二次函数与幂函数典型例题(含答案).doc

二次函数与幂函数1求二次函数的解析式2求二次函数的值域与最值3利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用基础梳理1二次函数的基本知识(1)函数f(x)ax2bxc(a0)叫做二次函数，它的定义域是R.(2)二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x，顶点坐标是.当a0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x时，f(x)min；当a0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x时，f(x)max.二次函数f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|x1x2|.(3)二次函数的解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xm)2h(a0)；两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2幂函数(1)幂函数的定义形如yx (R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(2)幂函数的图象(3) 幂函数的性质第一象限一定有图像且过点（1，1）；第四象限一定无图像；当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；第一象限图像的变化趋势；当a0时，递增，其中a1时，递增速度越来越快，0a1时，递增速度越来越慢。yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|xR且x0值域R 0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)时，增，x(，0时，减增增x(0，)时，减，x(，0)时，减定点(0,0)，(1,1)(1,1)一条主线二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中两种方法二次函数yf(x)对称轴的判断方法：(1)对于二次函数yf(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为x；(2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a为常数)两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是双基自测1下列函数中是幂函数的是()Ay2x2 ByCyx2x Dy2(2011九江模拟)已知函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，则f(1)的范围是()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)253(2011福建)若关于x的方程x2mx10，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A(1,1) B(2,2)C(，2)(2，) D(，1)(1，)4 (2011陕西)函数 的图象是()5 二次函数yf(x)满足f(3x)f(3x)(xR)且f(x)0有两个实根x1，x2，则x1x2_.考向一求二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称求f(x)与g(x)的解析式【训练1】 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式考向二幂函数的图象和性质【例2】幂函数yxm22m3(mZ)的图象关于y轴对称，且当x0时，函数是减函数，则m的值为()A1m3 B0C1 D2【训练2】 已知点(，2)在幂函数yf(x)的图象上，点在幂函数yg(x)的图象上，若f(x)g(x)，则x_.考向三二次函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)x22ax1，求f(x)在区间0,2上的最值【训练3】 已知f(x)1(xa)(xb)(ab)，m，n是f(x)的零点，且mn，则a，b，m，n从小到大的顺序是_双基自测1(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是()Ay2x2 ByCyx2x Dy解析A，C，D均不符合幂函数的定义答案B2(2011九江模拟)已知函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，则f(1)的范围是()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)25解析对称轴x2，m16，f(1)9m25.答案A3(2011福建)若关于x的方程x2mx10，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A(1,1) B(2,2)C(，2)(2，) D(，1)(1，)解析依题意判别式m240，解得m2或m2.答案C4(2011陕西)函数 的图象是()解析由幂函数的性质知：图象过(1,1)点，可排除A，D；当指数01时为增速较缓的增函数，故可排除C.答案B5二次函数yf(x)满足f(3x)f(3x)(xR)且f(x)0有两个实根x1，x2，则x1x2_.解析由f(3x)f(3x)，知函数yf(x)的图象关于直线x3对称，应有3x1x26.答案6考向一求二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称求f(x)与g(x)的解析式审题视点 采用待定系数法求f(x)，再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称，求g(x)解依题意得解得：f(x)x22x.设函数yf(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x0x，y0y.点A(x0，y0)在函数yf(x)的图象上，y0x2x0，yx22x，yx22x，即g(x)x22x. 二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起【训练1】 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式解法一利用二次函数的一般式设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解之得所求二次函数的解析式为y4x24x7.法二利用二次函数的顶点式设f(x)a(xm)2n(a0)，f(2)f(1)此二次函数的对称轴为x.m，又根据题意，函数有最大值8，即n8.yf(x)a28，f(2)1，a281，解之得a4.f(x)4284x24x7.考向二幂函数的图象和性质【例2】幂函数yxm22m3(mZ)的图象关于y轴对称，且当x0时，函数是减函数，则m的值为()A1m3 B0C1 D2审题视点 由幂函数的性质可得到幂指数m22m30，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值解析由m22m30，得1m3，又mZ，m0,1,2.m22m3为偶数，经验证m1符合题意答案C 根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当0时，幂函数在(0，)上为增函数，当0时，幂函数在(0，)上为减函数，然后验证函数的奇偶性【训练2】 已知点(，2)在幂函数yf(x)的图象上，点在幂函数yg(x)的图象上，若f(x)g(x)，则x_.解析由题意，设yf(x)x，则2()，得2，设yg(x)x，则()，得2，由f(x)g(x)，即x2x2，解得x1.答案1考向三二次函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)x22ax1，求f(x)在区间0,2上的最值审题视点 先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论解函数f(x)x22ax1(xa)21a2的对称轴是直线xa，(1)若a0，f(x)在区间0,2上单调递增，当x0时，f(x)minf(0)1；当x2时，f(x)maxf(2)54a；(2)若0a1，则当xa时，f(x)minf(a)1a2；当x2时，f(x)maxf(2)54a；(3)若1a2，则当xa时，f(x)minf(a)1a2；当x0时，f(x)maxf(0)1；(4)若a2，则f(x)在区间0,2上单调递减，当x0时，f(x)maxf(0)1；当x2时，f(x)minf(2)54a. 解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为ya(xm)2n(a0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程xm，分三个类型：顶点固定，区间固定；顶点含参数，区间固定；顶点固定，区间变动【训练3】 已知f(x)1(xa)(xb)(ab)，m，n是f(x)的零点，且mn，则a，b，m，n从小到大的顺序是_解析由于f(x)1(xa)(xb)(ab)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a)f(b)10，f(m)f(n)0，可得a(m，n)，b(m，n)，所以mabn.答案mabn考向四有关二次函数的综合问题【例4】设函数f(x)ax22x2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围审题视点 通过讨论开口方向和对称轴位置求解解当a0时，f(x)a2.或或或或a1或a1或，即a；当a0时，解得a；当a0时，f(x)2x2，f(1)0，f(4)6，不合题意综上可得，实数a的取值范围是a. 含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力【训练4】 已知二次函数f(x)ax2bx1(a0)，F(x)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立(1)求F(x)的表达式；(2)当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求k的取值范围解(1)f(1)0，ab10，ba1，f(x)ax2(a1)x1.f(x)0恒成立，a1，从而b2，f(x)x22x1，F(x)(2)g(x)x22x1kxx2(2k)x1.g(x)在2,2上是单调函数，2，或2，解得k2，或k6.所以k的取值范围为k2，或k6.规范解答3如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解【解决方案】 对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论【示例】(本题满分12分)(2011济南模拟)已知f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有最大值5，求a的值及函数表达式f(x) 求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论解答示范 f(x)424a，抛物线顶点坐标为.(1分)当1，即a2时，f(x)取最大值4a2.令4a25，得a21，a12(舍去)；(4分)当01，即0a2时，x时，f(x)取最大值为4a.令4a5，得a(0,2)；(7分)当0，即a0时，f(x)在0,1内递减，x0时，f(x)取最大值为4aa2，令4aa25，得a24a50，解得a5或a1，其中5(，0(10分)综上所述，a或a5时，f(x)在0,1内有最大