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整式的运算整式的加减一、整式的有关概念1单项式（1）概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：可以看成，所以是单项式；而表示2与的商，所以不是单项式，凡是分母中含有字母的就一定不是单项式.（2）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如：的系数是；的系数是注意：单项式的系数包括其前面的符号；当一个单项式的系数是1或时，“1”通常省略不写，但符号不能省略. 如：等；是数字，不是字母.（3）次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.注意：计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为1的情况. 如的次数为，而不是5；切勿加上系数上的指数，如的次数是3，而不是8；的次数是5，而不是6.2多项式（1）概念：几个单项式的和叫做多项式. 其含义是：必须由单项式组成；体现和的运算法则.（2）项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单项式就叫几项式.例如：共含有有三项，分别是，所以是一个三项式.注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是，而不是1.（3）次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和. 例如：多项式中，的次数是4，的次数是5，的次数是3，故此多项式的次数是5，而不是.3整式：单项式和多项式统称做整式.4降幂排列与升幂排列（1）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列.注意：降（升）幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；把一个多项式按降（升）幂重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；在进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多项式按的升幂排列为：；按的降幂排列为：.二、整式的加减1同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如：与是同类项；而与却不是同类项，因为相同的字母的指数不同.2合并同类项（1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项.注意：合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如显然不正确；不能合并的项，在每步运算中不要漏掉.（2）法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.注意：合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数相加；合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0.3去括号与填括号（1）去括号法则：括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号.注意：去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算，切勿漏乘；明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；若不变符号，各项都不变. 例如：；当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号.（2）填括号法则：所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都改变符号.注意：添括号是添上括号和括号前面的“”或“”，它不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的；添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来检验. 例如：4整式的加减整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是：（1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项.注意：整式运算的结果仍是整式.类型一：用字母表示数量关系1填空题： (1)香蕉每千克售价3元，m千克售价_元。(2)温度由5上升t后是_。(3)每台电脑售价x元，降价10后每台售价为_元。(4)某人完成一项工程需要a天，此人的工作效率为_。思路点拨：用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表达出来。举一反三：变式 某校学生给“希望小学”邮寄每册元的图书240册，若每册图书的邮费为书价的5，则共需邮费_元。类型二：整式的概念2指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。(1)x1；(2)a2；(3)；(4)SR2；(5)；(6)总结升华：判断是不是整式，关键是了解整式的概念，注意整式与等式、不等式的区别，等式含有等号，不等式含有不等号，而整式不能含有这些符号。举一反三：变式把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。x2y， ab， xy25， ， 29， 2ax9b5， 600xz， axy， xyz1， 。分析：本题的实质就是识别单项式、多项式和整式。单项式中数和字母、字母和字母之间必须是相乘的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。类型三：同类项3若与是同类项，那么a,b的值分别是（ ）（A）a=2, b=1。 （B）a=2, b=1。（C）a=2, b=1。 （D）a=2, b=1。思路点拨:解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同，要注意同类项与系数的大小没有关系。解析：由同类项的定义可得：a1=b,且 2a+b=3，解得 a=2, b=1，故选A。举一反三：变式在下面的语句中，正确的有( )a2b3与a3b2是同类项 x2yz与zx2y是同类项； 1与是同类项；字母相同的项是同类项。A、1个 B、2个 C、3个 D、4个解析：中a2b3与a3b2所含的字母都是a，b，但a的次数分别是2,3，b的次数分别是3,2，所以它们不是同类项；中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以x2yz与zx2y是同类项；不含字母的项(常数项)都是同类项，正确，根据可知不正确。故选B。类型四：整式的加减4化简mn（m+n）的结果是（ ）（A）0。（B）2m。（C）2n。（D）2m2n。思路点拨：按去括号的法则进行计算，括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符号。解析： 原式=mnmn=2n，故选（C）。举一反三：变式 计算：2xy+3xy=_。分析：按合并同类项的法则进行计算，把系数相加所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。注意不要出现5x2y2的错误。答案：5xy。5（化简代入求值法）已知x，y,求代数式(5x2y2xy23xy)(2xy5x2y2xy2) 思路点拨：此题直接把x、y的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。解析：原式5x2y2xy23xy2xy5x2y2xy25xy当x，y时，原式5。总结升华：求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果。应注意的问题是：当整式中有同类项时，应先合并同类项化简原式，再代入求值。举一反三：变式1 当x0，x，x-2时，分别求代数式的2x2x1的值。解：当x0时，2x2x1202011；当x时，2x2x12；当x-2时，2x2x12（-2）2（-2）124+2111。总结升华：一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；当整式中没有同类项时，直接代入计算，原式中的系数、指数及运算符号都不改变。但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。变式2 先化简，再求值。3(2x2y3xy2)(xy23x2y)，其中x，y1。解： 3(2x2y3xy2)(xy23x2y)(6x2y9xy2)xy23x2y6x2y9xy2xy23x2y9x2y10xy2。当x，y1时，原式9(1)10(1)2。总结升华：解题的基本规律是先把原式化简为9x2y10xy2，再代入求值，化简降低了运算难度，使计算更加简便，体现了化繁为简，化难为易的转化思想。变式3 求下列各式的值。(1)(2x2x1)，其中x(2)2mn(3m)3(2nmn)，其中mn2，mn3。解析：(1) (2x2x1)2x2x1x2x3x234x24当x时，原式44945。(2) 2mn(3m)3(2nmn)2mn6m6n3mn5mn6(mn)当mn2，mn3时原式5(3)6227。类型五：整体思想的应用6已知x2x3的值为7，求2x22x3的值。思路点拨：该题解答的技巧在于先求x2x的值，再整体代入求解，体现了数学中的整体思想。解析：由题意得x2x37，所以x2x4，所以2(x2x)8，即2x22x8，所以2x22x3835。总结升华：整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。运用这种方法应从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题简单化。在中考中该思想方法比较常见，尤其在化简题中经常用到。举一反三：变式1 已知x2x10，求代数式x32x27的值。分析：此题由已知条件无法求出x的值，故考虑整体代入。解析：x2x10，x21x，x32x27x(1x)2(1x)7xx222x7-x2-x-5（-x2-x+1）-6 =6。变式2 当x1时，代数式px3qx1的值为2003，则当x1时，代数式px3qx1的值为( )A、2001 B、2002 C、2003 D、2001分析：这是一道求值的选择题，显然p，q的值都不知道，仔细观察题目，不难发现所求的值与已知值之间的关系。解析：当x1时，px3qx1pq12003，而当x1时，px3qx1pq1，可以把pq看做一个整体，由pq12003得pq2002，于是pq(pq)2002，所以原式200212001。故选A。变式3 已知A3x32x1，B3x22x1，C2x21，则下列代数式中化简结果为3x37x22的是( )A、AB2C B、AB2C C、AB2C D、AB2C分析：将A，B，C的式子分别代入A，B，C，D四个选项中检验，如：AB2C3x32x1(3x22x1)2(2x21)3x32x13x22x14x223x37x22。答案：C变式4 化简求值。(1)3(abc)8(abc)7(abc)4(abc)，其中b2(2)已知ab2，求2(ab)ab9的值。分析：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将abc，abc分别视为一个“整体”，这样化简较为简便；(2)若想先求出a，b的值，再代入求值，显然行不通，应视ab为一个“整体”。解析：(1)原式3(abc)7(abc)8(abc)4(abc) 4(abc)4(abc) 4a4b4c4a4b4c8b。 因为b2，所以原式8216。(2)原式2(ab)(ab)9 (ab)9 因为ab2，所以原式2911。类型六：综合应用7已知多项式3(ax22x1)(9x26x7)的值与x无关，试求5a22(a23a4)的值。思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为0即可.解析：3(ax22x1)(9x26x7) 3ax26x39x26x7(3a9)x24。因为原式的值与x无关，故3a90，所以a3。又因为5a22(a23a4)5a22a26a83a26a8，所以当a3时，原式33263837。总结升华：解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件和所求，当题目中的条件或所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化。举一反三：变式1当a(x0)为何值时，多项式3(ax22x1)(9x26x7)的值恒等为4。解析：3(ax22x1)(9x26x7) 3ax26x39x26x7(3a9)x24。因为(3a9)x244，所以(3a9)x20。又因为x0，故有3a90。即a3，所以当a3时，多项式3(ax22x1)(9x26x7)的值恒等于4。变式2当a3时，多项式3(ax22x1)(9x26x7)的值为多少？解析：3(ax22x1)(9x26x7) 3ax26x39x26x7 (3a9)x24， 当a3时， 原式(339)x244。8已知关于x的多项式(a1)x5x|b2|2xb是二次三项式，则a_，b_。分析：由题意可知a10，即a1，|b2|2，即b4或0，但当b0时，不符合题意，所以b4。答案：1，4举一反三：变式若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求m，n的值答案：m=5，n=-1方法技巧篇一整式的加减技巧一、根据系数特征分组合并同类项的合并实际上是系数的加减，因此，如何根据系数的特征进行分组合并是合并同类项时的一种技巧.例1 计算：y+x-（y+x-1）+（2-y-x）分析：先去括号，得，原式=y+x-y-x+1+2-y-x，注意这个多项式共有三类，第一类是y，系数分别是，-1和-，第二类是x，系数分别是，-和-，第三类是常数项，分别是1和2.各类合并时，考虑各类系数的特征，易得解法如下是最简便的.解：原式=y+x-y-x+1+2-y-x=（y-y）+（x-x）-y-x+（1+2）=-y+0-y+3=-2y+3.评注：按系数特征合并同类项，一般是将系数为相反数的同类项分为一组，系数能够凑整的同类项分为一组，系数是同分母的同类项分为一组.二、按整体进行合并如果多项式出现若干部分相同，则可以把相同的这部分视为整体进行合并.例2 计算：9（x-1）+7（1-x）-x-1.分析：本题中的（1-x）可化为-（x-1），-x+1可化为-（x-1）-2，因此，先把（x-1）作为整体进行合并.解：原式=9（x-1）-7（x-1）-（x-1）-2=（9-7-1）（x-1）-2=（x-1）-2=x-3.评注：运用整体思想进行整式加减运算时，常常需要选择合适的“整体”，然后添括号，再进行合并，然后再去括号，再合并同类项.三、逆向合并一般情况下，在合并同类项时大多是将系数相加减，但有时反过来，视系数为“类”进行合并可以收到意想不到的效果.例3 计算：-；分析：注意到同分母的几组式子，将它们分别相加易于计算，于是解：原式=（）+（）-=（x-y）-（x-y）-=（x-y）=0.评注：本题从系数入手，无意中构造出（x-y）这个整体，然后于运用整体思想得到了巧妙的解决，真是“无心插柳柳成荫”.由上几例可见，合并同类项与有理数运算一样，如果能够先观察一下题目特征而不急于动笔，然后针对题目特征，打破常规解法，灵活运用一些技巧，则可以起到化繁为简，事半功倍的效果.方法技巧篇二整式的加减一、直接代入求值法例 当、时，分别求代数式的的值二、化简代入求值法例 已知，求代数式的值解法1：因式分解法 解法2：降次法 例2 代数式的值为9，则的值为( )A7 B18 C12 D9例3 已知，求的值解法1：平方法 解法2：配方法*例4 已知中，当时，则当时，y的值是( )A-3 B-7 C-17 D7三、说理题解法举例例1 做游戏，猜数字：让对方任想一个数，让他做如下运算：乘5，再加上6，再乘4，再加上9，再乘5，把得数告诉你，然后(你只要从中减去165，再除以100)你就可以说出他原来的数用数字验证：比如，某人想的一个数是7，那么，第一步，75得35，第二步，35+6得41，第三步,414得164，第四步，164+9得173，第五步，1735得865他告诉你：865，于是你就算出(865-165)100=7你自己也可举例，结果总对，你知道其中的奥妙吗？解：不妨设所想的数是a，按照题中的运算，得=因此把所想的数经过上面的五步运算，结果仍得所想的数例2 在数学自习课上，张老师出了一道整式求值题，张老师把所要求值的整式写完后，让小刚同学任意说出一组a，b的值，再计算结果当小刚说完：“”后，小莉很快说出了答案“3”同学们都感到其名其妙，觉得不可思议，张老师满意地说：“这个答案准确无误”亲爱的同学，为何能小莉快速得出结果？例3 小明和小亮在同时计算这样一道求值题：“当时，求整式的值”小亮正确求得结果为7，而小明在计算时，错把a=-3看成了a=3，但计算的结果却也正确，你相信吗？你能说明为什么吗？解：原式=，从化简的结果上看，只要a的取值是互为相反数，其计算的结果总是相等的四、探索规律题的解法1观察题目中的不变量与变量，不变量照写，变量用序号来表示（序号为n）例 研究下列算式，你会发现什么规律？请你把找出的规律用含正整数n的公式表示，解：规律为：2将所给的条件进行适当的变形，再找规律例 观察等式：，+1，你会发现什么规律？请你把发现的规律用含正整数n的公式表示解：规律为：3借助于图形观察找规律例1柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见下图: 第一层有23听罐头， 第二层有34听罐头， 第三层有45听罐头 根据这堆罐头排列的规律，第n(n为正整数)层有_听罐头（用含n的式子表例2 图是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图倒置后与原图拼成图的形状，这样我们可以算出图中所有圆圈的个数为图图图图如果图中的圆圈共有12层：(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按圈的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，则最底层最左边这个圆圈中的数是_；(2)我们自上往下，在每个圆圈中都按圈的方式填上一串连续的整数-23，-22，- 21，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和答案：(1)67 (2)17614借助于表格进行观察例 用正方形的普通水泥砖（图中白色小正方形）和彩色水泥砖（图中灰色小正方形）按如图的方式铺人行道，像这样，第n个图形需要彩色水泥砖多少块？解：将上述结果列表分析如下：序号彩色水泥砖块数4710不难发现砖块数是序号数的3倍还加1，即第n个图形需要砖块(3n+1)块五、用字母表示数的思想用字母表示数是代数的一个重要特点，是整个中学数学最基本的知识，是从算术过渡到代数的桥梁用字母表示数能够把数量关系一般地、简明地表示出来，它是列代数式的基础深刻理解用字母表示数的意义，掌握它的方法及规律，是学好代数的关键例l 如图是某个月份的日历，像图中那样，用一个十字框在图中任意圈住五个数，如果中间的数用a表示，则圈住的五个数字的和可用含a的代数式表示为_.答案：5a例2如图是2002年6月份的日历，现有一长方形在日历任意框4个数，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系：解析：观察可知11+3-10+4，故例3 小红对小丽说：“有一种游戏，其规则是；你任想一个数，把这个数乘2，加上6再把结果乘2，再减去8，再把结果除以2，最后再减去你所想的数的2倍你不用告诉我你所想的数是什么，我就能知道结果”请你说明小红为什么知道结果？解：设小丽所想的这个数为x，根据游戏规则，得最后的结果为：也就是说，无论小丽开始所想的这个数是几，最后的结果始终都是2六、观察、比较、归纳、猜想的数学思想观察才能获取大量信息，成为智慧的能源；比较才能发现信息的异同，通过归纳使共同点浮出水面，总结归纳的结果进而获得猜想，有所发现，这就是归纳的思想，这是数学发现的重要方法例1 (2005云南省)观察按下列顺序排列的等式：，猜想：第n个等式（n为正整数）可以表示成_答案：例2 (2005衢州市)衢州市是中国历史文化名城，衢州市烂柯山是中国围棋文化的重要发样地，如图是用棋子摆成的“巨”字，那么第4个“巨”字的棋子数是_；按以上规律继续下去，第n个“巨”字所需要棋子数是_答案：例3观察图中的四个点阵，s表示每个点阵中的点个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为( ) 答案：DA BC D例4按一定的规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是_，用整数n表示第n个数是_解析：第7个数是，第n个数是：(1)当n是奇数时，为；(2)当n是偶数时，为七、整体思想 所谓整体思想，就是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体，加以确定、解决，这样往往能使问题的解答简洁、明快，在求代数式的值时，有时问题中的量或字母没有直接给出，往往考虑使用“整体思想”来解答(1)整体化简例 已知：，求的值答案：98(2)整体变形求解对于某些比较复杂的条件，如果对其进行整体变形，则可收到事半功倍的效果例1 若，则的值为_答案：2007例2 当时，求代数式的值解：因为，所以.答案：八、方程思想例1 若与是同类项，求的值原式=-40例2 若两个单项式与的和仍是一个单项式，则m=_，n=_答案：1，3九、分类讨论思想 所谓分类讨论思想，是对事物分情况加以讨论的思想，它是根据事物的特点按照某一标准不重复、不遗漏地对事物分别归类，分类讨论思想既是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，对于同学们良好的思想品质的形成具有重要意义例1 若，则_解： ， ， 或5.例2 化简：+十、数形结合思想 在列代数式时，常常能遇到另外一种类型题：给你提供一定的图形，通过对图形的观察探索，搜集图形透露的信息，并根据相关的知识去列出相应的代数式例 如图，已知小正方形的边长、圆弧的半径均为a，计算图中阴影部分的面积答案： 答案：原式=练习题：一、填空题1在校举行的运动会上，小勇和小刚都进入了一百米决赛，小勇用了x秒，小刚用了15秒，小勇获得了冠军，小勇比小刚快_秒2计算：（2xyy）（y+xy）=_3在代数式（1）ab；（2）；（3） 中单项式有_；多项式有_；整式有_4根据去括号法则，在下面各式中方框里填“”或“”号 （1）a（b+c）=abc； （2）a（bcd）=ab+c+d5当x=2时，代数式x2+2x1的值是_6把多项式2x23x+x3+2按x的降幂排列是_7有理数a，b，c在数轴上的位置如图测所示，则abac=_8已知（a3）3与b1互为相反数，那么a+b=_9如图测，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案 （1）第4个图案中有白色纸片_张；（2）第n个图案中有白色纸片_张10如果代数式2y2+3y+7的值是8，那么代数式4y2+6y9的值为_二、化简下列各题： （1）5a4+3a2b103a2b+a41； （2）2（2x2+9y）3（5x24y）； （3）（a2ab）+（2abb2）2（a2+b2）三、化简求值（1）2x4x2y（3x2y+1），其中x=3，y=2007；（2）xy2y224xy（3y2x2y）+5（3y2+x2y），其中x=1，y=2四、某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：买一套西装送一条领带；西装和领带都按定价的90%付款现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x20）： （1）若该客户按方案购买，需付款_元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案购买，需付款_元（用含x的代数式表示） （2）若x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法整式的加减提高测试题姓名 班级 学号 一、 填空题（本题20分，每小题4分）：仅当a ，b ，c 时，等式a x2bxc x22x3 成立；仅当b ，c 时，5x 3y 2与23 x by c是同类项；煤矿十月份生产a 吨煤，比九月份增产45%，煤矿九月份生产煤 吨；当3a 4时，化简 |a 3|a 6| 得的结果是 ，它是一个 数； n张长为acm的纸片，一张接一张的贴成一个长纸条，每张贴合部分的长度都是bcm，这个纸条的总长应是 cm二 、计算下列各题（本题30分，每小题10分）：5a na n （7a n）（3a n）；解：（2x33x26x5）（x36x9）；解： 9x1594x（11y2x）10y2x.解：三 先化简再求代数式的值：5a 2a 2（5a 22a ）2（a 23a ），其中a ；解：、a 43a b6a 2b23a b24a b6a 2b7a 2b22a 4，其中a2， b1.解：四 （本题10分）已知a，且x为小于10的自然数，求正整数a的值解：五 （本题10分） 代数式15（ab） 2的最大值是多少?当（ab）2 3取最小值时，a 与b 有什么关系?解： 六 （本题10分）当a0，b0时，化简|5b|b2a|1a|.解： 整式的乘法（一）幂的乘法运算一、知识点讲解：1、同底数幂相乘： 推广：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：注意：正确处理运算中的“符号”，避免以下错误，如：等；例1、计算：（1） （2）（3） （4）变式练习：1、a16可以写成（ ） Aa8+a8 Ba8a2 Ca8a8 Da4a42、已知那么的值是 。3、计算：(1) a a3a5 （2） （3） （4）(x+y)n(x+y)m+1 （5）（nm）（mn）2（nm）42、幂的乘方： 推广：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：幂的乘方法则可以逆用：即如：例2、计算：（1）（103）5 （2） （3） (4) 变式练习：1、计算（x5）7+（x7）5的结果是（ ） A2x12 B2x35 C2x70 D02、在下列各式的括号内，应填入b4的是（ ）Ab12=（ ）8 Bb12=（ ）6 Cb12=（ ）3 Db12=（ ）23、计算：（1） （2） （3） (4)（m3）4+m10m2+mm3m8 3、积的乘方： 推广：积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（=注意：正确处理运算中的“符号”，避免以下错误，如：等；二、典型例题：例3、计算：（1）（ab）2 （2）（3x）2 （3） （4） （5）变式练习：1、如果（ambn）3=a9b12，那么m，n的值等于（ ）Am=9，n=4 Bm=3，n=4 Cm=4，n=3 Dm=9，n=62、下列运算正确的是（ ） (A) (B) (C) (D)3、已知xn=5，yn=3，则（xy）3n= 。4、计算：（1）（a）3 （2）（2x4）3 （3）(4) （5） (6) (7) (8) 4、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：练习（1）.计算：= ，= .（2）.计算：= .（3）.计算：_（4）.下列计算正确的是（ ）A（y）7（y）4=y3 ； B（x+y）5（x+y）=x4+y4；C（a1）6（a1）2=（a1）3 ； Dx5（x3）=x2.（5）计算：的结果，正确的是（ ）A.； B.； C. ； D.（6）.若，,则等于( ) A.； B.6 ； C.21； D.20.5、零指数（），即任何不等于零的数的零次方等于1。（二）整式的乘法一、知识点讲解：1、单项式单项式（1）系数相乘作为积的系数（2）相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为一个因式（3）单独出现的字母，连同它的指数，作为一个因式注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：？二、典型例题：（1）下列计算的结果正确的是（ ）A（-x2）（-x）2=x4 Bx2y3x4y3z=x8y9z C（-4103）（8105）=-3.2109 D（-a-b）4（a+b）3=-（a+b）7（2）计算（-5ax）（3x2y）2的结果是（ ） A-45ax5y2 B-15ax5y2 C-45x5y2 D45ax5y2（3）（2xy2）（x2y）=_； （-5a3bc）（3ac2）=_（-5ab2x）（-a2bx3y）=_；（-3a3bc）3（-2ab2）2=_；（4）已知am=2，an=3，则a3m+n=_；a2m+3n=_（5）若单项式-3a2m-nb2与4a3m+nb5m+8n同类项，那么这两个单项式的积是多少？2、单项式多项式单项式分别乘以多项式的各项；将所得的积相加注意：单项式与多项式相乘，积仍是一个多项式，项数与多项式的项数相同积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：=?二、典型例题：（1）（4ab2）（2b） （3x2y2x+1）（2xy）（2）（3a2b4ab25ab1）（2ab2） （3）（4a3+12a2b7a3b3）（4a2）（4）3x（2x2x+4）（5）先化简，再求值3a（2a24a+3）2a2（3a+4），其中a=2（6）先化简，再求值：2（a2b+ab2）2（a2b1）ab22，其中a=2，b=23、多项式多项式先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。注意：运算的结果一般按某一字母的降幂或升幂排列。二、典型例题：（1）(2x3y)(3x2y) (2)(x2)(x3)(x6)(x1)（3）5x（x2+2x+1）（2x3）（x5）(4)(3x2y)(2x3y)(x3y)(3x4y)（5）的展开式中，项的系数是_（6）要使多项式（x2+px+2）（x-q）不含关于x的二次项，则p与q的关系是（ ）A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.乘积为1（7）.若(xa)(x2)x25xb，则a_，b_（8）.若a2a12，则(5a)(6a)_（9）.当k_时，多项式x1与2kx的乘积不含一次项（10）已知中不含3次项，试确定的值.（11） (2x1)(2x1)5x(x3y)4x(4x2y)，其中x1，y2（三）乘法公式一、知识点讲解：1、平方差公式： ； 变式：（1） ； （2） ；（3）= ； （4）= 。2、完全平方公式：= 。 公式变形：（1）（2）； （3） （4）； （5）二、典型例题：例2、计算：（1）(x2)(x2) （2）(5a)(-5a) （3）（4） (5) （6） 变式练习：1、直接写出结果：（1）(xab)(xab)= ； （2）(2x5y)(2x5y)= ；（3）(xy)(xy)= ；（4）(12b2)(b212)_ ； (5) (-2x+3)(3+2x)= ；（6）（a5-b2）（a5+b2）= 。2、在括号中填上适当的整式：（1）（mn）（ ）n2m2；（2）（13x）（ ）19x23、如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是 。4、计算：（1） （2）（3） （4）(m2n2)(m2n2)（5） （6）（abc）（abc）5、已知，求的值。例3、填空：(1)x210x_( 5)2；(2)x2_16(_4)2；(3)x2x_(x_ )2； (4)4x2_9(_3)2例4、计算：（1） （2）(x+)2 （3） （4） 例5、已知，求；例6、化简求值，其中：。变式练习：1、设，则P的值是（ ） A、 B、 C、 D、2、若是完全平方式，则k= 3、若a+b=5，ab=3，则= .4、若，则代数式的值为 。5、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：,你根据图乙能得到的数学公式是 。6、已知：7、计算：（1）（3a+b）2 （2）(3x25y)2 （3）(5x-3y)2 （4）(4x37y2)2 （5）（3mn5ab）2 （6） (abc)2(7) （8） 8、化简求值：，其中9、已知，求下列各式的值：（1）；（2）。整式的除法整式的除法分为单项式除以单项式和多项式除以单项式，主要进行公式计算。单项式的除法单项式相除，把它们的系数相除，同底数幂的幂相减，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。单项式除以多项式，用多项式先除以单项式的每一项，再将所得的商相加，合并同类项后取倒数。注意：是整个多项式取倒数，而不是每一项分别取倒数后合并。二、典型例题：【例题】下列计算，正确的是（ C）A . x4x3=xBx6x3=x2Cxx3=x4D（xy3）2=xy6练习：1、下列计算正确的是（D）A2a2+a2=3a4Ba6a2=a3Ca6a2=a12 D（-a6）2=a122、若3x4，9y7，则3x2y的值为( A)A. B. C3 D. 例：先化简，再求值。， 其中练习：14x4y2(-2xy)2=_ 32(-a2)3a3=_ 4_5x2y=5xy25ym+2n+6=ym+2_ 6_(-5my2z)=-m2y3z47(16a3-24a2)(-8a2)=_ 8(m+n)2(m-n)(m+n)2=_ 10 计算：(-8x4y+12x3y2-4x2y3)(4x2y) (a+b)(a-b)(a4+a2b2+b4)(b6-a6)-3(ab)2(3a)2(-ab)3(12a3b2)(2mn)2(m2+n2)-(m2n2)3m3n4+3m2n4162m82n4m43(n-m+1) (4xn-1yn+2)2(-xn-2yn+1)因式分解定义：把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。1意义：是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。特性：因式分解方法灵活，技巧性强。学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。学习它，