课件北师大数学第四模块最大值与最小值.ppt

4.2.2 最大值与最小值,一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值.,一、函数极值的定义,知 识 回 顾,1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。,注 意,2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。,3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。,4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而,(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.,二、 求函数f(x)的极值的步骤:,(1)求导数f(x);,(2)求方程f(x)=0的根;,注意:,如果函数f(x)在x0处取得极值,意味着,如y=x3,反之不一定成立！,一.最值的概念(最大值与最小值),新 课 讲 授,最值是相对函数在区间a,b整体而言的.,如果函数f(x)在区间 ,内存在x0,使得对任意的x ,总有f(x) f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在 上的最大值.如果总有 f(x) ,则称 为函数f(x)在 上的最小值.,注意:,2.最大值一定比最小值大.,1.在 内, 最值唯一;极值不唯一;,二.如何求函数的最值?,(1)利用函数的单调性;,(2)利用函数的图象;,(3)利用函数的导数;,如:求y=2x+1在区间1,3上的最值.,如:求y=(x2)2+3在区间1,3上的最值.,(2)将y=f(x)的各极值与f (a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值,(1)求f(x)在区间a,b内极值(极大值或极小值),利用导数求函数f(x)在区间a,b 上最值的步骤:,例1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间 -1，4内的最大值和最小值,解:f (x)=2x- 4,令f(x)=0，即2x4=0，,得x =2,-,+,8,3,-1,故函数f (x) 在区间-1，4内的最大值为8，最小值为-1,函数 ，在1，1上的最小值为( ) A.0 B.2 C.1 D.13/12,A,练 习,例2、,解：,变式,例3：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？,x,x,60,60,x,x,由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值。 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3,解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 cm， 得箱子容积,令 ，解得 x=0（舍去），x=40，,并求得 V(40)=16000,解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积,例4：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？,S=2Rh+2R2 由V=R2h，得 ，则,令,解得， ，从而,答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省,即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值,练习. 1，求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间【2，+）上的最