必修五课件： 正弦定理.ppt

1,从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量， 从大禹治水到都江堰的修建， 从天文观测到精密仪器的制造人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算。,正弦定理,对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富的来源。 傅里叶,2,A,B,设点B在珠江岸边，点A在对岸那边，为了测量A、B两点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量角器）,引例：,3,直角三角形,A,B,C,4,A,B,C,设问？若将点C移到如下图所示的位置，你还能求出A、B两点间的距离吗？,任意三角形边与角之间存在怎样的关系？ 如何利用这些关系解决实际问题？,5,正弦定理的发现,两等式间有什么联系？,对任意三角形,这个等式都会成立吗?,怎么证明这个结论？,6,尝试证明途径,转化为直角三角形中的角关系; 建立直角坐标系，利用三角函数的定义； 通过三角形的外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题; 利用向量的投影或数量积（产生三角函数）。,7,结论：AD=,思考：在直角三角形中 比较容易得到： 那么能不能也借助于构造 直角三角形，来研究锐角三角 形中该等式是不是也成立呢？,这个三角形的高线AD能不能起个桥梁作用呢？,这个三角形有几条高？是不是也能得到一些等式关系？,正弦定理的证明一,8,同理：钝角三角形也满足等式：,很显然，对于锐角三角形而言：等式 也是成立的。,探究：那么，对于钝角三角形而言，该等式是不是也 成立呢？,注意：同样是构造直角三角 形来解次这一问题。,结论：AD=,9,由以上推论可知：对于作何三角形而言，都有：三角形各边和其所对角的正弦值之比相等，即：,这就是正弦定理,探究：在正弦定理公式中，你能发现哪些问题？ 又会不会产生一些相关的变形呢？,注：有了正弦定理，前面的设问可就比较容易解决了,10,一、复习,0,11,正弦定理的证明二,1、当ABC为锐角三角形时，如图（1）,证明:,过A作单位向量 垂直,则 的夹角为_, 的夹角为_, 的夹角为_.,已知:ABC中，CB=a,AC=b,AB=c. 求证:,12,13,2、当ABC为钝角三角形时，不妨设,如图,同样可证得,即等式对任意三角都成立,14,正弦定理,在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即,注意：定理适合任意三角形。,15,归纳：,正弦定理 在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即：,asinC=csinA ，,asinB=bsinA ，,csinB= bsinC,变形式：,注：1、敢于从特殊中猜想一般规律。 2、向量是数学中解决问题的一 种很好的工具。,16,例题讲解,注：每个等式可视为一 个方程：知三求一,已知两角和任意边，求其他两边和一角,17,练习： P9 第1题，第2题 (两人一组,一人列式子写,一人按计算器,合作练习。）,18,六、小结,2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边； （2）已知两边及其中一边的对角.,1. 正弦定理 是解斜三角形的工具之一.,如果已知两边及其夹角，如何解三角形呢？,19,作业：,1、书面作业 P11第1题,2、思考,是否会等于某一常数？,3、你能用别的方法证明正弦定 理吗？,20,(1) 若直角三角形,已证得结论成立.,所以AD=csinB=bsinC, 即,同理可得,过点A作ADBC于D,此时有,证法1:,(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,21,由(1)(2)(3)知，结论成立,且,仿(2)可得,(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有,交BC延长线于D,过点A作ADBC，,22,（2R为ABC外接圆直径）,2R,思考,求证:,23,证明：,作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,24,A,c,b,C,B,D,a,向量法,证法2:,利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.,25,证明：,而,同理,ha,证法3:,26,剖析定理、加深理解,正弦定理可以解决三角形中哪类问题：,已知两角和一边，求其他角和边.,已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.,27,例 2,已知a=16， b= ， A=30 . 求角B，C和边c,已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角,解：由正弦定理,得,所以,60,或120,C=90,C=30,当120时,28,变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c,由于154.30 +3001800,故B只有一解 （如图）,C=124.30,29,变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c,所以,25.70,C=124.30,a b A B ,三角形中大边对大角,30,2：在ABC中，已知a ，b ，A45,求B和c.,应用, B160，B2120,解斜三角形：由六个元素（三条边和三个角）中的三个元素（至少有一个是边），求其余三个未知元素的过程。,31,应用,一解,一解,无解,32,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?,课后思考,33,已知两边一对角解的分布表（如已知a,b,角A）,34,35,A,C,a,b,absinA,无解,A,C,a,b,a=bsinA,一解,A,C,a,b,bsinA a b,两解,B,B1,B2,B,A,C,b,a,一解,a,36,A,B,a,b,C,A,B,a,b,C,A,B,a,b,C,ab,无解,a=b,无解,ab,一解,37,absinA,a=bsinA,bsinAab,ab,ab,ab,无解,一解,两解,一解,无解,一解,条件,图形,四、总结,38,五、练习,39,练习 ： 在ABC中，已知a60，b50，A=38， 求B（精确到 1）和c（保留两个有效数字）。,解：已知ba,所以BA,因此B也是锐角,40,变式1 、 在ABC中，已知a50，b60，A=38， 求B（精确到 1）和c（保留两个有效数字）。,解：,41,变式2 、 已知a25，b50，A=38，则这 样的ABC是否存在？,42,几个概念：,仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角; 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角； 方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。,N,方位角60度,水平线,目标方向线,视线,视线,仰角,俯角,43,44,概括 :利用正弦定理可以解哪些条件下的三角形问题?,两类:,(1)、已知两角和任一边,求一角和其他两条边.,(2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进而求其他的角和边),注意:1、 ABC中，A+B+C= 180 2、解三角形时要考虑大边对大角 小边对小角。,45,小结： 1、正弦定理,是解三角形的重要定理,2、正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边； （2）已知两边及其中一边的对角,注意：1、三角形中A+B+C=180 2、解两边一对角问题要考虑 大边对大角、小边对小角。 3、生活中长度问题可考虑用此定理,46,生活处处皆学问,长度宽度和高度？,正弦定理来考虑，,如若不能用余弦。,正余合壁更精彩！,祝大家学习快乐！,47,二、典例分析：,例1：已知ABC中，A=450，C=300，c=10 ，求b.,例2：在ABC中，a=4，b=4 ，B=450 ，求A。,？,48,三、练习巩固,49,在ABC中，已知 A=75，B= 45，c= 求a ， b.,在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a ， c.,a= ,c= , ,练习,50,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角,1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30.,B=90，C=60，c= ,(2) b=40，c=20，C=45.,练习,注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解,无解,51,课堂小结,（1）三角形常用公式：,（2）正弦定理应用范围：,已知两角和任意边，求其他两边和一角,已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况),正弦定理：,52,正弦定理的综合应用,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,实际问题,例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在 同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是,，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。,图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？,想一想,64,实例讲解,分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又 已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。,解：,答：烟囱的高