+t2= ,t1t2=-8. 故 = = . (10分),5.(2018湖南长沙第六次月考,22)已知平面直角坐标系xOy中,过点P(-1,-2)的直线l的参数方程 为 (t为参数),l与y轴交于A,以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建 立坐标系.曲线C的极坐标方程为sin2=mcos (m0),直线l与曲线C交于M、N两点. (1)求曲线C的直角坐标方程和点A的极坐标; (2)若 =3 ,求实数m的值.,解析 (1)曲线C的直角坐标方程为y2=mx(m0), 直线l的普通方程为y=x-1, 直线l与y轴交于A(0,-1),A的极坐标为 . (5分) (2)直线l的参数方程可化为 (t为参数), 代入抛物线的方程得t2-(4 + m)t+8+2m=0, 设M,N对应的参数分别为t1,t2, 则t1+t2=4 + m,t1t2=8+2m, =3 ,t1=3t2, m= 或m=-4(舍), m的值为 . (10分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间:50分钟 分值:80分) 解答题(共80分),1.(2018河南洛阳二模,22)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线C1的极坐标方程为sin =4,曲线C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +1=0,曲线C3的 极坐标方程为= (R). (1)求C1与C2的直角坐标方程; (2)若C2与C1交于P点,C2与C3交于A,B两点,求PAB的面积.,解析 (1)曲线C1的极坐标方程为sin =4, 曲线C1的直角坐标方程为y=4, (2分) 曲线C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +1=0, 曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2x-4y+1=0, (3分) 即(x-1)2+(y-2)2=4. (4分) (2)曲线C3的极坐标方程为= (R), 曲线C3的直角坐标方程为y=x, (5分) 联立C1与C2的方程得 得x2-2x+1=0, 解得x1=x2=1, 点P的坐标为(1,4), (6分) 点P到C3的距离d= = . (7分) 设A(1,1),B(2,2).,将= 代入C2,得2-3 +1=0, (8分) 则1+2=3 ,12=1, (9分) |AB|=|1-2|= = , SPAB= |AB|d= = . (10分),思路分析 第(2)问由曲线C3的极坐标方程求出曲线C3的直角坐标方程,联立C1与C2的方程得x2 -2x+1=0,解得点P的坐标为(1,4),从而求得点P到C3的距离d= .设A(1,1),B(2,2).将= 代入 C2,得2-3 +1=0,求出|AB|,由此能求出PAB的面积.,2.(2018湖南岳阳二模,22)已知曲线C的极坐标方程是=2cos ,若以极点为平面直角坐标系的 原点,极轴为x轴的正半轴,且取相同的单位长度建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是 (t为参数). (1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程; (2)设点P(m,0),若直线l与曲线C交于A,B两点,且|PA|PB|=1,求非负实数m的值.,3.(2019河南六市第二次联考,22)在直角坐标系xOy中,抛物线C的方程为y2=4x. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程; (2)直线l的参数方程是 (t为参数),l与C交于A、B两点,且|AB|=4 ,求l的倾斜角.,解析 (1)把 代入y2=4x, 得sin2-4cos =0. (4分) (2)把直线l的参数方程代入抛物线方程得t2sin2-4cos t-8=0,设点A,B对应的参数是t1,t2, 则|AB|=|t1-t2|= =4 , (8分) sin = , = 或= . (10分),4.(2019广东广州一模,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (为参数), 已知点