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轴向拉伸与压缩习题及解答计算题1：利用截面法，求图2. 1所示简支梁m m面的内力分量。解：（1）将外力F分解为两个分量，垂直于梁轴线的分量F,沿梁轴线的分量F.(2)求支座A 的约束反力：=0，=0, L= =(3)切开m m，抛去右半部分，右半部分对左半部分的作用力，合力偶M 代替（图1.12 ）。 MCEA2L/3mmFyDLxFAy 图 2.1 图2.1(a)以左半段为研究对象，由平衡条件可以得到=0， =（负号表示与假设方向相反）=0， =左半段所有力对截面m-m德形心C的合力距为零 =0， M=讨论 对平面问题，杆件截面上的内力分量只有三个：和截面外法线重合的内力称为轴力，矢量与外法线垂直的力偶距称为弯矩。这些内力分量根据截面法很容易求得。在材料力学课程中主要讨论平面问题。计算题2：试求题2-2图所示的各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。F112F222F112F22F2F1122F2FFa11222Faa图22解 （a）如图（a）所示，解除约束，代之以约束反力，作受力图，如题2-2图（）所示。利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在题2-2图（）中。作杆左端面的外法线n，将受力图中各力标以正负号，凡与外法线指向一致的力标以正号，反之标以负号，轴力图是平行于杆轴线的直线。轴力图在有轴力作用处，要发生突变，突变量等与该处轴力的数值，对于正的外力，轴力图向上突变，对于负的外力，轴力图向下突变，如题2-2图（）所示，截面1和截面2上的轴力分别为=和=。2Fn()FF()(FF(b)解题步骤与题2-2（a）相同，杆受力图和轴力图如题2-2（）、（）所示。截面1和截面2上的轴力分别为=2，=0。()2FFn2F()2FFF(c)解题步骤与题2-2（a）相同，杆的受力图和轴力图如题2-2图（）和（）所示。截面1上的轴力为=2F,截面2上的轴力为=F。（d）解题步骤与题2-2（a）相同，杆的受力图和轴力图如题2-2图（）和（）所示。截面1上的轴力为=F,截面2上的轴力为=2F。2F()()F3FF2F2F3Fn ()F2F2Fnaaa ()2FF计算题3：试求题2-3图（a）所示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和3-3上的轴力并作轴力图。若横截面积=200、=300、=400，求各截面上的应力。解：如题2-3图（a）所示。首先解除杆的约束，并代之以约束反力，作受力图，如题2-3（b）所示。利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在受力图中。作杆左端面的外法线n，将受力图中的各外力标以正负号：凡指向与外法线方向相同者，标以正号，反只标以负号，如题2-3图（b）所示。作轴力图，轴力图是与杆轴平行的直线，在有轴向外力作用处，轴力图要发生突变，突变量等于对应处外力数值，对应于正的外力，轴力图上跳，对应于负的外力，轴力图下跌，上调和下跌量与对应的外力数值相等，如题2-3图（c）所示。由周力图可知，截面1-1上的轴力=20kN,截面2-2上的轴力=10kN ，截面3-3上的轴力=10kN。 20kN10kN10kN20kN10kN20kN10kNnaaa20kN10kN20kN3aaa11223(b)(a)(c)各截面上的应力分别为=计算题4： 三脚架结构尺寸及受力如图所示。其中，钢杆BD的直径，钢梁CD的横截面积=。试求：BD与CD横截面上的正应力。xyDBC销DBC销销305解：1、受力分析， 确定各杆的轴力 首先对组成三脚架结构的构件作受力分析，因为B、C、D三处均为销钉连接，故BD与CD均为二力构件，受力图如图所示。由平衡方程 和解得二者的轴力分别为其中负号表示压力。2、计算各杆的应力 应用拉、压杆件横截面上的正应力公式，BD杆与CD杆横截面上的正应力分别为BD杆：CD杆：其中负号表示压应力。计算题5： 直杆在上部两侧面都受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度均为=10kN/m;在自由端D处作用有集中力。一直杆的横截面面积试求：yAEDCBA（1）A、B、E三个横截面上的正应力；（2）杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。解：1 、以竖直向下方向为正方向，以整个杆件为研究对象，假设A处受力为拉力，竖直方向受 力平衡： = 60kN 以BD段为研究对象，假设B处受力为拉力 =20kN以AE段为研究对象，假设E处受力为拉力 2、当时， 当 时，（负号表示压力） 综上，当时， 计算题6：如图所示结构2-6（a）中，1，2两杆的横截面直径分别为,。横梁、视为刚体。求两杆内的应力。解：杆的支座不受力，也不受力，所以可视为作用于杆的端。取为受力体，受力图如图2-6（b）所示。CPBA21m1.5m1m12m2mDBACP(a)(b)图（2-6） 析 此题属静定问题，在分析杆CD平衡时可知点D的支反力，即CD杆完全不受力，仅在P作用于ABC杆时被其带动绕点D作刚体转动。所以只需对杆ABC作静立分析即可求解。计算题7：图市矩形截面杆，横截面上的正英里延截面高度线性分布，截面定点各点处的正应力均为，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中之C电位截面形心。解：横截面上只存在正的正应力，因此横截面上的内力为拉力F。在xoy平面内，正应力沿高度线性分布关系为：（）Czyx10040=20MN计算题8：题2-8图（a）所示是一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间的竖向撑杆用角钢构成。已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。求拉杆AE和EG横截面上的应力。 q（a） q=20kN/m 解：（1）作受力图。解除题2-8图（a）所示屋架结构的约束，代之以支座反力，作受力图，如题2-8图（b）所示。 （2）求支座反力。利用静力学平衡方程 及q=20kN/m，可得 ，（3）计算拉杆EG的轴力取半个屋架为分离体，作受力图，如题2-8图）（d）所示。由静力学平衡方程 及得（4）计算拉杆AE的轴力取铰节E为研究对象，作受力图，如题2-8图（d）所示。由静力学平衡方程及，得（5）计算拉杆AE和EG横截面上的应力查表得75mm8mm等边角钢的横截面积为，所以拉杆AE和EG横截面上的应力计算题9： 题2-9图（a）所示拉杆承受轴向拉力F=10kN，干得横截面积A=100。如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。 解：拉杆横截面上的正应力应用斜截面上的正应力和切应力公式可得 它们的方向分别表示在题2-9图（b）、(c)、(d)、(e)、(f)中。计算题10：一根直杆受力如题2-10图（a）所示。已知杆的横截面积A和材料的弹性模量E。试作轴力图，并求杆端点D的位移。(c)nFFFDBA2F2FFFll/3CB2F2FDFA（a）(b)l/3图210解： 首先解除约束，代之以约束反力，作受力图，如题2-10图（b）所示。利用静力学平衡条件确定约束反力的大小和方向，并标示在受力图上。再以杆左端面A的外法线n为标准，将受力图中各外力标以正负号，凡与n的指向一致的外力，标以 号，反之标以 号。最后，自左向右作轴力图，轴力图是平行于杆轴线的直线，在有外力作用处，轴力图线发生突变，突变量等于对应外力的数值，如题2-10图（c）所示。根据轴力图，应用胡克定律，计算杆端D的位移为计算题11：一木柱受力如题2-11图（a）所示。柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10GPa。如不记柱的自重 ，试求：（1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。CAn260kN160kN100kNBAC3m1.5mBC160kN100kNA100kN260kNB(a)(b) (c)图211 解：（1）作轴力图 解除B处约束，代之以约束反力，应用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，作受力图，如题2-11图（b）所示，以截面B的外法线n为标准，将受力图中各力标以正负号，凡是和n的指向一致的外力标以 号，反之标以 号，自下向上画轴力图。 （2）计算各段柱横截面上的应力 （3）计算各段的线应变 应用胡克定律，各段柱的线应变为 （4）计算柱的总变形 计算题12：一根直径d=16mm、长l=3m的圆截面杆，承受轴向拉力F=30kN，其伸长为=2.2mm。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E。解： 应用胡克定律确定材料的弹性模量根据轴向拉伸的应力公式，杆横截面上的应力为计算题13：图2.13所示简单桁架，若在节点A作用力F系沿杆2方向，试问：（1）1杆、2杆受力若干？（2）A点的位移应如何确定?是否沿2杆方向？A解：（1）图中1杆和2杆均为二力构件，对于杆2，在A处受到沿2杆向外的作用力F与2杆在同一条线上，因此2杆受力就为F，而1杆受力则为0。 （2）杆2位拉压变形，由胡克定律得：= 如上图所示，A点位移沿水平方向为零，沿竖直方向不为零且，方向并不沿2杆方向计算题14：等直钢杆受均匀拉伸作用，如图所示，已知钢弹性模量E=200GPa，钢的伸长量为，问此杆塑性伸长量为多少 ？L=300mm解：钢杆的最终变形可看作弹性变形与塑性变形的叠加变形 在弹性范围内，钢杆的变形量为： 所以此杆的塑性伸长量为5.625mm。计算题15：一板形试件，在其表面沿纵向和横向粘贴两片电阻应片，用以测量试件的应变 。实验时测得，求该试件的E, ，和G三个材料常数，试件的尺寸及受力方向如图所示。4mmFF1130mm解：取杆表面单元体，其受力如图所示：，代入数据得，计算题16：打入粘土的木桩长为l，受压力为P，如图（a）所示，设荷载全由摩擦力承担，且沿木桩单位长度内的摩擦力f按抛物线变化（k为常数）。已知P=420kN，l=12m，横截面积A=640，弹性模量E=10GPa。求常数k及木桩的压缩量。(a) FN(y)+dFNFN(y)ydydyofPlfyf(b) 解：确定常数k。dy为段上的摩擦力dF为dF=fdy则总摩擦力F=P，即 所以 求总的压缩量：取dy为段木桩，受力图如图（b）所示。 由于dy很小，微桩可略去dFN，所以微桩的伸长量为整个桩的压缩量为 析 压力由全部摩擦力P承担，所以总的摩擦力F=P。而F为f的分布曲线所围面积，以此关系求出常数k，求压缩量时，由于轴力不是常数，因此取微桩dy来考虑，计算微桩的压缩量，从面积积分求出全桩的压缩量 。计算题17：简单桁架如图（a）所示，三根杆材料相同，E=200GPa，横截面积都为A=300，P=15kN。求C点的水平及垂直位移。解：（1）先求各杆内力 取C点为研究对象，受力图如图（b）所示，求得再取B点为研究对象，受力图如图（c），求得（2）求各杆伸长量（3）变形图如图（d）。AB杆伸长， AC杆缩短， BC杆缩短，最后C点移至点。 变形关系：所以 析 在画变形图时，AC杆的点缩到点。BC杆的点缩到点。而杆AB的点水平向右移到点。BC杆本身受力有变形，同时还随点B平移。所以点平移到点。然后从点作的垂线，从点作的垂线交于点。点即点的最后位移。通过几何关系求得C点的x和y方向的位移。计算题18： 如图所示的桁架，两杆材料相同，AB杆的横截面积，AC杆的横截面积为，弹性模量E=210GPa，铅锤力P=20kN。求A点的位移。解：作受力分析：由力的平行四边形法则得： 结构变形图如图所示 由几何关系得 计算题19：图2-19所示，自由悬挂的直杆，长l，截面面积为A，比重为，弹性模量为E，求其在外力F和自重作用下杆的应力和变形 。(a)fxxnmmdxFxFxdxFln(d)(c)(b)(e)图219解：要求应力和变形，首先要用截面法求出轴力，便可求出应力，本题中的轴力为x的函数，变形必须用积分法。（1） 建立坐标如图（a）所示，求x截面的轴力如图（c）所示作轴力图如图（b）所示当(2) x截面的应力当（3）杆件的变形。dx微段的伸长量，如图（d）由于dx无穷小，上下面轴力可认为相等，则 杆件的总伸长量 如果没有外力F的作用，杆件在自重作用下的伸长量为（W为整个杆件重量，等直杆由于自重引起的伸长，等于全部重量作用于杆端时所引起伸长量的一半 ）。（4）由于自重作用，杆件任意截面（距杆端距离为x时）的位移=这一位移量，即x截面相对固定端之间杆件的伸长量。杆件最下段的位移 ，即为杆件在自重和外力F作用下的伸长量，如图（e）。计算题20：已知阶梯形直杆受力如图所示，（1）画出其轴力图；（2）计算截面杆 AB、BC、CD段横截面上的正应力； （3）若杆件材料的弹性模量E=200GPa；杆各段的横截面积分别为；杆各段的长度分别为。试求杆的总伸长量。（b）（a）200-100400300kN500kNBCDDCD200kN200kN300kN200kN21500kN400mm300mm300mmBAC3D200kNx300kNx解：（1）因为在A、B、C、D四处都有集中力作用，所以AB、BC、CD三段杆的轴力各不相同 。 应用截面法，在AB、BC、和CD三段中任意截面处，分别将杆件截开，并且假设截开的横截面上的轴力均为正方向，即为拉力。如图（a）所示。 然后分别对截开的三部分应用平衡方程 即可确定AB、BC、CD段杆横截面上的轴力分别为于是在坐标系可以画出轴力图 ，如图（b）所示。（2）AB段： BC段： CD段：（3）杆各段的轴力不等，且横截面积也不完全相同 ，因而必须分段计算各段的变形，然后相加。杆的总伸长量为计算题21：在轴向压缩试件的A及B出分别安装两个杠杆变形仪，放大倍数各为，标距均为s=20mm，受压后杠杆仪的读数增量为，如图所示，求该材料的泊松比。解： 计算题22：某材料的应力-应变曲线如图所示。是根据该曲线确定：（1）材料的弹性模量E、比例极限与屈服极限；（2）当应力增加到时，材料的正应变与塑性应变。 4003002001000.0120.00080.0040 解: (1) =348MPa(2)当时， ， 计算题23： 三角吊架如图所示，两杆材料相同，都为塑性材料 ，水平杆的长度为l，斜杆的长度随角的变化而定，设许用应力为。求该结构具有最小重量时的角。 PlCAB解： 取节点B为受力体，求得 两杆材料相同，当角为合理值时，两杆的应力要求同时达到许用应力。这是两杆的截面面积分别为 所以 同时 结构体积V为 =若体积为最小，则应有 ，得得 计算题24：有一长度为300mm的等截面直杆承受轴向拉力F=30kN。已知杆的横截面积，材料的弹性模量E=210GPa。试求杆中所积蓄的应变能。 解：杆中的应变能为 计算题25：结构受力如图（a）所示，以至各干的材料和横截面积均相同，面积，材料的弹性模量，屈服极限，强度极限；（1）当，1、2、3杆中的线应变分别为多少？（2）节点B的水平位移、竖直位移、总位移为多少？（3）结构的强度储备（即安全因素）n为多少？FFxAS1m3BAaa12(a)(b) 解：（1）由平衡条件得 =25kN = (2)点B的垂直位移（见图（b）为 点A的垂直位移为 斜杆2长度不变，使节点A产生水平位移为 m节点A或B的总位移为（3）结构的强度储备： 计算题26：图示的杆件结构中1、2杆的横截面积，3、4杆的横截面积；1、2杆的许用应力，3、4杆的需用应力。试求结构的许用荷载。C4BD2C31BA2m3m4m解：分析节点B、C两点受力如图所示：由 ，得，；由 ，得 ；取最小值，即=6kN。计算题27：简易起重设备简图如图所示，已知斜杆AB用两根不等边角钢组成，钢的许用应力，试问在提起重量为P=15kN的重物时