高中数学平面向量知识点总结及常见题型97304.doc

平面向量一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作|即向量的大小，记作 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作.2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设，则+=（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点3向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.2平面向量的坐标运算：(1) 若，则(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则若，则三平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos已知两个向量，则=2向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800. 4向量的模： 5.向量平行：若，则6向量垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作O平面向量常见题型题型1.基本概念判断正误：1.给出下列命题： 若|，则=； 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若=，=，则=，=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/，其中正确的序号是 题型2.向量的加减运算1下列命题中正确的是（ ）A BC D2.设表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则 .3.化简 .4若菱形的边长为，则_.5.已知的和向量，且，则 ， .6.已知点C在线段AB上，且,则 ， .题型3.向量的数乘运算1.计算：（1） （2）2.已知，则 .题型4. 作图法球向量的和已知向量，如下图，请做出向量和. 题型5.根据图形由已知向量求未知向量1. 已知在中，是的中点，请用向量表示.2.在平行四边形中，已知，求.3.已知向量，若用和表示，则=_。4.已知，请将用向量表示向量.题型6.向量的坐标运算1.已知，则点的坐标是 .2.已知，则点的坐标是 .3.若物体受三个力,则合力的坐标为 .4.已知，求，.5.已知,向量与相等，求的值.6.已知，则 .7.已知是坐标原点，且，求的坐标.题型7.结合三角函数求向量坐标1. 已知是坐标原点，点在第二象限，求的坐标.2.已知是原点，点在第一象限，求的坐标.题型8.求数量积1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），（3），（4）.2.已知，求（1），（2），（3），（4）.题型9.求向量的夹角1.已知，求与的夹角.2.已知，求与的夹角.3.已知，求.4.已知，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；（2）若与的夹角为锐角，求的范围.5.已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角6若，且，则向量与的夹角为题型10.求向量的模1.已知，且与的夹角为，求（1），（2）.2.已知，求（1），（5），（6）.3.已知，求.题型11.求单位向量 【与平行的单位向量：】1.与平行的单位向量是 .2.与平行的单位向量是 .题型12.向量的平行与垂直1.已知向量，且，求实数的值2.已知，当为何值时，（1）？（2）？3.已知，（1）为何值时，向量与垂直？（2）为何值时，向量与平行？4.已知是非零向量，且，求证：.5若,，与的夹角为，若，则的值为 6.已知，按下列条件求实数的值.（1）；（2）；题型13.三点共线问题1.已知，求证：三点共线.2.设，求证：三点共线.3.已知，则一定共线的三点是 .4.已知，若点在直线上，求的值.5.已知四个点的坐标，是否存在常数，使成立？题型14.判断多边形的形状1.若，且,则四边形的形状是 .2.已知，证明四边形是梯形.3.已知，求证：是直角三角形.4.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形.平面向量的基础训练1、化简：(1)（)()= . (2) = 2.已知，则 .3.已知，则 .4.已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积= 。5.已知向量，则（ ）A. B. C. D.6向量，若与平行，则等于A B C D7若是非零向量且满足， ，则与的夹角是（ ）A B C D8设，且，则锐角为（ ）A B C D9.已知，当为何值时，向量与平行？10.已知两向量，求当垂直时的x的值.11.已知两向量，的夹角为锐角，求的范围.12.