高三一轮复习《三角函数的性质》课件.ppt

学案4 三角函数的性质,考点一,考点二,考点三,考点四,返回目录,1.y=sinx的定义域为 ,值域为 ，最小正周期为 . 2.y=cosx的定义域为 ,值域为 ，最小正周期为 . 3.y=tanx的定义域为 ,值域为 ,最小正周期为 . 4.y=Asin(x+)(A0)的定义域为 ，值域 为 ，最小正周期为 .,R,-1,1,2,R,-1,1,2,R,R,-A,A,5.y=sinx的单调增区间为 ， 减区间为 ，是 函数；y=cosx的单调增区间为 ，单调减区间为 ，是 函数； y=tanx的单调增区间为 ， 是 函数, , ,返回目录,- +k, +k,kZ,- +2k, +2k,kZ,+2k, +2k，kZ,奇,-+2k,2k，kZ,2k,+2k，kZ,偶,奇, ,返回目录,求下列函数的定义域: (1) y=lgsin(cosx); (2) y= .,【分析】本题求函数的定义域: (1) 需注意对数的真数大于零,然后利用弦函数的图象求解;(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零 , 然后利用函数的图象或三角函数线求解.,考点一 求三角函数的定义域,返回目录,【解析】 (1)要使函数有意义,必须使sin(cosx)0. -1cosx1,0cosx1. 解法一:利用余弦函数的简图(如图)得知定义域为 x|- +2kx +2k,kZ .,解法二:如图,利用单位圆中的余弦线OM,依题意知 0OM1, OM只能在x轴的正半轴上, 其定义域为 x|- +2kx +2k,kZ .,返回目录,返回目录,(2)要使函数有意义,必须使sinx-cosx0. 解法一:利用图象.在同一坐标系中画出0,2上y=sinx和y=cosx的图象,如图3-4-3所示. 在0,2内,满足sinx=cosx的x为 , ，再结合正弦、余弦函数的周期是2， 所以定义域为 x| +2kx +2k,kZ .,解法二:利用三角函数线,如图中MN为正弦线,OM为余弦线, 要使sinxcosx,即MNOM, 则 x (在0,2内). 定义域为 x| +2kx +2k,kZ .,返回目录,返回目录,解法三:sinx-cosx= sin(x- )0, 将x- 视为一个整体,由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kx- +2k, 解得2k+ x +2k,kZ. 所以定义域为 x| +2kx +2k, kZ .,(1)对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域,仍然是使解析式有意义即可. (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式). (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴.,返回目录,对应演练,求f(x)= 的定义域和值域.,由函数 0,得sinx ,利用单位圆或三角函数的图象,易得所求函数的定义域是 x|2k- x2k+ ,kZ . 当sinx=cos( -x)= 时,ymin=0; 当sinx=cos( -x)=-1时,ymax= . 所以函数的值域为0, .,返回目录,返回目录,求下列函数的值域： （1）y= ; （2）y=sinx+cosx+sinxcosx; （3）y=2cos( +x)+2cosx.,【分析】求三角函数式的值域时，先观察解析式的结构，针对不同的结构类型采用不同的方法求其值域.,考点二 求三角函数的值域或最值,【解析】（1）y= =2cos2x+2cosx=2(cosx+ )2- . 于是当且仅当cosx=1时,ymax=4, 但cosx1,y4. 且ymin=- ，当且仅当cosx=- 时取得. 故函数值域为(- ,4).,返回目录,返回目录,（2）令t=sinx+cosx，则有 t2=1+2sinxcosx, 即sinxcosx= . y=f(t)=t+ = ( t+1)2-1. 又t=sinx+cosx= sin(x+ ), - t . 故y=f(t)= (t+1)2-1(- t ), 从而知：f(-1)yf( )， 即-1y + . 则函数的值域为 1, + .,（3）y=2cos( +x)+2cosx =2cos cosx-2sin sinx+2cosx =3cosx- sinx=2 ( cosx- sinx) =2 cos(x+ ). cos(x+ )1, 该函数值域为-2 ,2 .,返回目录,能够转化为y=Asin(x+ )+B型的函数，求值域时注意A的正负号；能够化为y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型或可化为此型的函数求值，一般转化为二次函数在给定区间上的值域问题.,返回目录,返回目录,对应演练,若函数f(x)= 的 最大值为2，试确定常数a的值.,f(x)= 其中角 满足sin = ,cos = . 由已知有 =4.解之得a= .,返回目录,【分析】可以看成y=cosu与u=f(t)的复合函数求单调区间与y=sinx,y=cosx等基本函数的单调区间类比可得.,【解析】方法一：y=cos(-2x+ )=cos(2x- ), 由2k2x- 2k+(kZ), 得k+ xk+ (kZ)， 即所求单调减区间为 k+ ,k+ (kZ).,考点三 求三角函数的单调性,求函数y=cos(-2x+ )的单调减区间.,返回目录,方法二：t=-2x+ 为减函数，且y=cost的单调增区间为2k-,2k(kZ), 由2k-2x+ 2k,kZ, 得-k+ x-k+ (kZ). 所求单调减区间为 k+ ,k+ (kZ).,关于函数单调性问题，应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性的规律.此题易出现以下错解： y=cosx的单调减区间为2k,2k+，kZ, 2k-2x+ 2k+. -k- x-k+ . kZ, 单调减区间为 k- ,k+ (kZ). 为了避免述错误的出现，我们通常要用诱导公式把y=Asin(x+ )和y=Acos(x+ )式中的化成大于0的形式，然后再求单调区间.,返回目录,返回目录,对应演练,求函数y=2sin( -x)的单调区间.,解法一:y=2sin( -x)化成y=-2sin(x- ). y=sinu(uR)的递增、递减区间分别为 2k- ,2k+ (kZ), 2k+ ,2k+ (kZ), 函数y=-2sin(x- )的递增、递减区间分别由下面的不等式确定,2k+ x- 2k+ (kZ), 即2k+ x2k+ (kZ), 2k- x- 2k+ (kZ), 即2k- x2k+ (kZ). 函数y=2sin( -x)的单调递减区间、单调递增区间分别为 2k- ,2k+ (kZ）, 2k+ ,2k+ (kZ).,返回目录,返回目录,已知函数f(x)=sin(x+ )(0,0 )是R上的偶函数，其图象关于点M( ，0)对称，且在区间0, 上是单调函数，求和的值.,【分析】该题可采用顺向求解的解答思路，即将题设条件式子化，获得 和所应满足的等式，应用正、余弦函数的性质导出结果.式子化简的方法有多种，下面写出两种解法.,考点四 求三角函数的奇偶性,返回目录,【解析】方法一：由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x), 即sin(-x+ )=sin(x+ ), 所以-cos sinx=cos sinx对任意x都成立，且0，所以得cos =0, 依题设0 ，所以解得 = . 由f(x)的图象关于点M对称，得 f( -x)=-f( +x). 取x=0，得f( )=-f( )，所以f( )=0.,f( )=sin( + )=cos , cos =0,由0,得 = +k,k=0,1,2, = (2k+1),k=0,1,2,. 当k=0时，= ,f(x)=sin( x+ )在 0, 上是减函数； 当k=1时，=2,f(x)=sin(2x+ )在 0， 上是减函数；,返回目录,当k2时， ,f(x)=sin(x+ )在0, 上不是单调函数. 所以，综上得= 或=2.,返回目录,返回目录,方法二：由f(x)是偶函数和0，知 f( )=f( )， 即sin( + )=sin( + )，所以-cos=cos, 得cos =0,又0 ,所以求得 = . 因此，f(x)=sin(x+ )=cosx, 由f(x)的图象关于点M( ,0)对称，知f( )=0, 即cos =0 ,返回目录,由f(x)在区间 0, 上是单调函数和余弦函数的性质，知函数的周期T= 2 ，即02. 所以，由式得= 或=2.,本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力 . 方法二的思维闪光点是得到式后，立即联想到点M的坐标( ,0)，自然得到cos = 0，于是问题迎刃而解.,返回目录,对应演练,设函数f(x)=Asin(x+ )(其中A0,0). (1) 取何值时，f(x)为奇函数； (2) 取何值时，f(x)为偶函数.,(1) xR,要使f(x)是奇函数，即f(x)+f(-x)=0, 即Asin(x+ )+Asin(-x+ )=0, 2Asin cosx=0. cosx不恒为0， sin =0,解得 =k(kZ). 即 =k(kZ)时，f(x)为奇函数.,返回目录,返回目录,（2）f(x)是偶函数， f(x)-f(-x)=0, 即Asin(x+ )-Asin(-x+ )=0. 得2Acos sinx=0, sinx不恒为0， cos =0,得 =k+ (kZ). 即 =k+ (kZ)时，f(x)为偶函数.,返回目录,1.利用函数的有界性(-1sinx1,-1cosx1),求三角函数的值域(最值). 2.利用函数的单调性求函数的值域或最值. 3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号). 4.正余弦函数的线性关系式可以转化为f(x)=asinx+bcosx= sin(x+ ),特别注意把sin cos, sincos的转化为y=2sin(+ )形式时, 为特殊角. 5.注意sinx+cosx与cosxsinx的联系,令t=sinx+cosx(- t )时,sinxcosx= (t2-1).,返回目录,6.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. 7.求三角函